В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 56

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 56)

Это многообразие является подмногообразием касательного расслоения многообразия М. Зафиксируем, например, значение постоянной знергии 1/2 (что соответствует начальной скорости 1). Тогда скорость точки всегда останется единичной, и наше многообразие уровня оказывается пространством расслоения Т,МС- ТМ, составленным из единичных сфер в касательных пространствах к М в каждой точке. Таким образом, точка из многообразия Т,М представляет собой вектор длины 1, приложенный в точке многообразия М. Согласно принципу Мопертюи — Якоби, движение материальной точки с фиксированным начальным условием из Т М можно описать следующим образом: точка движется со скоростью 1 по определенной указанным вектором геодезической.

Согласно закону сохранения энергии многообразие Т,М является инвариантным многообразием в фазовом пространстве нашей системы. Следовательно, наш фазовый поток определяет однопараметрпческую группу диффеоморфизмов 2п — 1-мерного многообразия Т М. Эта группа называется геодезическим потоком на М. Геодевический поток может быть описан следующим образом." преобразование за время 1 переводит единичный вектор $ Е= ТгМ„приложенный в точке л, в единичный вектор скорости геодезической, выходящей из точки х по направлению $, приложенный в точке на этой геодезической, лежащей на расстоянии 1 от точки л. Заметим, что в Т М естественно определяется элемент объема и что геодезический поток его сохраняет по теореме Лиувклля.

Конечно, до сих пор отрицательность кривизны многообразия М не имела никакого значения. Но если мы займемся исследованием траекторий описанного геодезического потока, то окажется, что отрицательность кривизны многообразия М накладывает на поведение этих траекторий сильный отпечаток (зто связано с зкспоненциальной неустойчивостью геодезических на М). Вот некоторые из свойств геодезических потоков ка многообразиях отрицательной кривизны (подробнее см. цитированную на стр. 266 книгу Д. В.

Акосова). 1. Почти все фазовые траектории всюду плотны на многообразии уровня энергии (исключительные, не всюду плотные траектории образуют мнох~ество меры нуль). 2. Равномерное распределение: доля времени, которое почти каждая траектория проходит в любой области фазового пространства Т,М, пропорциональна объему этой области. уи»«лновА квивизнА 279 3. Фазовый поток у' обладает свойством перемешивания: если А и  — две области, то Иш шез ((д'А) ( ) В! = шевА шез В «Ра (где шез означает объем, нормированный условием, что мера всего пространства равна 1).

Из этих свойств траекторий в фазовом пространстве вытекают аналогичные предложения о геодезических на самом многообразии. Фиаики называют эти свойства «стохастичностью»: асимптотически при больших ~ траектория ведет себя так, как если бы точка была случайной. Например, свойство перемешивания означает, что вероятность после выхода из А оказаться в В через большое время 8 пропорциональна объему В и т.п, Итак, гкспоненциальназ неустойчивость геодезических на многообразии отрицательной кривизны приводит к стохастичности соответствующего геодезического потока.

Л. Другие првменеиия экепоненциальной неустойчивости. Свойство экспоненциальной неустойчивости геодезических на многообразии отрицательной кривизны, начиная с Адамара (а в случае постоянной кривизны — еще Лобачевского), изучалось многими авторами, в особенности Э. Хопфом. Неожиданным открытием шестидесятых годов в этой области оказались удивительная устойчивость экспоненциально неустойчивых систем относительно возмущений самой системы. Рассмотрим, например, векторное поле, задающее геодезический поток на компактной поверхности отрицательной кривизны.

Как указано выше, фазовые кривые этого потока устроены весьма сложно: почти каждая из них всюду плотно заполняет трехмерное многообразие уровни энергии. У этого потока бесконечно много замкнутых траекторий, и множество точек замкнутых траекторий также всюду плотно в трехмерном многообразии уровня энергии. Рассмотрим теперь близкое векторное поле. Оказывается, несмотря на всю сложность картины фазовых кривых, при переходе к близкому полю вся эта картина со всюду плотными фазовыми кривыми и бесконечным числом замкнутых траекторий почти не изменится.

А именно, существует гомеоморфизм, близкий к тождественному преобразованию и переводящий фазовые кривые не- возмущенного потока в фазовые кривые возмущенного. Таким образом, наш сложно устроенный фааовый поток обладает таким ясе свойством «грубости» или «структурной устойчивости», как, скажем, предельный цикл, или устойчивый фокус на плоскости. Заметим, что ни центр на плоскости, ни обмотка тора таким свойством грубости не обладают: топологяческий тип фазового портрета в этих случаях меняется при малом изменении векторного поля.

ДОБАВЛЕНИЕ ! Возможность грубых систем со сложными движениями, каждое из которых само по себе экспоненциально неустойчиво, является одним из основных открытий в теории обыкновенных дифференциальных уравнений последнего времени (гипотеза грубости геодезических потоков на многообразиях отрицательной кривизны была высказана С. Смейлом в»96» г., а доказательство дано Д. В. Аносовым и опубликовано в «967 г., основные результаты о стохастичиости этих потоков получены Я.

Г. Сипаем и Д. В. Аносовым также в шестидесятых годах). Ранее предполагалось, что в системе дифференциальных уравнений «общего вида» возможны лишь простейшие устойчивые предельные режимы: положения равновесия и циклы. Ксли же система устроена более сложно (например, является консервативной), то предполагалось, что при малом изменении ее уравнений (например, при учете малых неконсервативных возмущений) сложные движения «рассыплются» на простые.

Теперь мы внаем, что зто не так, и что в функциональном пространстве векторных полейимеются целые области, состоящие иа полей с более сложным поведением фазовых кривых, Выводы, которые отсюда следуют, затрагивают широкий круг явлений, в которых наблюдается «стохастическое» поведение детерминированных объектов. Именно, представим себе, что в фазовом пространстве некоторой (некоисервативной) системы имеется притягивающее инвариантное многообразие (или множество), на котором фазовые кривые обладают свойством зкспоненциальной неустойчивости. Мы знаем теперь, что системы с таким свойством не являются исключительными: при малом изменении системы указанные свойства не нарушаются.

Что увидит экспериментатор, наблюдающий за движениями такой системыг Приближение фазовых кривых к притягивающему мне»ееству будет восприниматься как установление некоторого предельного режима. Дальнейшее движение фазовой точки около притягивающего множества будет вызывать хаотические, плохо прогнозируемые изменения «фаз» предельного режима, воспринимаемые как «стохастячность» или «турбулентность». К сожалению, до сих пор не был проведен убедительный анализ физических примеров описанного характера с указанной точки зрения. Пример, напрашивающийся прежде всего — это гидро- динамическая неустойчивость вяакой жидкости, описываемой так называемым уравнением Навье — Стокса.

Фазовое пространство этой задачи бесконечномерно (зто— пространство векторных полей дивергенции 0 в области течения), но бесконечномерность аадачи не является, по-видимому, серьезным препятствием, по той причине, что вязкость гасит высокие гармоники (мелкие вихри) тем быстрее, чем вьппе номер гармоники. В результате фазовые кривые иа бесконечномерного пространства, РИМАНОВА КРИВИЗНА 281 по-видимому, приближаются к некоторому конечномерному многообразию (или множеству), которому и принадлежат предельные режимы. При большой вязкости имеется устойчивое притягивающее положение равновесия в фазовом пространстве («устойчивое стационарное течениеь).

При уменьшении внзкости оно теряет устойчивость; при этом может возникать, например, устойчивый предельный цикл и фазовом пространстве («периодическое течевиеь) или устойчивое положение равновесия нового типа («вторичное стационарное течение») е). Затем, по мере уменьшения вязкости, в игру вступает все болылее число гармоник и предельные режимы могут становиться более многомерными. При малой вяакости кажется весьма правдоподобным выход на предельные режимы с экспопенциально неустойчивыми траекториями. К солсалению, до сих пор соответствующие вычисления не были проведены ввиду ограниченных возможностей имеющихся машин. Однако следующий общий вывод можно сделать и без вычислений: для возникновения явлений типа турбулентности нет необходимости в несуществовании или неединственностн решений: достаточна экспоненциальная неустойчивость, которая встречается даже в детермияированных системах с конечным числом степеней свободы.

В качестве еще одного примера применения зкспоненциальной неустойчивости укажем анонсированное Я. Г. Сипаем доказательство «эргодической гипотезыь Больцмака для системы твердых шариков. Гипотеза состоит в том, что фазовый поток, соответствующий движению одинаковых абсолютно упругих шариков в ящике с упругими стенками, эргодичен на связных множествах уровня энергии. (Зргодичность означает, что почти каждая фазовая кривая проводит в каждой измеримой части множества уровня время, пропорциональное мере этой части.) Гипотеза Больцмана позволяет ааменять временные средние пространственными и считалась долгое время необходимой для обоснования статистической механики.

В действительности для статистического предельного перехода (число частиц стремится к бесконечности) гипотеза Больцмана (в которой речь идет о пределе, когда время стремится к бесконечности) не нужна. Однако гипотеза Больцмана вызвала к жизни весь анализ стохастических свойств динамических систем (так называемую эргодическую теорию), и ее доказательство служит мерой зрелости атой теории. Экспоненциальная неустойчивость траекторий в задаче Больцмана возникает вследствие соударений шариков друг с другом и может быть объяснена следующим образом. «) Теория бифуркаций и теория воамущений (не только гамильтоновых, но и общих динамических систем) рассмотрены в учебнике: А р н о л ь д В.

Характеристики

Список файлов книги