В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 52
Текст из файла (страница 52)
В атом предположении 1ем находам ) В ) ~( се, ] г ) + сесе (где се = са + сд), ) л (О) ) < саг. (!!) Лемма. Если )у( ~е)г(+Ь, )г(0))«В; е, Ь, е, Г..гб, мо ! г (Г) ) < (а + ЬГ)ВИ, *) При любом фиксированном аначеннн параметра ~р. 262 Гл. 10. ВВедение В теогию ВОзмущений Д о к а ватель ст во. ) в(1) ) не превосходвтрешенвя у(г] уравневня у = ау+ Ь, у (0) = А Решая ето уравнение, находим у = Сеег, Сее' Ь, С = е егЬ, С (0) = Е, С ~ Е + Ьг, что н требовалось доказать. Теперь вв (11), в предположенвк, что отрезок Я', улежит в С вЂ” а (рнс.
226), ) В (1) ) ( (СЕЕ+ С ЕЕ1)с~'Ме Отсюда следует, что прн 0 ~ 1 ч, 1/е (в (1)(<., ° = (;+ )е". Ым видим теперь, что есвн а = о/3 н е достаточно мало, то отрезок Х' (1), Т (О (1 ~ 1(е) весь вежнт внугрн 6 — а, н, следовательно, ( Р (1) — Т (1) ) ( сее пРЕ всех 0 ~ 1 ~ 1(е. С другой стороны, ) Р (1) — Х (1) ) (( гв ) Ссес. Итак, пре всех 1, 0 ~ 1 ~ 1/г, ( Т (1) — Т (1) ( ( сее, се = се + с ) О, н теорема дскеваве.
Д. Адиабатнческнв инварианты. Рассмотрим гамильтонову систему с одной степенью свободы, с функцией Гамильтона Н (р, с; Л), зависящей от параметра Х. Примером может служить маятник: Н = — +(у — 1 Р 2(е 2 1 в качестве параметра Х можно взять длину ( или ускорение силы тяжести я. Предположим, что параметр со временем медленно меняется. Оказывается в пределе, когда скорость изменения параметра стремится к О, появляется замечательное асимптотическое явление: две величины, вообще неаависимые, становятся функциями одна другой. Предположим, например, что длина маятника медленно (по сравнению с его собственными колебаниями) изменяется.
Оказывается, амплитуда его колебаний становится тогда функцией длины маятника. Например, если очень медленно увеличить вдвое длину нити маятника, а затем очень медленно ее уменыпить до прежней величины, то в конце этого процесса амплитуда колебаний станет такой же, какой была вначале. Белее того, оказывается, отношение энергии маятника Н к частоте е при медленном изменении параметров почти не меняется, хотя сами энергия и частота могут измениться сильно. Такие величины, которые мало меняются прн медленном иамененни параметров, фиаикн назвали адиабатнческнми ннвариантамн. Легко сообразить,что адиабатическая инвариантность отношения энергии маятника к частоте есть утверждение физического характера, т.
е. без дополнительных предположений неверное. Действительно, изменяя длину маятника сколь угодно медленно, но выбирая фазу колебаний, прн которой длина увеличивается 263 б бз. хсрнднвнии возмицвнип и уменьшается, можно раскачать маятник (параметрический резонанс). Чувствуя это, физики предложили формулировать определение адиабатической инвариантности так: лицо, меняющее параметры системы, не должно видеть, в каком состоянии находится система (рис. 227). Дать этому определению строгий математический смысл — весьма деликатная, до сих пор не решенная аадача.
К счастью, мы можем обойтись суррогатом, заменяя невмешателы ство лица, меняющего параметры, во внутренние дела системы требованием того, чтобы иаменепие параметров было плавным, а именно, два раза непрерывно дифференцируемым. Гне Зэт. Аанебетечсс нее немененйе Пенны меетннне Рне. 228. Эннебетнчеенйа ннееоймы, юннсмернса системы Точнее, пусть Н (р, о; Л) — фиксированная дважды непрерывно дифференцируемая функция Л. Положим Л = ег и будем рассматривать полученную систему с медленно меняющимся параметром Л = еФ: р= — в с) = в Н=Н(р ~:зг). аН .
вн вв ' ар' (й) О п р еде л е ни е. Величина 1 (р, д; Л) нааывастся адиабатическим инвариантом системы (е), если для всякого и ) 0 существует з ) 0 такое, что если 0 < э < з, 0 ( г < 1/е, то 1 1 (р (й), д (1); зб) — 1 (р (0), о(0); 0) ~ ( н. Очевидно, всякий первый интеграл является также адиабатическим инвариантом. Оказывается, всякая одномерном система (ч) имеет адиабатический инвариант. А именно, адиабатическим инвариантом лвялетсл переменная действия в соотаппствуюсаей эадаче с погэпоянными коэффициентами. Предположим, что фазовые траектории системы с гамильтонианом Н (р, д; Л) замкнуты. Определим функцию 1 (р, о; Л) следующим образом. При фиксированном Л функции Гамильтона Н (р, о; Л) соответствует определенный фазовый портрет (рис. 228).
Рассмотрим замкнутую фааовую траекторию, проходящую через точку (р, о). Она ограничивает на фаэовой плоскости некоторую площадь. Обоаначим эту площадь через 2я1 (р, д; Ц. На каждой фазовой траектории (при данном Л) 1 = сопз$. Очевидно, 1 пе что иное, как переменная действия (см. з 50). 264 ГЛ. 10. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВОЗМУЩЕНИЙ Т е о р е м а. Если частота рассматриваемой системы (а) ю (1, Л) не обращается в О, то 1 (р, д„Л) — адиабатинеский инвариант.
Е. Доказательство адиабатической инвариантнести действия. При фиксированном Л в системе (ч) можно ввести переменные действие — угол 1, <р каноническим преобразованием, зависящим от Л: р,д ь11,<р: ф =ю(Х,Л),1=0, со(Х,Л)= — ', Но= Нс(Х,Л). Обоаначим через Я (Х, д; Л) производящую (многозначную) функцию этого преобрааования: дд дд Р = — ° Ч = —. дв ' д1 Пусть теперь Л = ей Поскольку переход от переменных р, а к переменным 1, <р соверюается теперь аавискщи,и от времени каноническим преобразованием, уравнения движения в новых переменных 1, <р имеют гамильтонов вид, но с функцией Гамильтона (см. 2 45, А, стр. 213) дд ад К=Н + — =Н +е — ° — о т — о ВЛ 3 а д а ч а.
Докажите, что — Я (1, д; Л) — однозначная функция на д ' аЛ фаэовой клосностк. У к а э а н к е. Нооднооначность Я сводится к прибавлению кратных 2к1. Мы получаем, таким образом, уравнения движения в виде ф = ю (Х, Л) + ВХ (1, <р; Л), Х = — дзБ/дХдЛ, Х = ея(Х, ц); Л), я = дзЯд<р дЛ, Л= е. Поскольку в~О, применима теорема об усреднении (стр. 259). Усредненная система имеет вид Х =ад, А=е.
а аа ад Но д = — —, а — — однозначная) функция на окружности д~р дЛ ' дЛ 1 == сопзс. Позтому й = (2И) г~уйр = О, и в усредаенной системе в не меняется вовсо: в (с) = Х (0). По теореме об усреднении ~ 1 (1) — 1 (0) ~ ч-' се для всех С, 0 ~( 1 ( $/е, что и требовалось доказать. П р и м е р. Для гармонического осциллятора (см. рис. 217) вт Ьс Г 1/ 2Ь Г/2а а Н = — рт+ — дт 1=.— я — — = —, ю =аЬ, 2 2 ' 2а 265 $ »2. усреднение Воэмущеннй т. е.
адиабатическим инвариантом является отношение энергии к частоте. 3 а д а ч а. Длина маятника медленно увеличивается вдвое [« = 1о (1 + ег), О ч, Ю ~( 1/е). Как иаменяется амплитудный угол отклонения о) в? У Р е ш ение. 7 = — (а~'Фптдим; поэтомУ / М(0) 13/4 йапах (Г) = 9вах (О) — ! ° тнс. тэе. ллвасжнчесииа инва»всат ассси30'Рис тивттстс ша влив виват иелиеиво Лввипчаииися с«евииии е) Это не следует формально ив доказанной теоремы, так кек в ней речь идет о гладких системах, бев ударов. Докавательство аднабатнческой инварнантности Ы в атой системе — поучительная звена~тарная задача.
В качестве второго примера рассмотрим р движение абсолютно упругого твердого шарика массы 1 между абсолютно упругими стенками, расстояние между которыми, 1, медленно меняется (рис. 229). Можно считать, что точка движется в «прямоугольной потенциальной яме бесконечной глубины», и что фаэовые траектории — прямоугольники площади 2п(, где и — скорость шарика. В этом случае адиабатическим инвариантом оказывается произведение э» скорости шарика на расстояние между стенками *). Таким обраэом, если вдвое сблизить стенки, скорость шарика возрастет также вдвое, а если раадвигать стенки, то скорость уменьшится.
О теории адиабатических инвариантов многочастотных систем см. в книге: Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений.— М.: Наука, 1978, гл. «Теория воамущений». ДОБАВЛЕНИЯ Добавление 1 РИМАНОВА КРИВИЗНА Иэ листа бумаги можно свернуть конус или цилиндр, но нельзя получить никакого куска сферы беэ складок, растяжений или разрывов. Причина заключается в различии «внутренней геомет рина этих поверхностей: никакую часть сферы нельая изометрически отобразить на плоскость. Инвариант, различающий римаповы метрики, называется римановой кривизной. Риманова кривизна плоскости равна нулю а кривизна сферы радиуса В равна В '.
Если одно риманово многообразие иэометрнчески отображено на другое, то римановы крнвивны в соответствующих местах равны. Например, поскольку конус илн цилиндр локально изометрнчны плоскости, то риманова кривизна конуса или цилиндра в любой точке равна О. Следовательно, никакую область на конусе или на цилиндре нельзя отобразить иэометрически на сферу.
Риманова кривизна многообразия оказывает весьма существенное влияние на поведение геодевических на нем, т. е. на движение в соответствующей динамической системе. Если риманова кривизна многообразия положительна (как на сфере или на эллипсоиде), то блиакие геодезические в большинстве случаев колеблются друг около друга, а если кривизна отрицательна (как на поверхности однополостного гиперболоида), то геодезические быстро расходятся в разные стороны, В этом добавлении определяется риманова кривизна к кратко обсуждаются свойства геодезических на многообразиях отрицательной кривизны. Дальнейшие сведения о римаиовой кривизне можно найти в книге: М н л н о р Дж.
Теория Морса.— М.а Мир, 1965, а о геодезических на многообразиях отрицательной кривизны — в книге: А н о с о в Д. В. Геодезические потоки на многообразиях отрицательной кривизны // Труды МИАН им. Стеклова.— М., $967. А. Параллельное перенесение на поверхностях. Определение рпмановой кривизны основано на конструкции параллельного перенесения векторов вдоль кривых на римановом многообразии. Начнем с примера, когда данное риманово многообразие двумерное, т. е. поверхность, а данная кривая — геодезическая на этой поверхности. И>МЛНОВЛ КУИВИЗНЛ Ларвллельное перенесение вектора, касательного к поверхности, вдоль геодезической на отой поверхности определяется так: точка приложения вектора движется по геодезической, а сам вектор гюпрерывно перемещается так, что его угол с геодеанческой и его длина остаются постоянными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
