В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Функция Н имеет простой геометрический смысл. Пусть х и у — две точки из Ке" (рис. 210), у — соединяющая их кривая, ду = у — х. Рассмотрим сдвиги кривой у при наших преобразованиях, уту, 0 ~ т ~ е. Они а образуют полоску а (е). Рассмотрим интеграл У формы соо = ,'~с(р~ /ч, йд по 2-цепи а, да = =усу — 7 + уеу — утх. 3 а д е ч и. Докажите, что 1 Г 1пн — ') ~ Фе= Н (у) — Н (л) еое О1Е) Рис. МО. Геометрический омиол Етккнии гамильтона существует в не ееевсит от предстенители класса е . Из этого результата мы еще раэ получаем уже иавестное С л е д с т в и е.
Нри каноническак преобразовании канонические уравнения сохраняют свой вид, а также величину фующии Гамилыпона. Действительно, мы вычислили прирап(ение функции Гамильтона, используя только бесконечно малое каноническое преобравование и симплектическую структуру Кее — форму соо. ГЛАВА 10 ВВКДКНИК В ТКОРИВ ВОЗМУЩВ~Ий Теория возмущений представляет собой весьма полезный набор приемов, предназначенных для приближенного решения «возмущенных» задач, близких к «невозмущенным», решенным точно. Эти приемы легко оправдать, если речь идет об исследовании движений на небольшом интервале времени. Вопрос о том, в какой мере мон«но доверять выводам теории возмущений при исследовании движения на больших и бесконечных интервалах времени, изучен весьма мало. Мы увидим, что во многих «невовмущенных» интегрируемых вадачах движение оказывается условно периодическим.
При исследовании дви»кения как в невозмущеняой, так и особенно в возмущенной задаче полеаны специальные снмплектические координаты: переменные «действие — угол». В заключение мы докажем теорему, обосновывающую теорию возмущений одночастотных систем, и докажем адиабатическую инвариантность переменной действия в таких системах Щ ф 49. Интегрируемые аисте»вы Чтобы проинтегрировать сястему 2я обыкяовекяых дифференциальных уравявквй, нужно звать 2я первых интегралов. Оказыва»тся, еслк дана к«- ковач»свая скствмз дяфферевцяалькых урзввеккй, то во мкогкх случаях достаточно звать лишь я первых интегралов — каждый яз вкх позволяет понизить системы яе ка одну, а на две вдвккцы.
А. Теорема Лмувилля об интегрируемых системах. Напомню, что функция Р является первым интегралом системы с функцией Гамильтона Н тогда и только тогда, когда скобка Пуассона 1Н, Р) = — О тождественно равна нулю. О п р е д е л е н и е. две функции р„р» на симплектическом многообразии находятсл в инвояюиии, если их скобка Пуассона ранна нулю. Лиувилль доказал, что если в си«тлене с п степенями свободы (т. е. 2п-мерным фазовым простаранством) известны и независимых первых инп»езралов в инвояю«зии, то система иппвегрируема в квадратурах. Вот точная формулировка этой теоремы. 239 5 «9.
Ентеггигуемые системы Предположим, что на симплектическом 2п-мерном многообразии даны и функций в инволюции Р«,..., Р„; (Р«,РХ)=О, «,У=-1,2,...,л. Рассмотрим множество уровня функций Р« М« - — — (х: Р; (х) = Х«, « = 1,..., и) Предположим, ч«по на Мг и функций Р«независимы (т. е. и 1-форм ««Р«линейно независимы в каждой точке М«). Тогда: 1) М« — гладкое многообразие, инвариантное относительно фазового потока с функцией Гамильтона Н .= Р . 2) Если многообразие М«компак«пно и связно, то оно диффеоморфно и-мерному тору Т" = ((«р„, «р„) п«оп«) 2п). 3) Фазовый поток с функцией Гамилътпона Н определяет на ЛХ~ условно-периодическое движение, т. е.
в угловых координапи«х «р = =-(«р ° ' ц) — = ю, «в = «в (Х). в«р 4) Канонические уравнения с функцией Гамильтона Н интегрируются в квадратурах. Прежде чем доказывать зту теорему, отметим некоторые из ее следствий. С л е д с т в и е 1. Если в канонической системе с двумя степенями свободы извеппен один первый интеграл Р, не завися«ций от функции Г мильтона Н, то система интегрируема в квадратурах; компаюпное связное двумерное подмногообразие фазового пространапва Н =- л, Р == Х есть и вариантный' тор, а движение на нем условно-пер иодично.
Действительно, Р и Н находятся в инволюцви, так как Р— первый интеграл системы с функцией Гамильтона Н. В качестве примера с тремя степенчме свободы рассмотрим лагранжев тяжелый симметричный волчок, закрепленный в точке на оси. Здесь сразу видны три первых интеграла Н, М„Мг. Легко проверить, что интегралы ЛХ, и ЛХг находятся в инволюцни. Далее, многообразие Н = Ь в фазовом пространстве компактно. Позтому мы без всяких вычислений сразу можем сказать, что при болыпинстве начальных условий *) движение волчка условнопериодично: фазовые траектории заполняют трехмерные торы Н = с, ЛХ„= сг, Мг = с . Соответствующие три частоты называются частотами собственного вращения, прецессии и нутации.
г) Исвлючевве составляют особые множества уровня мвтггрглов, тле веруя«ается вх незгввсвмость. 240 гл. 10. введение в теОРию возмущений Другие примеры получаются из следующего замечания: если каноническая система интегрируется методом Якоби — Рамиль тона, то она имеет п первых интегралов в инволюции. Действительно, метод состоит в каноническом преобразовании (у», »г) -~- (.Р, 9), таком, что Р1 — первь»е интегралы. Но функции Р„РЕ очевидно, находятся в инволюции.
В частности, сказанное применимо к задаче о притяя»енин двумя неподвижными центрами. Число примеров легко умножить; фактически сформулированная выше теорема Лиувилля охватывает все проинтегрированные на сегодняшний день проблемы динамики. Б. Начало докавательства теоремы Лиувилля. Перейдем теперь к доказательству теоремы. Рассмотрим множество уровня интегралов Мг = (х: Р1 —— 11, 1 = 1,..., п). По условию п 1-форм ИР» линейно независимы в каждой точке Мр Следовательно, по теореме о неявной функции, Мг есть п-мерное подмногообравие 2п-мерного фааового пространства. Л е м м а 1.
На и-мерном многообразии Мг существую»и п касательных векторных иоле»1, попарно коммутирующих и линейно независимых в каждой точке. Д о к а а а т е л ь с т в о. Симплектическая структура фазового пространства определяет оператор 1, переводящий 1-формы в векторные поля. Этот оператор 1 переводит 1-форму бр1 в поле 1 ИР1 фазовой скорости системы с функцией Гамильтона Р1. Покажем, что п палей 1 ИР1 касаются М», кол»мутируют и независимы.
Действительно, из независимости аР1 и невырожденностя изоморфизма 1 следует независимость 1 ИР1 в каждой точке Мр Поля 1ИР1 попарно коммутируют, так как скобки Пуассона их функций Гамильтона (Р», Р») =— О. По той же причине производная функции Р» по направлению поля 1 бр» равна нулю для любых 1', у = 1,..., и. Значит, поля 1 ИР1 касаются МП н лемма 1 докааана. Заметим, что доказано даже больше чем лемма 1: 1') Многообразие Мг инвариантно относительно каждого из и коммутирующих фазовых иотпоков у» с функ»»иями Гамилыпона Р;; 1 1 1 ад~ = У~у».
1") Многообразие М» — нулевое (т. е. 2-форма юг обращается в нуль на ТМ1)). Действительно, п векторов 1 бр» ( попарно косоортогональны ((Р1, Р») = 0) и образуют базис в касательной плоскости к многообразию М~ в точке х. В. Многообразия, на которых траивитивно действуег группа К". Теперь мы воспользуемся следующим топологяческим предложением (доказательство заканчивается на стр. 244).
49. ИНТЕГРИРУЕМЫЕ СИСТЕМЫ Л е и м а 2. Пусть М' — компактное, связное диффсрвнцируемов и-мерное многообразие, на котором задано и векторных пвявй, попарно коммутирующих и линейно независимых в каждой точке М". Тснда многообразие М" диффеоморфно и-мерному тору. Доказательство. Обозначим черезд,', С=2, ..., и, однопараметрические группы диффеоморфизмов М, соответствующие заданным и векторным полям. Поскольку поля коммутируют, группы вн уз. коммутируют. Поэтому мы моя»ем определить действие у коммутативной группы К" = (С) на многообразии М, полагая уг.
М М ьг дь у»' (С (Сп С ) -Кп) Очевидно, асье = — у'у'ьь'С, и Е= К". Зафиксируем точку х ~ М. Тогда возникает отображение йч К" — ьМ, у(С) =усх (точку хо надо сдвинуть на время Сь по траектории первого пото ка, Се — второго и т. д.). 3 ад з ч а 1. Докажите, по построенное отображение б (рис. 211) достаточно малой окреетвности У точки О ш И" гадает карту окрестности пючки юо: у каждой точки хе ж М суи»ествугт таках окрестность У» хо еи ж СУ ~ ', чкю б отображает У на ь»' диЯ5еаиоро»но.
У к п з а и в е. Применить теорему о венвной функции и восвользоватьсн пикейной веззвнсвмостью налей в точке хо. Р Минеи ез Р . гма К ееазче З 3 а диче 2. Докажите» что б: Ип М ее»пь отображение на. У в а з а и и с. Соедините точку х ьа М с хо кривой [рнс. 212), покройте кривую вовечвым числом окрестностей ь» предйдущей задачи и определите С каи сумму сдвигов С;, соствеьствуюзцил пускам кривой. Заметим, что отобрал<ение йт К" -ь- М" не может быть взаимно однозначным, так как М" коьшактно, а К" нет.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
