В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 45
Текст из файла (страница 45)
О(() =(1(О), Р() =т(() + — '," ~ . Будем теперь искать каноническое преобразование, приводящее функцию Гамильтона Н (у, д) к виду К ®). С этой целью будем искать производящую функцию такого преобрааования Н ((в, д). Мы получаем нэ (2) условие Н(дд(9. н) () Ну) (4) где после дифференцирования вместо д следует подставить д (лг, (В). Заметим, что при фиксированном (д уравнение (4) имеет внд уравнения Гамильтона — Якоби. Т е о р ем а Я к о б и. Рели найдено решение Я (9, д) уравнения Гамилыпона — Якоби (4), зависли(ее от и параметров Д~ е) дгд и лмвсое, чпю ЙеФ вЂ” чь О, то канонические уравнения д(1 д» 2г= — — () =— дН .
ду дд ' др (5) решаются явно в квадратурах. 11ри ввюм функции (в (тт, д), определенные уравнениями — ' = у, являются п первыми интввдд((1, а) да ралами уравнений (5). 229 л Л7. МЕТОД ЯКОБИ вЂ” ГАМИЛЬТОНА Д о к а а а т е л ь с т в о. Рассмотрим каноническое преобразование с производящей функцией Я ((д, д). Имеем, согласно (2), д8 1т = д ((д, д), откуда находим(д (р, д). Вычислим функцию Н (Р, д) l дд в новых координатах Р, (д. Имеем Н(р, д) =Н ~ — (лд д) 9) ° ~дч Чтобы найти функцию Гамильтона в новых координатах, надо было бы подставить в это выражение (после дифференцирования) вместо д еговыран;ениечерез.Р и (д. Однако, согласно (4), это выражение от ег вовсе не зависит, так что просто Н(гл, д) = К(0).
Таким образом, в новых переменных уравнения (5) имеют вид (3), откуда непосредственно вытекает теорема Якоби. Теорема Якоби сводит решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений (б) к отысканию полного интел рала уравнения в частных производшлх (4). Может покаааться удивительным, что такое сведение более простого к более сложному доставляет эффективный метод решения конкретных задач. Между теле оказывается, что это — самый сильный из существующих методов точного интегрирования, и многие задачи, решенные я Якоби, вообще не поддаются решению други- Й тг дг ми методами. В. Примеры. Рассмотрим з а д а ч у о п р итяж енин двумя неподвижным и ц е нт р а м и.
Интерес к этой задаче возрос в по- вне. лел. эннннен- чеонне нооздннаты следнее время з связи с изучением двинеения искусственных спутников Земли. Достаточно ясно, что дэа близких притягивающих центра на оси з аппроксимируют притяжение слегка вытянутого вдоль оси г эллипсонда.
К несчастью, Земля не вытянута, а сплюснута. Выход состоит в том. чтобы поместить центры в мнимые точки на расстоянии ~ ле вдоль оси г. Аналитические формулы для решения сохраняют, конечно, силу и в комплексной области. Таким образом, получается приближение к полю тяготения Земли, в котором уравнения движения точно интегрируются и которое ближе к реальности, чем кеплеровское приближение (Земля — точка). Рассмотрим здесь для простоты лишь плоскую задачу о притяжении двумя неподвижными равными массами. Успех метода Якоби основан на применении подходящей системы координат, так нааываемых эллиптических координат.
Пусть расстояние между неподвижными точками 0„0з равно 2с (рис. 204), а расстояния движущейся массы от пих равны г, и гз. Зллиптические координаты ь, т1 определяются как сумма и равность расстояний до точек Ол, 0л. '$ = г, + гл, л) = г, — гз. ГЛ. 9.
КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ 3 а д а ч а. Выразить фувкцив Гамильтона через эллиптические моор- двиаты. Режен ие. Ливии $ = совет суть эллипсы с фокусами в О и 0„, т) = сопле — гиперболы с теми же фокусами (рис. 205). Ови взаимно ортого- иалькы, поэтому оээ = аэсвэ + сээ)ь)э. Найдем коэффицаевты а и Ь. При дзи- фкевии вдоль эллипса имеем й = сг соз а, сг = — сэ соз сь, г)Ч = 2 соз сь сэ. При движении вдоль гиперболы имеем сг = сг зш сь, сг = дг зщ а, ь$ = 2 ып а ся Итак, с =(2 ып а) ь, Ь = (2 аи а) ь. Далее, ка треугольвкка ОдМОэ находим гэ + гз + 2гьгэ аи 2а = 4ьа, откуда 4сэ — гэ — гз созе а — з1 пэ а = 2гьгэ 2г,гс сов' а + з(пэ а = 2гьгэ (гь + гэ)э — 4сэ з(пэ а.= 4гьгэ Рве. 205. Кснвээальвме эллипсы л гепсрбелм 4сэ — (гь — гэ)э соз и= 4 гьгэ "э э Но если ягэ= гэ сьяма то Т= / с. 2 Р =ай., Н= .,г — з+О 2 ~ ся л~~улз Итак, (гь+ гэ)э — 4сэ э 4с' — (~ ~ — гэ)э Ь А Н=рз 2 $ 2гьгэ ч 2гьгэ гь гэ Но г + гэ = $, гд — г = тэ 4гьг = $э — Чэ.
Поэтому ококчательво Вэ — 4сэ 4сэ — Чэ 4Щ Р4 ээ — + 4 ээ — э Р— Теперь будем решать уравнение Гамильтона — Якоби. Определение. Если в уравнение Ьеременная д, и производная д8/дд, входят лишь в виде комбина! дх цингу) —, дх), то говорят, что переменпая дх отделяется. В этом случае полезно поискать решеюш уравнения вида о = о (М + о (Де - д ) у ауь Полагая в исходном уравнении ср ~ —, дь) = с„, получаем 1ечь ' уравнение для Г с меньшим числом переменных Пусть о' = д' (дз,..., о„; сы с) — семейство решений этого уравнения, зависящее от параметров с,. Функции Я (д, с ) + Ю' 5 «7.
МЕТОД ЯКОБИ вЂ” ГАМИЛЬТОНА будут удовлетворять исходному уравнению, если О, удовлетворя/ад, ет обыкновенному уравнению «р ~ — „, д,) = с,. Это уравнение лег~аж ' Ед« ко решить; выражая — через о, и с, получаем — = ф(д, с«), дш дш % откУДа О, = ~ 7Р (ЧО сг) аДК Если в новом уравнении (с Фг) отделяется одна из переменных, скажем дз, мы можем повторять эту процедуру и (в благоприятном случае) найдем зависящее от и постоянных решение исходного уравнения 8 (йбс«)+д' Иг;с, з)+. +д (д;с,,с).
В таком случае говорят, что переменные полностью раздел ются. Если переме»шые полностью разделяются, то зависящее от и 7 дд параметров)решение уравнения Гамильтона — Якоби Фг ~ —, д) =0 «~ад ' находится квадратурами. Но тогда интегрируется в квадратурах и соответствующая система каноничеслих уравнений (теореме Якоби). Применим сказанное к аадаче о двух неподвижных центрах Уравнение Гамильтона — Якоби (4) имеет внд ( — ) (Ц« — 4с') + ( — ) (4с' — 71') = К ($« — 7~») + 474. а(ы можем разделить переменные, например, полагая — ,'~ 1'(Р— 4 ') — 4Ц вЂ” КР = ( д ( ~ ) (4с' — Ч')+КЧ'= си Тогда находим полный интеграл уравнения (4) в виде 8($, тб с„с,) =- ~)/ ~, а$+ ~~/ 4«,,— аЧ.
Теорема Якоби дает теперь явное выражение движения в задаче о двух неподвижных центрах через эллиптические интегралы. Подробное качественное исследование этого движения можно найти в книге Шарлье «Небесная механика» (Мл Наука, 1966.— 628 с.). Другое применение задачи о притяжении двумя неподвижными центрами — гто исследоеание движений с постоянной тягой е поле одного припиюиеаюи1его иентра. Речь идет о движении материальной точки под действием вычтоновского притяжения неподвижного центра и еще одной силы («тяги»), постоянной по величине и направлению.
Р>Ь В. КАНОНИЧКСКИЙ ФОРМАЛИЗМ Эта задача может рассматриваться как предельный случай задачи о притяжении двумя неподви>кными центрами. В процессе предельного перехода второй центр удаляется на бесконечность в направлении силы тяги (причем его масса должна расти так, чтобы обеспечить постоянство тяги, т. е. пропорционально квадрату удаления). Получающийся предельный случай аадачи о притяжении двумя неподвижными центрами интегрируется в явном виде (в эллиптических функциях). В этом можно убедиться при помощи предельного перехода или >ке непосредственно разделяя переменные в задаче о движении с постоянной тягой в поле одного центра. Координаты, в которых рааделяются переменные в атой задаче, получаются предельным переходом из эллиптических координат, когда один из центров удаляется на бесконечность.
Они называются параболическими координатами и даются формулами и=г — х, п=г+х (тяга направлена вдоль оси х). Описание траекторий двилсения с постоянной тягой (многие из которых весьма замысловаты) можно найти в книге В. В. БелецРнм зез. гесдсз еснзн кого «Очерки о движении космических тел» нз тРехосном злллнсслде (М . Паука >972) В качестве еще одного примера рассмотрим задачу о геодезических ка трехосном эллинсоиде е).
Здесь помогают эллиптические координаты Якоби Х~, Ц, Хз, которые суть три корня уравнения з> .з *з — + — '+ — '=(, )ч>).,>7.„ ах+ А аз+ Х аз+ Х где х, хз, хз — декартовы координаты. Я не буду приводить выкладок, показывающих, что переменные разделяются (их можно найти, например, в «Лекциях по динамике» Якоби), но приведу лишь результат> опишу поведение геодезических. Поверхности Х, = сопз«, Хз —— сопз«, й = сопзб суть поверхности второго порядка, нааываемые софовусными. Одна иа них эллипсоид, другая однополостный гиперболоид, третья двуполостный. Зллипсоид может вырождаться во внутренность эллипса, однополостный гиперболоид — во внешность эллипса или в часть плоскости л>ежду ветвями гиперболы, двуполостный — в часть плоскости вне ветвей гиперболы или в плоскость. Пусть рассматриваемый эллипсоид — один из эллипсоидов семейства с полуосями а > Ь ) с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
