В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Итака ы'=Ф Лйъ+ +4 ЛФ. Теорема Дарбу докавана. ГЛАВА 9 КАНОНИЧКСКИИ ФОРМАЛИЗМ В атой главе преобладает координатная точка арения. Раавитьгй Гамильтоном и Якоби аппарат производящих функций канонических преобрааований является самым мощным из имеющихся методов интегрирования дифференциальных уравнений динамики.
Кроме этого аппарата, глава содержит анечетномерный» подход к гамильтоновым фазовым потокам. Зта глава независима от предыдущей. Она содержит новые доказательства ряда результатов главы 8, а также объяснение происхождения теории симплектических многообразий. 9 44. Интегральиьш инвариант Пуанкаре — Картана В атом параграфе рассматривается геометрия 1-формы в аачетвомарвом пространстве. А. Гидродинамическая лемма.'Пусть и — векторное поле в трехмерном ориентированном евклидовом пространстве Ка, » = го$ и— поле его ротора.
Интегральные кривые» называются линиями ротора или вихревыми линиями. Пусть у„— замкнутая кривая в К» (рис. 180). Ливии ротора, проходящие через точки Тд, образуют трубку ротора. Пусть у» — другая кривая, охватывающая ту же трубку ротора, так что уг — у» = до, где о — 2-цепь, представляющая часть трубки о ротора. Справедлива Л ем м а Сто ко а. Циркуляция поля и по,/ обеим кривым у, и уа одинакова: 1 —. ° и и=феи.
гас.!Ю. трубка ъ т~ ротора Доказательство. По формуле Стокса ) всц — ') мЖ= = ')) го$ пд»а = О, так как госп касается трубки ротора, ч.т.д. Б. Многомерная лемма Стокса. Оказывается, лемма Стокса допускает обобщение на случай любого нечетномерного многообразия М' "г (вместо Н»). Чтобы сформулировать зто обобщение, перейдем от векторных полей к дифференциальным формам. РЛ. 9. КАНОНИЧЕСКИИ ФОРМАЛИЭМ Циркуляция поля Ф есть интеграл 1-формы оР (аР (с) = (и, Ь)). Ротору поля с соответствует 2-форма оР = Ао' (аю' (с, Ч) = = (Р, $, «))). Иэ этой формулы видно, что в каждой точке существует направление (а именно, направление ротора и, рис.
181), обладающее тем свойством, что циркуляция и по краю всякой «бесконечно малой площадки», содержащей т, равна нулю: йю'(», «)) = О УК. Действительно, йю' (Р, й) = (Р, », Ч) = О. 3 а м е ч а н и е. Переход от 2-формы юг = дю» к полю ротора»' — нс инвариантная операция: ркс «вь о она зависит от евклидовой структуры И~. »аксая с 2-сорное Однако направление в) ротора Р инвариантно в нечетном«»кон связано с 2-формой нР (и, значит, с 1-формой ю»). Действительно, легко проверить, что если »' ~ О, то направление»' определяется условием (оР (»', Ч)= О ч з)) однозначно.
Алгебраической основой многомерной леммы Стокса является существование оси у всякого вращения нечетномерного пространства. Л е м м а. Иусть «»« — алгебраическая внешняя 2-форма в нсчстнамсрнам линсйнсм пространстве И»"+ь. Тогда существует вектор ь ~ О такой, что -'В,Ч)=О ~ГЧ~К"-. Д о к а нате л ьс т в о. Кососимметрическая форма оР эадается кососимметрической матрицей А ы» ($, з)) = (А$, »)) нечетного порядка 2п + 1. Определитель такой матрицы равен нулю, так как А' = — А, йе1 А = йеь А' = йе$ ( — А) = ( — 1)»"+ йеь А = = — йес А.
Итак, определитель А равен нулю. Значит А имеет собственный вектор $ ~ О с собственным эначением О, что и требовалось доканать. Вектор $, для которого оР (5, Ч)ьк О при всех з), называется нулевым в«таврин формы ы». Очевидно, все нулевые векторы оР образуют линейное подпространство. Форма называется к«особой, если раэмерность этого пространства — минимальная воамоясная (т. е.
1 в нечетномерном пространстве К»"ы, О в четномерном). 3 а д а ч а. Рассмстрвм в чстномсрном пространстве К»ь с косрдн натеки Р» ° ° - . Ра' Яг» ° ° ° «ь 2 форму Ф» = вР» Л в«» + ° ° ° + ЙРп l~ йь~. Дон ажнтс, по форма Ф нес«оба. «) То есть нсорнватнрованная праман с направляющим в«к»ором» в ТК.. 1 44. интегРАльиый инВАРиАнт пуАнкАРе — кАРтАКА 207 3 а д а ч а. Рассмстрпи з печстясмсрнсы прострзпспю й«"+4 с ксордк Яатж Р ., Рз; Ч,..., Чз, г 2-ФОРМУ Ю' = ~ВР« Л ВЧ4 — 'Л Вг, ГДЗ Ю'— любая 1-форма в Кзч«4.
Докажите, что форма вз В«особа. Если 4оз — неособая форма в нечетномерном пространстве Кз"+4, то все нулевые векторы 5 формы юз лежат на одной прямой. Эта прямая инвариантно связана с формой юз. Пусть теперь М'"+' — нечетномерное дифференцируемое многообразие, 4зг — 1-форма на М. По предыдущей лемме в каждой пиг«ке х Е— : М имеется направление (т. е.
прямая (сЦ в касатаяьном пространстве ТМ„), обладающее тем свойством, что интеграл ют по краю «бесконечно малой площадки, содержащей гто направление», равен нулю: ды'(ф, )) =0 »Р,~ТМ„. Пусть далее 2-форма йог неособа. Тогда направление $ определено однозначно. Мы назовем его «направлением ротора» формы «зх. Интегральные кривые поля направлений ротора называются линиями ротора (или характеристиками) формы 4ох. Пусть ух — замкнутая кривая на М. Линии ротора, выходящие из точек уы обраауют «трубку ротора». Справедлива Многомерная лемма Стокса: Интеграл 1-формы со' по любой иг двух кривых, охватяыающих одну и ту же трубку ротора, одинаков: ~ 4гг = ~ сгг, если и т* уг — уз = до, где а — кусок трубки ротора.
Доказательство. По формуле Стокса — = ф = )а4зг. и вс с Бо значение а«сх на любой паре векторов, касательных к трубке ротора, равно нулю. (Действительно, зги два вектора лежат в 2-плоскости, проходящей через направление ротора, а на атой плоскости а«ог обращается в О.) Итак, ) дю' = О, что и доказывает лемму. « В. Канонические уравнения Гвиильтона. Из леммы Стокса непосредственно вытекают все основные положения гамильтоновой механики. Рассмотрим в качестве Мзя-г «расширенное фазовое пространство Кз"+4» с координатами р„..., р„; дм..., д„; й Пусть дана функдия Н = Н(р, д, 1).
Тогда можно составить ч) 1-форму «г' = тнйт — Н4(1 (ун(д = р«с(д, +... + р„с(д„). Применим к ю' лемму Стокса (рис. 182). «) Форма ю' кажется взятой с потолка. Мы увидим з сяедуюпжх параграфах, как идея рассмотреть зту форму зсзяяяяа зз оптики. гл. 9. клнсническии втсрмллиэм Т е о р е м а. Линии ротора формы тзв = у т(ц — Н ат в 2п + + 1-меркель расширенном фазовом прсстрансаые у, д, 8 однозначно првекпшруются на ось 1, т. е.
задаются функциями у = у (~), д = д (1). Эти функции удовлетворяют системе канонических дифференциальных уравнений с функцией Гамильтона Н: др дН дц ду — — — — — (1) дт дц ' вт др Иными словами, линии ротора формы уапц — Н тм суть траектории фазового потока в расширенном фазовом пространстве, т.
е. интегральные кривые канонических уравнений (1), в о. Дифференциал формы у т(д — Н с(т рио. 182. Гвмвльтоиово иоле и ливии говори Еорми и вв — ню Докааательст равен ~" =.у'артЛдцт — — йр;Лд — — йц Лйг) . дН дН дрт дат $1 Иэ этого выражения видно, что матрица 2-формы стев в координатах р, ц, 1 имеет вид (проверьте() — Н Н О Н вЂ” Н О А-) ив Ранг этой матрицы равен 2п (левый верхний 2п-угол невырожден). Поэтому 2-форма стюв неособа. Непосредственно проверяется, что вектор ( — Н, Н, 1) — собственный вектор матрицы А с соб- ственнымэначениемО (проверьте(). Значит, он надает направление линий ротора формы у т)д — Нтй'.
Но вектор ( — Н, Н, 1) есть как раа вектор скорости фавового потока (1). Итак, интегральные кривые (1) суть линии ротора формы у ад — Нттв, что и требовалось доканать. Г. Теорема об интегральном инварианте Пуанкаре — Картана. Применим теперь левтму Стокса. Получается фундаментальная Т е о р е м а. Нуппь две замкнутпые кривые у, у охватьыаютп одну и ту ясе трубку фазовых траекторий (1). Тогда интегралы формы уйц — Н тй по ним одинаковы: 1 уад — Нй1 = будд — На.
тт тв Форма у ад — Нтй называется интегральным инвариантом Пуанкаре — Нартпана *). *) В вврнвционном исчислении ~р дд — Н дт нввывввтои нввврнввтвым интегралом Гнльбврта. $ ы. интвгглльнын инВАРиАнт пулннлэв — клгтлнл 209' До к а за тел ьс тв о. Фазовые траектории суть линии ротора формы уйу — Наг, а интегралы по охватывающим одну трубку ротора замкнутым кривым одинаковы по лемме Стокса, ч.
т. д. Рассмотрим, в частности, кривые, составленные из одновременных состояний, т. е. лежащие в плоскостях г = совв$ (рис. т83). Вдоль таких кривых сй = О, и фуад — Ней = ууй~. Иэ предыдущей теоремы получается важное Следствие 1. Фазовый поток сохраняет интеграл Формы у с(д = РАБ.
+ +... + р„с(д„по замкнутым кривым. 7 е Действительно, пусть у,,*: Квя — ~-Кгя— ~е ')' преобравование фазового пространства р (у, д), осуществляемое фавовым потоком эа время от 8в до 8г(т е йв(ув до) с есть решение канонических уравнений (1) тв с начальными условиями у (~в) = ув, д (~в) = дв). Пусть у — любая замкнутая ' ~разят пг~~язгвг кривая в пространстве Кг" ~ Кггы (г = 8в) ° Тогда у~~',у есть замкнутая кривая в пространстве Кю (8 = 1г), охватывающая ту же трубку фазовых траекторий в Кг"". По предыдущей теореме, так как сй = 0 на у и на у',у, находим, Ф ус(д = ~ ус(д, что и требовалось доказать.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
