В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 37
Текст из файла (страница 37)
5 40. Алгебра Лн функций Гамильтона Гамяльтововы еекторяые поля па спмплекткческом многообразия образуют подалгебру алгебры Ля всех полей. Функции Гамяльтопа также образуют алгебру Лп: операция е атой алгебре называется скобкой Пуассона фуякцкй. Первые интегралы гамкльтоповк фазового потока образуют подглгебру алгебры Лк фувкцкй Гамяльтояа.
А. Скобка Пуассона двух функций. Пусть (Мч", оР) — симплектическое многообразие. Функции Н: Мх" — и К, заданной на симплектическом многообразии, соответствует однопараметрическая группа ул. 'Мт" -и Мз" канонических преобразований М'" — фазовый поток, функция Гамильтона которого равна Н. Пусть Р: Мг — +  — другая функция на многообразии Мг". О п р е д е л е н н е. Скобкой Пуассона (Р, Н) функций Р и Н, заданных на симплектическом многообразии (М"', сР), называется производная функции Р по направлению фазового потока с функцией Гамильтона Н: (Р Н)(х) = й ~, Р(ьй(х)).
Таким образом, скобка Пуассона двух функций на М есть снова функция на М. С л е д с т в и е 1. Функция Р тогда и только тогда является первым интегралом фазового потока с функцигй Гамилыпона Н, когда гс скобка Пуассона с Н равна толсдгствгнно нулю: (Р, Н) — = О. Мы можем дать определению скобки Пуассона несколько иную форму, если воспользуемся изоморфизмом 1 между 1-формами и векторными полями на снмплектическом многообразии (М'", «Р). Этот изоморфизм определен сооткоюенкем (сы.
у 37) оР (Л, 1оР) = ор (т)). Вектор скорости фазового потока йн есть 1 с(Н. Отсюда вытекает с С л е д с т в и е 2 Скобка Пуассона функций Р и Н равна значению 1-формьс аР на векторе 1 аН скорости фазового потока с функцией Г мильтона Н: (Р, Н) = сьР(1 сьН). Пользуясь предыдущей формулой еще раз, получаем С л еде т в и е 3. Скобка Пуассона функций Р и Н равна вкососк алярному проиаведгниюг векторов скоростей фааовык в88 гл.
а. симплентические многоовваэия сфу ц Г Нир: (Г, Н) = юз (1 ЫН, 1 дР). Теперь становится очевидным С л е д с т в и е 4. Скобка Пуассона функций Г и Н является кососимметрической билинейной функцией от Р и Н: (Р Н) = (Н Г) (Н Х~Г1 + Хзрз) = )ч (Н Гг) + 2 (Н Гз) ' (х,;=к). Сколь ни очевидны предыдущие рассуждения, они приводят к нетривиальным выводам, в том числе к следующему обобщению теоремы Э. Пбтер. Т е о р е м а. Если функция Гамилыяона Н, заданная на симялектическом многообрагии (ЛР", шз), выдерлсивает однонаралетрическую гружу канонических нреобрагований, гаданную гамильгаонианом Г, то Г есть первый интеграл системы с функцией Гамильтона Н.
Действительно, по условию Н есть первый интеграл потока Значит, (Н, Г) = О (следствие 1). Поэтому (Р, Н) = 0 (следствие 4) и Р— первый интеграл (следствие й), чм.д. 3 а дача (. Вычислить скобку Пуассона двух функций Р, Н в коордвнатвом каковвческом простревстзе Ксн = ((р, ч)), юе (ь, Ч) = сь Ч) = (14, ч). Р е ш е н в е. Согласно следствию 3 имеем ч1 дН дР дН дР (Р, Н) =(1ЙВ, 1 бр) = (бгаб Н, бгабР) = Л~ 1 др ад. дд др 1чя 10 — Н1 (мы польауемся свмплектвчностью 1 в тем,что 1 имеет звд ~ ~ в ба- ~Н авсе (р, ч))- 3 д ч а 2. Вычвслвть скобки ПУассона базжвых фу Р е ш е в в е Градиенты баавсвых фувнпвй образуют есамплевтяческвй базвсь: вх кососкалярные нровзведенвя суть (Рс Р1) = (Рс г1) = (вл г1) = б (Ж Ре) = (Рг Я) = г- 3 а д а ч а 3.
Докажвте, что отобрагсение А: Кка Ке", (р, д) ьь нь (Р(р О) 0 (р. ч)) каноническое тогда и только тогда, коеда скобки Пуассона любых деус 4ункций по переменным (р, О) и (Р, (1) соепадаютс дН др дН дР дН др дН др )я. а др да до др дР д(3 д() дР ( ' )1' 9' Р е ш е н в е. Пусть А — кановвческое. Тогда свмплекгвческве структуры йр /~ ба в ЙХ' ~~, й0 совпадают. Но определение скобки Пуассона (Р, Н) ввзарвавтво связано с свмплектвческой структурой, а не с коордвнатамн Постону (Р,Н) , = (Р,Н) = (Р, Н)с о. ОбратНО, ПуетЬ СКОбКИ Пуаееска (реь Ос) ИМЕЮТ СтапдартВЫЙ Вкд ЗадаЧИ 2 Тогда, очеввдво, йР /~ Щ = йр Ц йо, т. е.
отображевве А — каноническое $40. АлгввРА ли Функций гямильтонА т8в. 3 а д а ч а 4. Докажите, что скобко Нгосгоно пронос«гоняя внчослягтсо яо нрооняу Лойбннчсс (лл, Н) = Рг(Р», Н)+ Р,(Рю Н). У и а а а и и е. Скобка Пуассона (Ревя, Н) есть прои»водиая прои»иедеиия лл по вгправлевию поля 1ЙН. Б. Тож)ижтво Якоби. Т е о р е м а. Скобки Пуассона жрвх функций А, В, С удовлгтворяюпь тождеству Якоби." ((А, В), С) + ((В, С), А) + ((С, А), В) = О. Следствие.
Теорема Пуассона. СкобкаПуассона двух первых инпгггралов (Г, Г«) систнгмы с функцией Гамильтона Н есть снова первый интеграл. Д о к а з а т ел ь с т в о с л е д с т в и я. По тождествуЯкоби ((Гю Гг)г Н) = (Гп (Гт, Н)) + (Гг, (Н Гг)) = О + О, что и требовалось доказать. Таким образом, зная два первых интеграла, можно простой выкладкой получить третий, четвертый и т. д. Конечно, не все. получающиеся интегралы будут существенно новыми, так как всего независимых функций на ЛР" не более 2п. Иногда может получиться функция от старых интегралов, или константа, например нуль. Но иногда получается и новый интеграл. Й а д а ч а Ь.
Сосчитать скобки Пуз«сова номпоиевт рм рг, рг, Мм М»„ Мо векторов импульса и яяистического момента мехаяическои системы. От«от. (Мм Мг) = Мг, (Ммрд) = О, (Мы рг) = рг, (М» рг) = — р». Отсюда вытекает Т е о р о и з. Если о некоторой леяоннчгской оодочг сояронгттся доо кокконгнтм кинетического мак«ила, Мг и Мг, то сохронягтс«н третья. Доказательство тождества Якоби. Рассмотрим сумму ((А, В), С) + ((В, С), А) + ((С, А), В). Эта сумма есть «линейная комбинация вторых частных производных» функций.
Сосчитаем члены, содержащие вторые производные А: ((А, В), С) + ((С, А), В) = (К В вЂ” В Г )А, где Вь — дифференцирование по направлению $, з Н вЂ” гамильтоново поле с функцией Гамильтона Г. Но по лемме 2 $ 39 коммутатор дифференцирований ЕФЬв— — Вайс есть дифференциальный оператор первого порядка. Значит, никаких вторых производных А наша сумма не содержит. То же относится ко вторым производным В и С. Следовательно, сумма равна нулю, ч.т.д. С.л е д с т в и е 5. Пусть .В, С вЂ” гамилыноновыг поля с функциями Гамилыпона В, С. Рассмотрим скобку Пуассона вгюяорных -ИО гл. з.
симплектические многоовназия молей И, С). Это ееклюрное поле гамильтоноео, и его функция Гамильтона равна скобке Пуассона функций Гамильтона (В, С). Доказательство. Положим (В, С) =1). Тождество Якоби можно переписать в виде (А, Р) = ((А, В), С) — ((А, С), В), 1в = 1с1н — ~.васю ~.в = 1(л.сн что н требовалось доказать. В.
Алгебры Лн гамильтоновых полей, функций Гамильтона и первых интегралов. Линейное надпространство алгебры Ли .называется подалгеброй, если коммутатор двух любых элементов надпространства ему принадлежит. Подалгебра алгебры Ли сама является алгеброй Ли. Предыдущее следствие содержит, в частности, С л е д с т в и е 6. Гамильтоновы векторные поля на еимплектическак многообразии образуют подалгебру алгебры Ли всех полей. Теорема Пуассона о первых интегралах может быть переформулирована так: С л е д с т в и е 7.
Первые интегралы гамильтонова фазового потока образуют подалгебру алгебры Ли всех функций. Алгебру Ли функций Гамильтона можно естественно отобразить на алгебру Ли гамнльтоновых векторныхполей. Для этого каждой функции Н сопоставим гамильтоново векторное поле 11 с функ.цией Гамильтона Н. С л е д с т в и е 8. Отобр жение алгебры Ли функций на алгебру Ли гамильтоновых полей является гзмоморфиамом алгебр. Его ядро состоит из локально постоянных функций. Если Ме" сечено, то ядро одномерно и еоапоит из постоянн х.
Наше отображение линейно. Следствие 5 утверншает, что наше отображение переводит скобку Пуассона функций в скобку Пуассона векторных полей. Ядро состоит нэ функций Н,для которых 1 аН = О. Поскольку 1 — изоморфизм, аН = О, Н = сопзс, ч.т.д. С л е д с та не 9. Для того чтобы фазовые попюки с функция.ми Гам льтона Н, и Н, коммутировали, необходимо и достаточно, чтобы скобка Пуассона функций Нт и Н,, была (локально) посто чикой. По теореме пункта Д т 39 необходимо и достаточно, чтобы (11ы Не) = О, а по следствию 8 последнее условие эквивалентно й(Н~ й,) а— и О. Мы получили еще одно обобщение теоремы Э. Нетер: зная поток, комм утируюгций с исследуемым, можно построить первый интеграл.
Г. Локально гамкльтоновы векторкые поля. Пусть (Мо", оР) — скмплектвческое многообразпе, зг: Мтв - Мг" — однопарамстрнческая группа двффеоморфкзмов, сохранявщкх снмплектяческую структуру. Будет лв гс гамкльтоновым потоком? П р н м е р. Пусть Моо — двумерный тор те, точка которого аадаотся парок координат (р, З) тобй т. Пусть оР— обычный алемент площади Вр А 19ь 1 ее симплептическля ГЖОметРия /~ дд. Рассмотрим семейство сдвкгов уг (р, д) = (р + ц д) (рве. 173). Отобрткевяя уг сохраняют свмплевтвческую структуру (т. е. площадь). Мощно лв аадать соответствующее векторное поле (р = 1, Д = 0) фувкцвей Гамвльтона? Если бы р = — дН/дд, д = дН/др, мы вмелв бы дН/др = О, дН/дд = = — 1, т. е. Н = — д + С.
Но д — ато лнтсь локальная координата на Т"; отображенвя Н: Тг К, для Р которого дН/др = О, дН/дд = — 1, не существуег. Итак, уг ве есть гамильтонов фазовый поток. О и р е д ел е н в е. Локальна еамильтвкавым векгпврным полем на свмплевтяческом многообразии (д/чп, юе) называется векторное поле 1гх', где ыг — аамкнутая 1-форма на Мы". локально аамкнУтаЯ 1-фоРма Явлаетса днффеРен- тьрь цвалом функции, тг = дН.
Однако прк попытке продолжвть фувяцвю Н ва все ывотообрааве Мг", мм можем получить «мвогоаначвую функцию Гамвльтонаэ. Ибо замкнутая 1-форма на неодносвяавом мнотообраэвв мол<ее не быть дифференциалом (напрнмер, форма дд на Тг). Фазовый поток, заданный локально таывльтоновым векторным полем, называется лака ьнв гапильтвнееым потоком. 3 а д а ч а 6. Докажите, что вднвпар метрическая группа диффеемврфизмав гимплектичегкегв мнвгепбразия тведа и только тогда гахранлет еимпзектичеекую егпруктуру, когда она являетгя локальна гамильтвнввым фазввым потекам. У к а а а н в е. См.
т 38, А. 3 а д а ч а 7. Докажите, что в еим лектичееквм пространстве Кзк всвкая вднвиар метрическая еруппа каквничегких (гвхраняюп/их др /~ дд] диффевмарфизмве всегда яеляетгя гамилыпвнвеым потоком. У к а а а н в е. Всякая замкнутая 1-форма в Ке" является двфферевцналом фувкцвп. 3 а д а ч а 8. Докажите, что лвкальнв га.вильтвнввы векторные поля ебр зуют пвдалгебру алгебры Ли всех полей. При этол скобка Нуаегона двух локально гамильтвневых полей — зтв наетаюгцге галие«танеев иоле, егв функция Гамильтона однозначно *) впредвлена данными полями й, Ч пв формуле Н = юз (й, Ч).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
