В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 34
Текст из файла (страница 34)
У к а з а и и е. Воспользоваться конической ков:- огрукцией. Пусть ю~ — дифференциальная й-форма в К". Определим дифференциальную )« — 1-форму («коконус над ю») риз следующим обрааом: для л»одой цепи» Легко проверить, по й — 1-форма рыз существует и единственна; ее значение ва векторах $ы..., Ег «, касательных к К» в ш, равно 'Рю)з (зь ° ° ~ зг «) = ) ю«з (з, »$«, ° ° -, туч г) дь е Легко проверить, что д«р + р«д = 1 (тождественное преобразование). По»тому, если форма Фз замкнута, то д (рю«) = Фг.
1 эе. внкшнкк див энуннпкгованик Из 3 а д а ч а 15. Пусть Х вЂ” векторное поле ва М, а ю — дифференциальная»-форма. Определим дифферевцвальвую й — 1-форму (так называемое еиуюреии««ирои«««д«ии«Х па в) 1 ю соотвошеввем Рхю) (3» .. т«» д) = ю (Х э«г . 3»ж).
Докажите утсрмуиу «ам«ю«иии 'хб+ д»х = ~х где Ах — оператор дифференцирования пс ваправлевкю поля Х. (Действие оператора Е ва формы определяется с помощью фааового потока (д") поля Х соотношением (~хю)(~) =-~;~ «=э Оператор Ех ваэывают яров«««диод Ли клк ирои«««диод рыбака: поток васею мимо рыбака всевоэьвиквые 'ушфферевцкальяо-геометрические объекты, а рыбак садят на месте и их двфференцврует.) У к а э а в в е. Обоэвачкм чсреэ Н «оператор гомотопвв«, сопоставляющвй й-цепи 7: о М д + 1-цепь Н7: («х о) ду по формуле (Н7) (ц в) = д«7(х) (где 1 = [О, 1)). Тогда д«7 — 7= д(Н7)+ Н(ду). 3 а д а ч а 16.
Докажите формулу двфферевцвроваввя векторного пронэведевкя в трехмерном евклвдовом пространстве (илк рямавовом мвогообраэкк): го» [п, Ь[ = (а, Ь) + а д)т Ь вЂ” Ь дйт а (где (а, Ь) = С«Ь вЂ” скобке Пуассона векторных полей, см. $ 39). У к а э а в к е. Если т — элемевт объема, то г «(,,ь)э=багет. б~тп=д»т. (и ь) польэуясь этими соотношениями и ве забывая, что дт = О, легко вывести формулу для гсг [а, Ь[ вэ формулы гомотопки. 3. Добавленне 3.
Когомологнн и гомологнн. Все й-формы на М образуют линейное пространство, замкнутые й-формы— ею подпространство, а дифференциалы )с — [-форм — подпростраяство пространства замкнутых форм. (рактор-пространство (замкнутые формы)[(дифференциалы) = Н» (М, К) называется 'я-мерной группой вогомслогий многообразия М. Элементом этой группы является класс замкнутых форм, отличающихся друг от друга лишь на дифференциал. 3 а д а ч а 17.
Докааать, что для окружвостя Я«имеем Нт (Ю«, Н) = 3 Размерность пространства Н» (М, К) называется я-мерным числом Бетти мноюобраэия М. 3 а д а ч а 18. Найти одвомеркое число Бетти тора уэ = Ю«х 8«. Поток жидкости (без источников) череа поверхности двух концентрических сфер одинаков. Вообще, прк интегрировании х'л. 7. диФФегенциальные ФОРмы замкнутой формы по Й-мерному циклу можно заменять цикл на другой при условии, что их разность есть граница й + 1-мерной цепи (»пленки», рис.
165): 1 1 д если а — Ь = дс„„и ош = О. Такие два цикла а, Ь Пуан- каре незвал гомологичнььки. Ряс. 16». Гсшьчогичяые пиплы При надлежащем определении ь) группы цепей на многообразии М и лежащих в ней подгрупп циклов и границ (т. е.циклов, гомологичных нулю), фактор-группа (циклы)l(границы) = Н» (М) называется е-мерной грут1ой гомологий М. Элементом этой группы является класс гомологичных друг другу циклов. Ранг этой груш1ы также равен к-мерному числу Бетти многообразия М (стеорема Де Рама»).
') Нашу группу (с») следует для »тото уыеньпшть, отождествив между собой кусни, отличающиеся лишь выбором параметрвгацвя 1 в выбором мяогогравявков В. В частвостя, можно считать, что Р— всегда один я тот тот жс симплекс вли куб. Далев, следует считать равным пулю всякий Р- мерный кусок (1), 1, Ор), если оя выроящеп, т. е. 1 = 1, ро где й: 1) й' и В' выест ыскьше чем й в»мереввй. ГЛАВА 8 СИМПЛЕКТИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ Симплектическая структура на многообразии — это замкаутая невырожденная дифференциальная 2-форма на нем. Фазовые пространства механических систем имеют естественные симплекгические структуры.
На симплектическом многообразии, как и на римановом, имеется естественный иэоморфизм между векторными полями и 1-формами. Векторное поле на симплектическом многообразии, соответствующее дифференциалу функции, называется гамильтоновым векторным полем. Векторное поле аа многообразии задает фазовый поток: однопараметрическую группу диффеоморфизмов. Фазовый поток гамильтоаова векторного поля на симплектическом многообразии сохраняет симплектическую структуру фазового пространства. Векторные поля на многообразии образуют алгебру Ли. Гамильтоновы векторные поля на сималектическом многообразии также образуют алгебру Ли.
Операции в атих алгебрах называются скобками Пуассоаа. й ЗУ. Симплектнческая структура на многообразии Здесь определены симплектические многообразия, гвмильтояовы векторяые паля нз них и стзндвртизя сюшлектическзл структура в каквсзтельном расслоении. А. Определение. Пусть М'"-четномерное дифференцируемое многообразие. Симплектической структурой на Мз" называется замкнутая невыроя~депная дифференциальная 2-форма вз на М': с(сов=О, ~)сй~О Зг):соз($,т~)~О ($,т)~ТМ ). Пара (Мз", сзз) называется симплектичееким многообразием.
П р и мер. Рассмотрим линейное пространство Взз с координатами рь йь и пусть ыз = Х лр; /~ Ет. 3 з д з ч з. Проверить, что (Вз", ыз) — свмплвктическое многообразие. При л = 1 пара (Вз, ы)) есть пара (плоскость, площадь). Следующий пример объясняет появление симплектических многообразий в динамике. Наряду с касательным расслоением дифференцируемого многообразия часто полезао рассматривать двойственное ему кокасательное. 176 гл. а. симплвктичкскив многоовглаия Б.
Кокасательное расслоение и его симплектическая структура. Пусть э» — дифференцируемое и-мерное многообразие. 1- форма на касательном пространстве к У в точке ж нааывается кокасательным векторам к э» в точке х. Множество всех кокасательных к э» в точке х векторов обрааует и-мерное линейное пространство, сопряженное н касательному пространству Т г' . Это линейное пространство кокасательных векторов обозначается через Те«» и называется кокасательным пространстеам к многообращпо У в точке ж.
Объединение кокасательных пространств к многообрааию во всех его точках называется кокасательным расслоением э» и обозначается через ТеУ. Множество Те э» име- ет естественную структуру дифференцируемого многообрааия размерности 2п. Точка из ТеУ вЂ” ато 1-форма на касательном пространстве к э» в какой-либо точке ив У. Коли д — набор и локальных координат точки из э», то такая форма вадается своими и компонентами р. Вместе 2п чисел у, д составляют набор локальных координат точки Т* У. г с. «ее. «-е«рм«в ге Существует естественная проекция Т* у — э- э» (сопоставляющая каждой 1-форме на ТУ„точку ю). Проекция у является дифференцируемым отображением на. Прообраа точки х б= 1» при отображении у есть кокасательное пространство Теу . Т е о р е и а. Кокасательное расслоение Те т' имеет естественную симплектическую структуру.
В описанных еыи«е локальных координатах эта структура эадаетсл формулой 1«о = «(у Л «Ъ = арэ Л дуэ + ". + ира Л «(Ч ° Д о к а з а т е л ь с т в о. Вначале мы определим на Те «» вамечательную 1-форму. Пусть 5 6= Т (Теу)р — вектор, касательный к кокасательному расслоению в точке р ч= Те э' (рис. 166). Проиаводная ~е: Т (Те«») - Т «» естественной проекции ): Те г - э» переводит 5 в вектор» б, касательный к У в точке ж. Определим 1-форму юэ на Те э» соотношением «о' (с) = р (Я). В описанных выше локальных координатах эта форма имеет вид ю« = р дд.
Согласно примеру пункта А вамкнугая 2-форма «оэ = «(юэ не вырождена. 3 а м е ч а н и е. Рассмотрим лагранжеву механическую систему с конфигурационным многообрааием Р и функцией Лагранжа и. Легко сообрааить, что лаграижева «обобщенная скоростьэ ф — касательный к конфятурационному многообрааию У вектор, а «обобщенный имаульсэ р = дб»еф — кокасательный. Поэтому фааовое «р, Еэ-пространство лагранжевой аадачи — ато кокасательное расслоение конфигурационного многообрааня.
Итак, предыдущая теорема показывает, что фааовое пространство механической аадачи имеет естественную структуру симплеатического многообрааия. 1 88. гамильтоновы ФАдовыи потоки 1УТ 3 а дача. Покажнте, что пресбрааованпе Лежандра не аавнспт от системы коордвнат: опо сойоставляет функции Е: Тг' К на касательном, расслоенпн фувкцвю Н: Те у К на кокасательпом. В. Гамильтоновы векторные поля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
