В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Коли в локальной системе координат х,..., х„на М форма ьза записывагтсл в виде ю" = Хац .. з„дхь Л... Л дх~„ то форма ьг записывается в виде а=йР=Хдо«,... $„Лдхьл...дс(х;,. (2) Доказательство этой теоремы я приведу для случая формы юг = а (х„хз) дх, на плосрао. тзз. к теореме кости хы х . В общем случае доказательство ~,а во" в совершенно аналогичное,но выкладки несколь- ко длиннее.
Сосчитаем вначение г', т. е. интеграл юг по границе параллелограмма П со сторонами 4, т) и вершиной в О (рис. 158). Цепь дП задается отображениями отрезка О ( 1 ( 1 на плоскость з еьо, 8 ь+ т)1, г ~- тр, 1 «Ч+ э«с кратяостями1, 1, — 1, — 1 ° Поэтому $ ' =)((а(эг) — а(эг+ т))1 э — (а(т)г) — (чг+ э)1 гс(1, гп е 167 5 35. ВНЕШНЕБ ДИФФЕРЕНПИРОВАНИЕ гле $, = Их, (т), т), = Их, (5(), Ев = с(хв (б), т) = Их (Ч) — компоненты векторов $, т). Но а(р(+т)) — а(аР) = зв т)г+,~' т)в+0(т'+т)') (производные берутся при хг = хв = 0). Точно так же а(Ч(+т) — а(Чг) = — $ + — $ +0($5+т)в).
Подставляя эти выражения в интеграл, находим Р (Ф, т)) = со' = — Квт) — $»т) ) + о (Р+ т)') ° Главная билинейная часть г, как обещано в (1), оказалась значением внешней 2-формы на паре векторов б, т). Прн этом полученная форма дается формулой (2), ибо Наконец, если систему координат х, хв заменить другой (рис.
159)в то параллелограмм П заменится близким криволинейным параллелограммом П', так что разница значений интегралов ) со' — ) «Р будет малой выше второго оп сп П порядка (проверьте)), ч.т.д. у зу~ 3 а д а ч а 2. Проеестн доказательство теоремы в общем случае. 3 а д а ч а 3. Доказать формулы днфференцкрованкя суммы н пронвведеккя: Рвс.
Г»9. Нсзовяса- яость ввсыаса кроо бк» Л Ф~) = ~(ы~ Л ы~+ ( — з)~ы~ Д с)ыз, взводное ст своавзя воордвовт З(Ы + Фз) = Ь + Н 3 а д а ч а 4. Доказать, что дифференциал дифференциала равен нулкя и=о. 3 а д а ч а б. Пусть Д М У вЂ” гладкое отображекке, ы — »-форма на )з. Докажите, что гз (Ао) = д ((зы). Г. Формула Стокса, Одним из важнейших следствий теоремы о внешней производной является ф о р м у л а Н ь ю то па†Лей б н и ца — Гаусса — Грина — Остроградскогоо — С т о к с а — П у а н к а р е: ~ «5 =) (Со, до с Гл. 7. диФФеРенпиальные ФОРмы Рис.
166, Дскаеательсткс Есрыулы Стокса для параллелепипеда По формуле (1) имеем Ре = Итс( „..., $~ )+ (1)'"'и) лт+т где у',..., ~к~кт — ребра П1. Но ~ Йс(61,- ° ° ка+1) есть интегральная сумма для ~ йс. легко проверить, что о (1у-1к+и)— и равномерное, поэтому ЛИ+1 ив+1 11ш,~~~ Р1 = 11ш ~~'~ Йе(кек,..., бе+1) = ) с(ю. Л ак 1 т Е- и и Окончательно находим 1 -=Хуе =61ш Хрт =1д еп п Отсюда автоматически следует формула (3) для любой цепи, многогранники которой — параллелепипеды. Чтобы доказать формулу (3) для любого выпуклого многогранника Ю, достаточно доказать ее для симплекса е), так как Ю всегда можно разбить на симплексы (рис.
161): 0 = ХВ1 дй = ХдР1. Докажем формулу (3) для симплекса. Заметим, что й-мерный ориентированный куб можно дифференцируемо отобразить на 16-мерный ориентированный симплекс так, что: Рис. 161. Раабиекие выптклскс икстсераккика ка сии- плекеы ") Двумерный симплекс есть треугольник, трехмерный — тетраедр, й-мервый — выпуклая оболочка й + 1 точки в К", ие лежаплей в й — 1-меркой плсскссти. и Пример.
(ха К:х ~0, .~к~~ хт~(1~. 1=1 где с — любая й+ 1-цепь на мнопюбраэии М, а ю — любая 7с-форма на многообразии М. Д о к а э а т ель с т в о этой формулы достаточно провести для случая, когда цепь состоит из одного куска а. Предположим сначала, что этот кусок а эадаетсяориентированным параллелепипедом П С 11л+1 (рис. 160). Разобьем П на ~Р+1 малых равных параллелепипедов П;, подобных П. Тогда, очевидно, хе+1 )се=,~~ со где Гт= ) Ф. сп дп- 6 66. Внешнее днФФВРенциРованиВ 169 1) внутренность куба диффеоморфно и с сохранением ориентации переходит во внутренность симплекса; 2) внутренности некоторых й — 1-мерных граней куба диффеоморфно и с сохранением ориентации переходят во внутренности граней симплекса; образы остальных 1с — 1-мерных граней куба лежат в й — 2-мерных гранях симплекса.
Например, для и = 2 такое отображение куба 0 ( х„хт ( 1 на треугольник дается формулами у = х, у = хгт (рис. 162). Теперь формула (3) для симплекса вытекает иэ доказанной формулы (3)для куба и теоремы о замене переменной (см. стр. 160). П р и м е р 1. Рассмотрим в Вто с ко- ордвватами р„..., р„; дд,..., ои 1-форму 16' = Радда + * ° + ридуи = 21 4~. Тогда с(161 = с(рв/~,е(дт+... + е(р„/~, Йу„= = с(21 Л е)д, поэтому Рис.
162. Доиавателаство зори тли Стокса Я~ла Лдй ~ 18 ссй* или сиислеиса се Сев В частности, если ст — замкнутая поверхность (дс, = 0), то Цд1 Ддй=О. св Д. Пример 2. Векторный анализ. В трехмерном ориентированном римановом пространстве М всякому векторному полю М соответствует 1-форма от~~ и 2-форма со~и. Поэтому внешнее дифференцирование можно рассматривать как векторную операцию. Внешнему дифференцированию 0-форм (функций), 1-форм и 2-форм отвечают операции градиента, ротора и дивергенцни, определенные соотношениями Ф = соатасн евсо 1 = тото1 Ав свс1А = и)т Асс (форма соа — элемент объема на йт). Итак, иэ (3) вытекает 1(у) — ~(х) =~йтад~ Л, если д1=у — х, ~АсУ =ЦгоВА ° два, если дую =1, 1 8 )) Адта=)))й(РАсси, если дВ= д.
8 и 3 алака 6. Докажите, что Йт ( й, В) = (тот А, В) — (тот В, А), тот аА = (Зтай а, А) + и гоФ А, йттаА = (Зтай а, А) + а йт А. 170 ГЛ. 7. ДИФФЕРЕИДПГАЛЬНЬДЕ ФОРМЫ У к а а а н н е. Но формуле дифференцирования произведения форм д(~л,л))="~~АЛ Фдэ) =дмл/ едв — ~лЛ дэЪ. 3 а д а ч а 7. Докаиште, что гог йтаэ) = Жч гос = О. Указание. Ад=О.
Поат оку / дАэ д/Еэ дАв)/Еа ) дел=), д, — аг / дхзЛА э+" ° =~ ГА. По стр. 157 находим 1 / ддз)ГЕэ дАа)/Еэ ) д/ Еэеа д дхз Аа)/Еэ у' Едед д Ад р'Ед 4/Еаез д д.эз Аа )/Ев )/ЕдЕэЕэ В частности, в декартовых, цилиндрических и сферических координатах в Кэ: 3 адата 9.
Найти дввергенцию поля А = Адед+ Авва+ Аэеэ. Р е ш е н н е. едал = Ад)/ЕэЕэ дхэ /д дхв +... Следовательно, 4=4ФИ'Е.Е.) А*.и /,а +-. По определению дввергокцви, АФА = й)т А)/ЕдиаЕз дхд /Д дхэ Л дхз. Значат, 1 Г д, д д ~ д Ад)' Еэиз+ — Азу ЕэЕд+ д Ав 1/ЕдЕв1 ° р/ЕдЕ и 'д дхд дха дхв Е. Добавление д. Векторные операции в триортогоиальиой системе. Пусть х, х„хэ — триортогокальпаи система координат в М, ээээ = Едэдхд + Евэ)хэ + Езэдхэз и е; — координатные орты (см.
стр. $56). 3 адач а 8. Зная компоненты векторного поля А = Аде, + А,е + +Азсзэ найти компоненты его ротора. Р е шеи из. Согласно стр. 157, ерл — — А д)/ Еддхд + Аэ)/ Еадха + А в~/ Еэдхэ. 1 ВВ. ВНВШНКВ ДИФФВВВНЦИЕОВВПИК В частности, в декартовых, цилиндрических в сферических коордвватах в йвз дА дА„дА 1 / дглг дА 1 дА С А —.+ в+ — *- — ~ + )+ дз до дз г ~ дг ды ) дз / дззз сов ЭАа дкА дй сов ЗАв в; б ~ и 3 а д а ч а 10. Оператором Лапласа на М называется оператор Ь = Йт йтаз1.
Найти его выражение в координатах зо В частности, в Вз дз1 д~~ дзХ дз1 1 д1 1 дз1 дз1 дзз + дрз + дзз дгз + г дг + гз двл + дзз — (зззсовэ — ) + — ( — 5- — )+-и)-(соей ~) (з. Ж. Добавление 2. Замкнутьзе формы и циклы. Поток несжимаемой жидкости (без источников) через край области П равен нулю. Сформулируем многомерный аналог этого очевидного предложения.
Многомерный аналог потока без источников называется замкнутой формой. Поле А не имеет источников, если з)1т .4 = О. О и р еде ление. Дифференциальвая форма ю на многообразии М вамкнута, если ее внешняя производная равна нулюз з(зо = О. В частности, 2-форма озал, отвечающая полю беэ источников А, замкнута. Из формулы Стокса (3) сразу следует Т е о р е м а. ХХнтеерал вамкнугпой формы ю" по границе любой гс + 1-мерной цепи е„равен нулю: ю» = О, если зуев = О.
вз~ +з 3 а д а ч а 11. Докажите, что двфферевцвал формы всегда аамквут. С другой стороны, существуют замкнутые гас. зев. и е .а формы, не являющиеся дифференциалами.1 Например, рассмотрим в качестве многообразия ЛХ трехмеркое евклидова пространство Кв без точки О: М = йв — О, а в качестве 2-формы — поток поля А = — ея (рис. 163). Легко убедиться, что с)1ч А. = О, так что наша 2-форма юл замкнута. В то же время поток через любую сферу с центром в О равен 4я.
Покажем, что интеграл дифференциала формы по сфере должен равняться нулюз ГЛ. 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ О и р еде л ение. »4'иклол«на многообразии М называется цепь, граница которой равна нулю. Ориентированную поверхность нашей сферы можно рассматривать как цикл. Из формулы Стокса (3) сразу следует Т е о р е м а. ХХнтлеерал диу)у)еренциала по любол«у циклу радея нулю: «(шт = О, если дог+» — О. сг«» Итак, наша 2-форма ш' не есть дифференциал никакой х-ФОРМЫ. Существование на мнообразии М замкнутых форм, не являющихся дифференциалами, связано с топологическими свойствами М. Можно показать, что в линейном пространстве всякая замкнутая й-форма есть дифференциал некоторой й — 1-формы («лемма Пуанкареэ).
3 а д а ч а 12. Докажите лемму Пуанкаре для 1-форм. Х« У к а ванне. Рассмотрите ~ ы«=Ф(з«). 3 а д а ч а 13. Декан«вте, что в линейном пространстве интеграл замкнутой формы по любому циклу равен нулю. У к а з а н и е. Построить л + 1-цепь, границей которой является данный цикл (рис. 164). А именно, для любой цепи с рассмотрите «конус иад с с вершиной 0». Если обозначить операцию построения конуса через р, то д«р + р«д = 1 (тождественное преобразование). Поэтому, если цепь с замкнута, то д (р«) = с. 3 а д а ч а 14. Докажите, что в линейном простраи- Р„с «с«к,мт «, л стае всЯкаЯ замкнУтан фоРма ЯвлЯетсЯ полным диффелззлсм ревциалом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
