В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 30
Текст из файла (страница 30)
ДИФФВРЕКЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ Пусть Е с-= ТМ вЂ” вектор скорости кривой ю (с): К вЂ” М, ж(0) =. ж,ж (О) = в. Тогда, по определению, 3 а д а ч а 1. Пусть й — вектор скорости плоской крсиой х (с) = = сов с, у (с) = в(п с при с =- О. Вычислить значения диффсреяцкалов с(хо е(у функцспс х, у на векторе й (рис. 141), Опсоет. есх )с,о (,") = с 4/)с,о (б) = 1. Эам тим что дифференциал функции с в точке х с== М есть 1-форма с(у„на касательном пространстве ТМ . Дифференциал осу функции 1 на многообразии М есть гладкое отображение касательного расслоения ТМ в прямую с((: ТМ вЂ” К (ТМ = ( ) ТМ„). Это отображение линейно на каясдом касательном пространстве ТМ Г ТМ и дифференцируемо. О и р е д е л е н и е.
Дифференциальной формой степени 1 (или 1-формой) на многообразии М называется гладкое отображение Ф: ТЛŠ— ьВ касательного расслоения многообравия М в прямую, линейное на каксдом касательном пространстве ТМ„. Монсно сказать, что дифференциальная 1-форма на М есть алгебраическая 1-форма ка ТМ„, «дифференцирремая по хо. 3 а д а ч а 2.
Докажите, что всякая дифференциальная 1-форма на прямой является диффереициалом некоторой функции. 3 а д а ч а 3. Ня окружности и на плоскости нанти доффереициальныо 1-формы, нс являющиеся дифференциалами нпкакит функций. Б. Общий вид дифференциальных 1-форм в К". Рассмотрим в качестве многообразия М линейное пространство с координатами хс,..., х„. Напомню, что компонентамн ьс...., 5„касательного вектора а Е= ТВо называются значения дифференциалов координат с(х„..., с)х, на векторе й. Эти и 1-форм на ТК", линейно независимы. Итак, 1-формы с)х„..., с)х„образуют базис в и-мерном пространстве 1-форм на ТК„".
Следовательно, всякая 1-форма в ТВ" однозначно записывается в виде асс(хс +... + а„с(х„, где ас — вещественные козффициенты. Пусть теперь со — произвольная дифференциальная 1-форма в К'. В канщой точке х она однозначно разлагается по базису с(хс,..., с)хо. Отсюда вытекает Т е о р е м а. Всоякач дифференциальная 1-форма в пространстве К" с выбранной системой координат х,..., х„однозначно ГЛ. 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ записывается в виде ю = ах (х) 4(хг +...
+ а„(х) дх„, где коаффициенты а4 (х) — гладкие функции. 3 а Дача 4. Вычислить зкачеииЯ фоРм ю, = Вхг, юа = хгех„ю = = Игз (г' = хэ + хз) иа векторах $ю 2„5а (рис. 142). божею. — 1 — 2 — 8 1 — 2 0 Ф, 0 1 2 У х, Рве. 142. К задаче 4 3 а д а ч а э. Пусть х„..., х — функции ка многообразии М, образующие локальную координатную систему в некоторой области. Докажите, что каждая 1-форхга в этой области однозначно записывается в виде ю = ег (.т) Вхг +... + з (х) Ех .
В. ДнффврвицнаЛЬНЫЕ ге-фериы. О и р еде л е н и е. Дифференциальной )г-формой ю" ( в точке х многообразия М называетея внешнял )г-форма на касательном проегпранстпве ТМ» к М х, т. е. й-линейная косоеимметричная функция от й векторов йг,..., 8», касательных к М в м. Если такая форма ю» ~„задана в каждой точке зс многообрааия М и если она дифференцируема, то говорят, что дана Й-форма ю» на многообразии М. 3 а д а ч а 6. Ввести естествевиую структуру дифферекцируемого мвогообразия в множество, элемент которого — набор й векторов, насаквцихся М в какой-нибудь точке х.
Дифференциальная й-форма есть гладкое отображение полученного многообразия в прямую. Можно сказать, что й-форма на М есть внешняя )г-форма на ТМ», «зависли(ая дифференцируемым образом от жв. Сложение, умножение на число и внешнее умножение форм на М определяются поточечно: в каждой точке ж б= М надо сложить, умножить на число или внешне перемножить соответствующие алгебраические внешние формы на касательном пространстве ТМ„. 3 а дача 7. Докажите, что все А-формы иа М образуют линейное простракство (бесконечной размерности, если й ке превосходит раэмериости М). Дифференциальные формы можно умножать не только на числа, но и на функции.
Множество С -дифференциальвьгх 155 6 34. диФФевкнгшальнык Фовмы к-форм имеет, таким образом, естественную структуру модуля над кольцом бесконечно дифференцнруемых вещественных функций на М. Д. Общий вид дифференциальных й-форм в К". Рассмотрим в качестве многообразия М линейное пространство К" с фиксированными коордвнатными функциями хз,..., х„: К" -з- И. Зафиксируем точку х. Мы видели выше, что п 1-форм з(хз,..., дх„ образуют базис в пространстве 1-форм на касательном пространстве ТК,",. Рассмотрим внепшие произведения базисных форм й*ч/" Лд...«".' В 3 32 мы видели, что зти Св й-форм образуют базис в пространстве внешних й-форм на ТК"„.
Следовательно, каждая внешняя А-форма на ТК однозначно записывается в виде Х ч..„д ЧЛ -./'д;„. ч« ~з Пусть теперь юе — произвольная дифференциальная й-форма и пространстве К". В каждой точке х она однозначно разлагается по выписанному выше базису. Отсюда вытекает Т е о р е и а. Всякая дифференциальная К-форлза в пространстве К" с выбранной систелеой координат хз,..., хв однозначно ваписыеаюлся в 2 виде тз ю ~ а„. (х)з(хв/~, .
/,Нх, „ ч« ... Ва где а,,..тт (ю) — гладкие функции на К . 3 а д в ч а 8. Вычислить эначвнан фсрч ю = Ех /~ гас. зю.кззлзче в ЛЕхт ю — хзвх| Р, Ех — хзвх ЛЕть юз = гЕ Л йр (где х =- г сов зу, х, = г вш и) на парах вектоРов (вь Чз) (ев. Чз). (Зз Чз) (рнс. 143). Ответ. (йз Чз) (ьз. Чз) — 1 — 3 — 1 3 а д а ч а 9. Вычислить значения Форм ы, = Ехз Р~ Ехз юз = хзлхз Л /1 Ехз, юз = Ех д Егз, гз = аз+ хз+ хз, на варе ввктсрсв ь = (1, 1, Ц, Ч = (1, 2, 3), приложенных в точке х = (2, О, О). Овззет.
ыз — — 1, ыз = — 2, юз —— — 8. 3 а д а ч а 10. Пусть хз,..., х: ))з  — функции на многообразна, образующие локальную коордннатную систему в некоторой области. ГЛ. 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ Докажите, что каждая дифференпяальная форма е этой области однозначно эаппсыааеяся е виде Х ц,„, ( ) д.й Р, ". / д;„, Я <.-сдэ П р и м е р. Замена переляеннмх е форме. Пусть в Кэ имеются две системы координат: хя, х„, хэ и уя, уя, уз.
Пусть о» вЂ” 2-форма в Кз. Тогда по последней теореме в системе х-координат оя ааписынается в виде оя = Хяя(хэ /~ я)хэ + Хэя(хз /~ я(х + Хзя)хя /', я(хз, где Хя, Хэ, Х, — функции от тя, хя, хэ, и в системе у-координат — в виде ы = Уяс(уз /~ я(уз + Уядуз Д я(уя + У эг)уя /'~ я(у„ где У„Уэ, Уз — функции от уя, уя, уз. 3 а д а ч а 11. Зная епд формы э я-координатах (т. е.
Х,) и формулы замены переменных, зэ =- х (у), нанти апд формы э р-координатах, т. е найти у. дя. я де. ! д.в. 1 Р е ьэ е н п е. Имеем д». = —. дря+ —. дуя+ —. дрз. Поэтому дш ' дря ' ' дрз I дия д.»я дэя 1 l д»з вяз дгз откуда )зХд~О()~+Хэлер()[+Хз(О()~иг Е. Добавление. Дифференциальные формы в трехмерном пространстве. Пусть ЛХ вЂ” трехмерное ориентированное риманово многообразие (но всех дальнейших примерах Лй — евклидово трехмерное пространство Кз). Пусть е. хя, хя, хэ — локальные координаты, д и пусть квадрат элемента длины р' у имеет вид Я)Я-' = Е йР + Е я(х~ ~+ Е сьд РЕС. Ыы Кэвлзчв яг Рес.
яяэ. К эа даче яэ (т. е. система координат триортогональная). 3 а д а ч а 12. Найтк Ея, Вя, Ьз для декартовых коорданэт я, р, я, цилиндрических координат г, Ф. я и сферических координат В, Ф, 0 э еэклпдоэом пространстае Кэ (рпс. 144). Ответ. дяэ = дяэ + дрэ + дяз = дгз + ездя(Я + дяз = дВз + Вз соээ 0 дг(Д + Вздев. Обояначим через е„е„е, орты координатных направлений. Эти три вектора обрануют бааис в касательном пространстве. 3 а д а ч а 13.
Найти значения форм я(яя, дгэ, дяя на векторах е„ея, е, 1 Ответ. деэ(е,) =-=, сстальные О. В частности, а декартовой си- )/Х, ' стеме дя (е„) = др (еэ) = дя (е,) = 1; э цилиндрической дг (ег) = дз (ея) = $ зд. днФФеренцилльные Формы 1 = 1, Ар (е, ) = 1/г (рис. 145); в сферической ИВ (ея) = 1, Адр(еч) =— 1 НВ(е ) = —. е — Е . Метрика и ориентации многообразия М снабжают касательное пространство к М в каждой точке структурой евклидова ориентированного трехмерного пространства. В смысле этой структуры мы будем говорить о скалярных, векторных и смешанных произведениях. 3 а д а ч а 14. Вычислить' [ед, ез), (ея, ее) и (е„ех, ех).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
