В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Итак, Ж лежит на пересечении зллипсоида со сферой. Чтобы разобраться в строении кривых пересечения, зафиксируем зл- липсоид Е ) О и будем менять радиус ег сферы М (рис. 121). Предположим для определенности, что 1, ) 1з» 1,. Полуоси зллипсоида будут )1 2Е1а» ф'2Е1з ) Ре2Е1з Если радиус сферы М меньше меныпей полуоси или больше большей (М(1у' 2Е1, ег или М ) уГ2Е11), то пересечение пу- аеяе~)ряяяя$еяесаасго,иакимзначенпямЕиМникаРяс. 121. Траектории Гряеяеяаа еаяеза иа йасезхиасти ТР ее е кое деиствительное движение не отвечает. Если радиус сферы равен малой полуоси, то пересечение состоит из двух точек. При увеличении радиуса(у' 2Е1з (ЛХ ( у' 2Е1з) получаются две кривые вокруг концов малой полуоси. Точно также, если радиус сферы равен большой полуоси, получаются ее концы, а если немного меньше,— то две близкие к концаз1 большои полуоси замкнутые кривые.
Наконец, если Л1 = ф'2Е1з, пересечение состоит из двух окружностей. $29. УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА 129 Каждый иэ шести концов полуосей эллипсоида есть отдельная траектория уравнений Эйлера (2) — стационарное положение вектора М. Ему соответствует постоянное значение вектора угловой скорости, направленного вдоль одной из осей инерции ей при этом 1е остается все время коллинеарным М. Поэтому вектор угловой скорости сохраняет свое положеш|е ю в пространстве коллинеарным ап: тело просто вращается с постоянной угловой скоростью вокруг неподвижной в пространстве оси инерции е|. О и р е д е л е н и е.
Движение тела, при котором его угловая скорость остаетсн постоянной (ю = сопз$, 1е =- сопз$), называется апационарным вращением. Доказана Т е о р е м а. Твердое |пело, закрепленное в точке О, допускает стационарное вращение вокруг любой иэ трех своих осей инерции Е|, Еа, Еа. Если, как ыы предполагали, 1| > г'2) уа, то правая часть уравнения Эйлера больше нигде в О не обращается, т. е. других стационарных врюцений нет. Исследуем теперь устойчивость стационарных решений уравнения Эйлера (по Ляпунову).
Т е о р е м а. Ст ционарные решения М = М,е, и М = ЛХ е уравнений Эйлера, соотееглствующие болыией и меньшей осям инерции, устойчивы, а решение, соответствующее средней оси (М = ЛХаеа), неустойчиво. Действительно, при малом отклонении начального условия от М,е, или Мае, траектория будет малой замкнутой кривой, а прн малом отклонении от Лйаеа — болыиой. 3 а Л а ч а. устойчивы ли ио адяиуиову стациоиарвые арал|екал тела вокруг большой и малой осей инерции? Отлета. Нет. В. Описание двюкения по Пуансо.
Мы хорошо представляем себе движение векторов момента и угловой скорости в теле (ЗХ и й) — оно периоднчно, если М ~ 112Е1~. Чтобы увидеть, как вращается тело е просп|ранстее, рассмотрим его эллипсоид инерции Э = (1е | (Ай, 1е) = 1) С: К, где А: 1е — + М вЂ” симметрический оператор инерции тела, закрепленного в О. В каждый момент времени эллипсоид Э занимает в неподвижном пространстве )е положение В,Э. Т е о р е и а (Пуансо). Эллипсоид инерции катится беэ скольжения по неподвижной плоскости, перпендикулярной вектору момента вп (рис. 122). Д о к а аа т ел ь ст во. Рассмотрим плоскость л, перпендикулярную вектору момента па и касательную к эллипсоиду (3О гл.
г. тВЖРдОе тжло инерции В,Э. Таких плоскостей всего две, и в точке касания нормаль к эллипсоиду параллельна гп. Но эллипсоид Э имеет в точке Я нормаль йгай (Ай, ьг)= = 2АЯ = 23Х. Поэтому в точках ~ $ = — пересечения у' 2Т оси св с В,Э нормаль к В,Э как раз коллянеарна тн. Итак, плоскость и касается В,Э в точках на мгновенной оси вращения, +$. Но скалярное произведение ф с неподвижным 1 вектором гп равно -~=(гн, со)=~ у''лТ и потому постоянно. у' 2Т Итак, расстояние плоскости и от О пе меняется, т. е.
плоскость п неподвижна. Так как точка касания лежит на ю мгновенной оси вращения, ее скорость ~/ТТ равна нулю. Значит, эллипсоид В~Э катится по и без скольжения, ч. т. д. Следствие. При близки к 0 у стационарному вращению вокруг боль- шой (или малой) оси инерции началь- ъ бг них условиях угловая скорость остает- -4 ся всегда близкой к своему начальному положению не только в теле (Й), но и в пространстве (сз). воо. ык качение оззоооооао Рассмотрим теперь траекторию точки инерции оо зеоокоооноа ооо- каоаняя на неподвижной плоскости л. оноотя Когда на эллнпсоиде точка касания сделает полный оборот, начальные условия повторятся, с той лишь раавицей, что тело повернется на некоторый угол я вокруг оси гн.
Второй оборот будет в точности подобен первому; если и = 2п ~, движение в целом периодично, если же угол несоизмерим с 2я, то тело никогда не вернется в исходное состояние. Точка касания заметает при этом на плоскости и всюду плотно кольцо с центром О' (рис. 123). 3 а д а ч а. Докажите, что связные компоненты инвариантных двумерных многообразий У, (т 28, Б) в шестимерном пространстве ТЯО(3) — торы и на них можновыбрать координаты ~р„щшоа2п так, чтобы фг = юг (с), фг = соз (с). У к а з а ни е. За ю, принять фазу периодического иаменения М.
Рассмотрим важный частный случай, когда эллипсоид инерции есть эллипсоид вращения: В этом случае ось эллипсоцда, Всем мгновенная ось вращения го и вектор тп всегда лежат в одной плоскости. Углы между ними 2 эс. волчок ллгрлнжл к величяпа вектора ю сохраняются, точка касания описывает и па элляпсояде, я на плоскости окружпостя; ося вращекяя (ю) и симметрии (В,е„) с одинаковой угловой скоростью опясывают конусы вокруг вектора момента тм (ряс. 124).
Это движение вокруг т, иазывается препессиеК 3 а дача. Найтп угловую скорость прецессии. Рис. $23. Траекторая точки касании на неяодаяжной плоскости Рис. 124. Качеоие еллиоеоида вращения по яеподэияоюй пло- скостя $ 30. Волчек Лагранжа Здесь рассмотрено дяпжевие осеспмметрвчлого твердого тела, аапреплепвого е пелодвпжпой точке, в одпородпом елковом поло. Движение это составляется пэ трех периодических процессов: вращения, прецессии п путацпп.
А. Углы Эйлера. Рассмотрим твердое тело, закрепленное в пеподвяжной точке О к подверженное действию силы веса тд. Задача о движении такого чтяжелого твердого тела» в общем случае до сях пор ке решена к в некотором смысле неразрешяма. В атой задаче с тремя степенями свободы известны лишь два Омоет. Разложим вектор угловой скорости ю по паправлеапам векторов момента тп и осп тела В~с . Первая компопеата и даст углоную скорость прецессии ю„= М/уе. у к а э а п и е.
Представить движение тела в виде произведения поворота вокруг осл момеата п последующего тюэорота вокруг осп тела. угловая скорость провэеедевпя обоих дэпжешш равна сумме векторов пх угловых скоростей. 3 а и е ч а п и е. Твердое тело, аакреплеппое в точке О, в отсутствие внешних спл, представляет собой лаграпжену систему, копфвгурацпоппым пространством которой является группа, а именно 80(3), причем функция Лаграпжа ввварпаптпа относительно левых сдвигов. Можно показать, что эпачвтельпая часть эйлеровой теории твердого тела пспольэует только это обстоятельство, а потому сохраняет силу для пропавольпой левоппяарпаяткой лагравжевой системы па пропэвольвой группе Дв. В частности, применяя эту теорию к группе дпффеоморфпамое рпмавовой области Р, сохраняющих элемент объема, можно получить основные теоремы гидродвпаппкп идеальной жидкости.
132 ГЛ 6. ТВЕРДОЕ ТЕЛО .ггияияуглИ Рис. 166. Углы валера первых интеграла: интеграл энергии Е = Х + П и проекция кинетического момента на вертикаль М,. Есть важный частный случай, когда задачу можно полностью решить — случай симметричного волчка. Симметричным или ла- гранжевым волчком называют закрепленное в р неподвижной точке О твердое тело, у которого эллипсоид ннерции в О есть эллипсоид вращения и центр тяжести лежит на оси враге=»гоги щения е, (рис. 125).
В атом случае поворот вокруг оси ег ве «зт й меняет функции Лагранжа, и по теоремеНе- тер должен существовать дополнительный к Рис. 166. Вел еи Лаг- Е И М, ПЕрВЫй ИятЕГраЛ (КаК МЫ уВИдИМ, НМ раижа окааывается проекция М вектора момента на ось еа). Если удастся ввести трн координаты так, чтобы среди них были углы вращения вокруг оси з и вокруг оси волчка, то зги координаты будут циклическими, и задача с тремя степенями свободы сведется к задаче с одной степенью свободы (для третьей координаты) Такой выбор координат в конфигурационном пространстве БП(3) возможен; зги координаты 1р, ф 6 называются углами Эйлера и образуют в ВО(3) локальную систему координат, подобную у овя»зи сь географическим координатам на сфере: с особенностями у полюсов и многозначностью на одном меридиане.
Введем следующие обогначе- /7доениия ния (рис. 126): оси волова еи, ер, е, — орты правой декартовой неподвижной системы координат в неподвижной точке О. и иввогрсвв е„ег, еа — орты свяаанной с телом правой подвижной системы координат, направленные по осям инерции тела в О. 1, = 16 чь 16 — моменты инерции тела в точке О.
ея — орт оси (в„еа], называемой «линия уазов». (Все векторы— в «неподвижном пространстве» к.) Чтобы перевести неподвижный репер (еи, е„, е,) в подвижный (ег, вг, еа), нужно выполнить три поворота: 1) на угол 1р вокруг огн е,. При этом е, остается на месте, а е„ переходит в ен. 2) на угол 6 вокруг аги ея. При атом е, переходкт в еа, а еи остается ва месте.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
