В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Оказывается, при достаточно быстрых коле- лдвтйюа баниях подвеса (т с' 1) верхнее поло- жение равновесия становится устойчи- вым. Р е ш е н н е. Уравнение движенпя можно вапнсатьв виде я =- (ыя+ Ет) а (янаи меняется череа время т), где як= ГРо Ат = сна Рвс.
!ег. г!еряеэрвгтва ваЕсли колебания подвеса достаточно бгастры, ятж',в с олссающеася точ8а т воа веавеса то Ея' ыя~ая= — ). Ютя)' Аналогично предыдущей задаче, А = А,АП где Ая= соя Йг — я(пйт 0 — Й яш Йт соя Йт 1 сЬ йт —, яЬ йт ~ йяЬйт сЬ«т~ Условие устойчивости ( ггА (с,, 2 имеет поэтому вид 1 7« 01 2сЬ«тсояыт+( — — — ) яЬ«тя1пыт~ С2. '(Й «) (7) й Й /1+да ~$ — и' — — — — — Яг: = 2ит+ О („4) 0 « — У' 1 — и У' 1+и— Повтому при малых е, р справедливы рааложеиия с ошибкой е (я а+ )га) 2 8 сЬ«т=1+4ьа(1+Рг)+ Зея+..., сояйт= 1 — 4ея(1 — дя)+ 8 е'+ ..., ) й Йт — — — ) яЬ «т мп Йт = 16 яяря+...
0 «) Покажем, что условие вто выполнено при достаточно быстрых колебаниях точки подвеса, т. е. когда с~~в. Введем безраемерные переменные е а г — =сто.'-1, — =)гт~(1. Тогда йт = 2 р' 2 е 3~ 1+ иа, Йт = 2 )' 2 е ~/1 — )гг, 22О ГЛ. 5. КОЛЕБАНИЯ Итак, условие уттойчивости (7) принимает вид 16 2(1 — 16 ее+ — ее+ Вседа+...~+16втр'с,.2, 2 е т.
е. пренебрегая малыми высшего порядна, — 16сг~:ЮрЪт пли д <— 3 г'3 ' е или еще — с,—. Это условие можно переписать в виде с Б Л>~/ 2 м —,=0,3 —,~~/ —.2 =0,31), 1 где Ю = — — число колебаний точки кодвсса в единицу времени. Напри2т мер, если длина маятника 1 = 20 см, а амплитуда колебаний точки подвеса в=1см, то /. 960- Х,ь0,31 ~~ 20 ° 20=43 (колебаний в секунду). Например, верхнее положение устойчиво, если число колебаний подвеса в секунду болыае 50.
ГЛАВА б ТВЕРДОЕ ТЕЛО В этой главе подробно исследуется несколько весьма частных механических задач. Этн задачи включаются в курсы классической механики по традиции, основанной на том, что они решены Эйлером и Лагранжем, а также на том обстоятельстве, что мы живем в трехмерном евклидовом пространстве и большинство механических систем с конечным числом степеней свободы, с которымн приходится встречаться, состоит из твердых тел.
й 26. Движение в подвижной системе координат В этом параграфе определяется угловая скорость. А. Подвижные системы координат. Рассмотрим лагранжеву систему, которая в координатах д, г описывается функцией Лагранжа Ь (гу, г), 8). Часто бывает полезно перейти к подвижной системе координат (д = (в (ч г). Чтобы записать уравнения движения в подвижной системе, достаточно выразить через новые координаты функцию Лагранжа.
Т е о р е м а. Если траектория у: и = ~р (~) уравнений Лаерани Ю аг. ока — —. = — ааписывается в локальных координатах (д, ~ ((д = дг дй да = (д (д, Ф)), в виде у: 9 = Ф (г), то функчи Ф Я удовлетворяет уравнениямЛаеранжа — —. = —, где Х ((д, (е, г) = Ь(е~, ч, г): И дь' дь' дг дд дЯ Д о к а з а т ел ь с т в о. Траектория у является экстремалью: б) Е (д, г), 8) гЛ = О. Следовательно, б ~ Е' (9, (д, ~) аг = О и Ф (~) т 7 удовлетворяет уравнениям Лагранжа, ч.
т. д. Б. Движения, вращения, поступателыгые двюкепия. Рассмотрим, в частпостп, важный случай, когда д — декартов радиус-вектор точки относительно инерциальной системы координат к (которую мы будем называть неподвиясной), а 9 — декартов радиус- вектор той же точки относительно подвижной системы координат К.
О п р е д е л е ни е. Пусть й, К вЂ” ориентированные линейные евклидовы пространства. Движениаи К относительно к называется гладко зависящее от з отображение Пг ° К сохраняющее метрику и ориентацию (рис. 1ОЗ). т(2 ГЛ. 0. ТВЕРДОЕ ТЕЛО О п р е д е л е и и е. Движение Р, называется вращением' если оно переводит начало координат К в начало координат (ст т.
е. если Р( — линейный оператор. Т е о р е и а. Всякое движение .Р, однозначно разлагаппся в произведение вращения В,. "К вЂ” т й и сдвига С,: й -т Рл Рт = С(В(, где Ста=й+г(Х) (д,гЕ=Ь). Доказательство. Положпм г(Х)=Р(О, В,= — С, Р,. Тогда В,О = О, ч. т. д. О и р е'д е л е н и е. Движение Р, называется поступательным, если соответствующее ему отображение В: К вЂ” й от 8 не зависит: В, = Во = В, Рт(л = В(л + т' ((). Рнс. 104.
Раднтс-вентор тотал относнтельйо неподвнжноа (В) н подвнжноа (9) системы ноордннат Рнс. 103. двнженне Р раалатаетсн в ороиавааенне вращеннн В н сдвнта С ф В(в+ ВЯ+ 0. (2) Чтосы выяснить смысл входящих в (2) трех слагаемых, рассмотрим вначале частные случаи. Случай пое(пупательного движптя (В = О). В этом случае уравнение (2) дает д = В(е + г.
Иначе говоря, доказана Т е о р е м а. Если подвижная система К движется относитаельно й поступательно, то абсолютаная скорость равна сумме относительной екоростпи и скорости движения сштемы Кс и=В +со, Мы будем называть й неподвижной системой координат, К— подвижной, а (1) б:— й — радиусом-векпюром движущейся точки относительно неподвижной системы; (в (т) называется радиусом-вектором точки опиинительно подвижной системы, если (рис. 104) й (() = Рт(в (О = Вт(в (() + 0' (г).
(1) Предостережение. Вектор В((в(1)б=Ус не следует путать с 9 (() б= К вЂ” ови лежат в разных пространствах! В. Сложение скоростей. Выразим теперь «абсолютную скорость» () через относительное движение (г (т) и двиясение системы координат Р,. Из формулы ($) находим, дифференцируя по ь', формулу сложения скоростей з 26. дВижение В пОдВижнОЙ системе коогдинлт 113 где т> = д т= к — абсолютная скорое>пь, т>' = В(в >-= й — относительная скорое>пь(не путать с 9 я К!), Оо = >' Е к — скоРость движенил подвижной системы кооРди- но>п.
Г. ггловая скорость. В случае вращения системы К связь между относительной и абсолютной скоростями не столь проста. Рассмотрим сначала случай, когда наша точка покоится относи- тельно К (т. е. 9 = О), а система координат К вращается (т. е а> > — О). В этом случае движение точки а (2) называетса переносным вращением. П р и м е р. Вращение с постоянной узловой скоростью о> б= >т.
Пусть В (Г): й- >т — поворот пространства к вокруг оси ю на угол ~ ю ! 1. Тогда В (г) =- 0' (>) В (О) называется равномерным вращением К с угловой скоростью ю. Очевидно, в этом случае скорость переносного движения точки д дается формулой (рис. 105) я =(ю й). г о. >ез. Угловая ено- вооть г) = (ю,д!, Идб=)>. (й) Вектор е> называется мгновенной угловой скоростью; очевидно, он определен равенством (4) однозначно. С л е д с т в и е. Пусть твердое тело К вращав>лся вокруг неподвижной лючки О простра>ютва к. Тогда в каждый момент времени существует мгновенная ось вращения — такая прямая в теле, проходящая через О, что скорости ее точек в данный момент равны О.
Скорости остальных точек перпендикулярны этой прямой и протарциональны расстоянию до нее. Мгновенная ось вращення в пространстве к задается своим вектором ю; в К соответствующий вектор обозначается через 12 = = В тю >== К; П называется вектором угловой скорости в теле. П р н и е р. Угловая скорость Земля направлена от центра ь Северно2я ву полюсу н равна —., с '= 7,3.$0-> с '. Ьсое 24 Доказательство теоремы. Согласно (2) имеем Поэтому, если мы выразим 9 через О, получим д = ВВ тд =Ад, где А = ВВ ': й-о й — линейный оператор из к в к. Л е м м а 1.
Оператор А — кососимметрический: А'+А =0 Вернемся теперь к общему случаю вращения К (т' = О, (г = Э . Т е о р е м а. В каждый момент времени с существует вектор ю (>) ~ к, через который переносная скорость выражаел>ся по фор- муле ГЛ. 6. ТВЕРДОЕ ТЕЛО Доказательство. Поскольку В: К- к — ортогональный оператор из одного евклидова пространства в другое, его сопряженный совпадает с обратным, В' = В ': й-э К.
Дифференцируя по 8 соотношение ВВ = Е, получаем ВВ'+ ВВ'=О, ВВ'+(ВВ')' =О,ч.т.д. Л е м м а 2. Всякий «ососиммстричгский оператор А в трехмерном ориентированном свклидовом пространстве встпь оператор ввклюрного умножения на фиксированный вектор: Ад=(е, д1 для всех дЕ=Кв. Д о к а з а т е л ь с т в о. Все кососимметрические операторы К' - К' образуют линейное пространство. Размерность его равна 3„ так как кососимметрическая 3 ~ 3 матрица определяется тремя своими наддиагональными элементами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
