В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 16
Текст из файла (страница 16)
3 а д а ч а (. Пусть частица движется в поле однородной вввтовой линии г = соэ э1, г = эш ю, э = ер. Найти соответствующвй этой винтовой свмметрвк эакой сохранения. Оюэвпь В любой системе, допускающей винтовые движения, оставляющие яа месте пашу винтовую лапаю, сохраняется величина 1 = сР, + М . 3 а д а ч а 2. Пусть твердое тело двяжэтся по инерции. Доказать, что его центр инерции движется прямолинейно и раввомерпо. Если центр иверция покоится, то пвпстачесяпй момеят относительно него сохраняется. 3 а д а ч а 3. Какие величавы сохраняются пря двшкеявя тяжелого твердого тела, аакреплепяого э некоторой точке 01 В частяостп, если тело свмметрпчяо отвосвтельно проходящей через О оспу 3 а д а ч а 4. Распространить теорему Нетер па яеавтспомяые лаграяжееы свстыэы.[ У к а э а в и е.
Пусть Мг = М х  — расшяреяпое кояфвтурацповное мэогосбраэяе (прямое пропээецепве ковфягурацвопяого мяогообраапя М па ось времени К). Определим функцию Ь;. ТМг К кэк 1, ВгГВт, т. е. в локальных координатах о, г па Мг эададям ее формулой Прпмепвм теорему Натер к лаграпжевой системе (М, 1т). Если 1ч допускает преобраэовапяя М: Мд — Мы то мы найдем первый интегРал 1: ТМ, В. ПосколькУ ~ 1ли = ~ 1чет, это пРивоДит к пеРвомУ ввтегралу 1: ТМ х К К исходной системы.
Если в локальных коордпда Вг '1 ватах(Е, В на,"М,кмеемгг=1,(Д, Ц вЂ”,— ~, то1(д,й,г) =1д (о, С, ф, т). 84 гл. «. лАГР«нживА мехАнякА нА мнОГООБРАзиях В частности, если б не зависит явно от врем«ив, то Е7 допускает сдвиги по времени У (о, 7) = (д, 1+ з). Соотзэтстзующнй пзрвын интеграл 1 есть натеграл энергии. $ 21.
Принцип Даламбера Здесь дается новое опредезеяне системы материальных точек, стесненной гслономныыа сзязяын, и доказывается его эквивалентность определению, данному з 1 17. А. Прикер. Рассмотрим голономную систему (ЛХ, Ь), где и— поверхность в трехмерном пространстве (х): 1 Ь = — тхз — (1 (х).
2 В механических терминах: «материальная точка х массы т вынуждена оставаться на гладкой поверхности ))7». Рассмотрим движение точки х(1). Если бы выполнялось урав- дП пение Ньютона 7лх+ — =О, то в отсутствие внешнихй сил дх (с1 = О) траектория была бы прямой и не р могла бы лежать на поверхности М. О точки зрения Ньютона зто указывает х1г) на присутствие новой силы, «вынуждаю7цей точку оставаться на поверхности». М Определение. Величина Ф д(1 лз =тх+— Ряз.
71. Реазцяя езязз дх называется силой реакции связи (рис. 71). С учетом силы реакции ль (1) уравнения Ньютона, очевидно, справедливы: дП тх= — — + И. дх Физический смысл силы реакции В становятся ясным, если мы рассыотриы вашу систему со связью как предел снстэы с потенциальной эвери и+Лты )У--, П (х) =рз(х,М). Прн больших Д потенциал дП7 связи 1у(77 обусловливает быстропереыенную силу Х" = — М д, при яредельном переходе ()У ээ) остаэгся среднее значение В силы В по колебаниям х около М.
Сила У' перпэвднкулярна к поверхности М. Поэтому сила реакции В пэрпеццзкулярвз М: (В, $) = 0 дзя всякого касательного вектора 2. В. Формулировка принципа Даламбера — Лагранжа. В механике касательные векторы к конфигурационному многообразию называются виртуальными леремв7цеииями.
Принцип Даламбера — Лагранжа гласит: $21. ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА Улл всякого виртуального гюремсщения $, или еще иначе: работа силы реакции на любом виртуальном перемещении равна нулю. Длн системы из материальных точек шг с массами т, силы дГГ реакции Л~ определяются как Л; =т;шт+ д, а принцип Да- ламбеРа имеет вид,"~~(Лг,йг)=О,или ~) ((тгх;+ — ~, 3.)=О, дп т 1 т. е.: сумма работ сил реакций на любом виртуальном перемещении ($Д ~ ТМ равна нулю. указанное выше свойство связей называют идеальностью. Если определять систему с гсловомкой связью как предел прв Ж с«, то принцип Даламбера — Лагранжа становится теоремой; ее доказательство намечено выше для простейшего случая.
Можно, однако, опрев«ллтпьядзальпую голономпую связь прк помощи принципа Даламбера — Лагравжз. Таким образом, имеется трв опрсдзлелкл голономкой слет«мы со связями: 1) Предел систем с потенциальной зпергией У+ Х1ГМ Аг — ж. 2) Голономнал система (М, А) где М вЂ” гладкое подхгкогообразке копфнгурзпповкого пространства системы без связей, Ь вЂ” лагравжиап. 3) Скстема, удовлетворяющая прявцллу Даламбера — Лагранзг~а. Все трл опрзделшшл математически зквивалевтпы. Доказательство утверждений 1) =~ 2) н 1) «3) намечено выше л в деталях проводиться не будет. Мы докажем, что 2) <ч 3). В. Эквивалентность принципа Даламбера — Лагранжа и вариационного принципа. Пусть М вЂ” подмногообразие евклидова пространства М ~ Кн, и вл В -ь М вЂ” кривая; ш (гз) = шз, ш(гг) = ш. О и р е дел е ни е. Кривая ш называется условной вкстремалью функционала действия 2 ь если дифференциал ЬФ = О при условии, что для сравнения беРУтсн близкие кРивые е), соединЯющие шз с шг на М.
Мы будем писать б б)=О. (() эквивалентно уравнениям Лагранжа азз 2 ( )' ®' Очевидно, уравнение (1) д дЬ дЬ ЕГ дч да в каждой локальной системе координат д на М. «) Строго говоря, чтобы определить вариацию 6Ф, нужно определить структуру области линейного пространства в множестве близких к л кривых на М.
Это можно сделать прн помощи координат на М; причем свойство быть условной зкстремалью от выбора системы координат пс заввсвт. 86 гл- 4. ЛАГРАнживА мжхАникА нА мнОГООБРАзиях (ж+',~,В) =О, 'У~~ТМ.. (2) Ле мы а. Пусть г: (и 1а( 8 ~( 1г)-~. К~ — непрерывное еек торное поле. Если длл каждого непрерывного касательного к М веюпорногв полл 5 вдоль х (а (ь) е= ~ ТМ ин $ (8) обращается в О при г(с) ь = ьа1 Гг), ил1еаи хй ь й $Т(1)в(~)а =О, гь то поле 1" Я в каждой точке ж (1) перпен Рис. тэ.
лемма о нормаль- дикулярно поверхности М (т. е. исм исаа (Т ()), )г) = О для каждого вектора )а ~ Е= ТМ«кп) (рис. 72). Докаэательство леммы повторяет рассуждения, с помощью ко- торых выводились уравнения Эйлера — Лагранжа в т 12. Докаэательство теоремы. Сравним Значения Ф на двух кривых аг (Ю) и ж ф+ $ (г), е ()е) = е (8,) = О.
Получим, интегрируя по частям: ь ь дФ ~(~й ' ф),ц ~(~+ ' )$бг, Иэ этой формулы видно*), что уравнение (1) дм Ф = О эквива- лентно совокупности уравнений ~(ж+ — ,'")йб) =О для всех касательных векторных полей $ (1) е= ТМ нь 5 (8е) = до' 1 = $ (ьь) = О. По лемме (где надо положить Т= ж+ — ) сововх купность уравнений (3) эквивалентна уравнению Даламбера— Лаграняга (2), ч. т.
д. Т. Замечания. 3 а м е ч а н и е 1. Выведем из докаэанной теоремы принцип Даламбера — Лагранжа длл системы из и точек юг ~== Ка, = 1,..., и, с массами т„с голономными свяэями. «) Расстояние точки х (г) + ф (г) до М второго порядка малости по сраавению с $ (г). Теор ем а. Чтобы кривая ан К-ь-М~ Кк была условной вкстреивлью действия (т. е. удовлетворила уравнению (Ц), необходигго и достаточно, чтобы она удовлетворяла уравнению Да- ламбера Фэь пипшяп дллльгвкРА В координатах ш = (х, = ')Гтьш!) кинетическая энергия при.зе пинает вид Т = — ь тпй! = —.
— !— По доказанной теореме зкстремали принципа наименьшего действия удовлетворяют условию ~У+ ~~' $) О (принцип Даламбера — Лагранжа) для точки в Кь: Эп-мерная сила реакции ортогональна многообразию М в метрике Т). Возвращаясь к координатам ю!, получаем О = ()~в,.жь+ ',~/тД,-) =~~!'(тьж,+ —',, $,), т.
е. принцип Даламбера — Лаграняьа в указанной раньше форме: сумма работ сил реакции на виртуальном перемещении равна нулю. 3 а и е ч а н и е 2. Принципу Даламбера — Лагранжа можно придать несколько иную форму, если обратиться к статике. Пололсением равновесия называется такая точка юь, которая является орбитой движения: ж (!) = жь. Пусть материальная точка двиькется по гладкой поверхности М иод действием силы е = — д!лдю. Т е о р е м а. Чтобы точка юь поверхности М била положением равновесия, необходимо и достаточно, чтобы сила била ортозональна поверхности: (!' (шь), $) = О длл всех ь с= ТМ ., Это следует нз уравнения Даламбера — Лагранжа ввиду ю = О. О и р е д е л е н и е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
