В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Например, уравнение (1) можно записать в виде системы со(1+ Т) = со (1). и Б. Отображение за период. Напомню общие свойства систем (2). Обоаначим через у'. К"-~-К" отображение, переводящее ю5== ~= К" в значение в момент г у'ю = ~р (с) решения 5у системы (2) с начальным условием ~р (О) = ю (рис. 95).
Отображения у' не образуют группы: вообще говоря, у'+'Фу у чыу у ° 3 а д а ч а. Докажите, что (у') группа тогда и только тогда, когда правые части у не зависят от й 3 а д а Ч а. ДОКаНОГГЕ, Чта ЕСЛи Т вЂ” Рт. 55. Отаграженне нн период г, то уг+' = у'-уг и, в частности, унт =- (уг)", так что отображения у"т образуют группу (и — целые). Отображение уг: Кн-н К" играет важную роль в дальнейшем; мы назовем его отображением за период и обозначим через А: К" — эК", Ам(0) = ю(Т). 104 гл. 5. колкеяния. П р н м е р. Для систем ез=хв, (ев=хь ез= — хь )хе= — хз, которые можко счптать пернодпческнмп с любым периодом у, отображение А есть поворот н гкперболнческпй оворот (рнс.
96). Рис. 96. Поворот и гияереоиичвсяиа иозогст Т е о р е м а. 1) Точка х есть неподвижная точка отображения А (Ахз = хе) тогда и только тогда, когда решение с начальным условием х (О) = хз периодическое с периодом Т. 2) Периодическое решение х (г) устойчиво по Ляпунову (освмптатически устойчиво) тогда и только тогда, когда неподвижная точка хз отображения А устойчива по Ляпунову (оспмптотически устойчива) *). 3) Если система(2) линейно, т.
е. у (х, г) = у (г) х — линейная йбункуия х, то отображение А линейно. 4) Если система (2) гамильтонова, то отображение А сохраняет объем: йе6 А = 1. До к а а а тел ь ст в о. Утверждения 1) и 2) вытекают иа соотношения дгвв = у'А. Утверждение 3) вытекает из того, что сумма решений линейной системы есть снова решение. Утверждение (4) вытекает иа теоремы Лиувилля.
Ирименим доказанную теорему к отображению А фазовой плоскости ((х„хз)), на себя, соответствующему уравнению (1) и системе (3). Так как система (3) линейна и гамильтонова (Н= ,з = — + юз —. ) получаем 2 й l С л е д с т в и е. Отображение А линейно и сохраняет плон)ада (6)е) А =- 1). Лля устойчивости нулевого решения уравнения (1) необходима и достаточна устойчивость отображения А.
3 з д з ч а. Доказать„что поворот плоскости — устойчивое отображение, а гпперболпческпй поворот — неустойчивое. в) Неподеижная точки хв отображевня А устойчива ив Ляиуивву (соответственно исихиювхииввии устойчива), если тз) О, йб.х О, тзк что яз ) я. — хв) <6 вытекает~ ) А"х — А"хв) <е для всех О< и< со сразу (соотзстстзеппо А "х — Аихв О прн и оо). 1об ага пАРлмнтвичкскнй Резонанс В.
Лниейные отображении плоскости на себя, сохраняющие плон(адь Т е о р е м а. Пусть А — матрица сохраняющего ялощадь линейного отображения плоскости на себя (с(еФ А = 1). Тогда отображение А устойчиво, если ( (г А ( ( 2, и неустойчиво, если ( 1г А ( > 2 ((г А = а,> + агг). Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть )т, Хт — собственные числа А. Они удовлетворяют характеристическому уравнению ) г — (г А). + + 1 = О с вещественными коэффициентами )> + )ч — — (г А» Э,> )чг =- т(е$ А = 1.
Корни )>„Х~ этого вещественного квадратного уравнения вещественны при ( 'сг А ( ) 2 и коашлексно-сопряжены прк ((гА ((2. В первом случае одно из собственных чисел больше, а другое меньше единицы по модулю; отображение А есть гиперболический поворот и неустойчиво (рнс. 97). Во втором случае собственные 3» ' числа лежат на единичной окружно- х» дг сти (рпс. 97): (> 1 Ю 1 = )„~, = ), Х, = (), (г. ОтображениеА эквивалентноповоро гас ат. сеос ск мечислаетсосамеяяч Л ту на угол а (где 3 л = с~ах), т.
е. приводится к повороту соответствую>цим выбором координат иа плоскости Поэтому оно устойчиво, ч. т. д. Таким образом, весь вопрос об устойчивости нулевого реження уравнения вида (1) свелся к вычислению следа матрицы А. К сожалению, вычислить этот след явно удается лн>вь в специальных случаях. Его всегда можно найти приближенно, численно интегрируя на отрезке О (1~( Т. В важном случае, когда е> ((1 близка к постоянной, помогают простые общие соображения. Г. Сильная устойчивость. О п р е д е л е н и е. Нулевое решение гачнльтоновой линейной системы сильно устойчиво, если оно устойчиво, и у всякой достаточно близкой линейной гамнльтоновой системы нулевое решение тоже устойчиво *). Из предыдущих двух теорем вытекает С л едет ни е.
Если ( ФгА ((2, то нулевое решение сильно устойчиво. Ибо если ( (г А ! (2, то для отображения А', соответствующего достаточно близкой системе, тапсе выполнено условие ( $г А' ) ( 2, ч. т. д. е) расстояние между т>кейви>т системаии с оериодичесю>мв коэф4ащиевтами х =- В, (г) х, г =В, (т) х определяется как иакскмум расстояния между овераторами В> (г) и В» (г) во 1ОО ГЛ. 5. КОЛЕБАНИЯ Применим это к системе с почти постоянными (мало меняющимися) коэффициентами. Рассмотрим, например, уравнение Ю = — юз(1 +за(9))х, е<=1, (4) где а (г + 2л) = а (г), например, а (г) = соз г (рис.
98). (Маятник, частота которого колеблется около ю с малой амплитудой и с периодом 2л.) н) Каждую систему (4) будем изображать точкой на плоскости параметров е, го > О. Очевидно, устойчивые системы с ) тг А ) <" 2 Рнс. 99. Мгновеннвн чвогвча квк Фтнгнощ времени Рно. 99. ЗОНН НаРВНОГРНЧООКОГО РЕЗО- санса 1 ю 91н аго тает. — го аш 2кго соз 29«в в) В «аучно а (г) = соз 9 уравввино (4) вазынантся уравнением матье образуют на плоскости (го, е) открытое множество, так же как и неустойчивые системы с ) 1г А ) ) 2 (рис.
99). Граница устойчивости дается уравнением ) 1г А ) = 2. Т е о р е м а. Все точки оси го, исключая г/елке и полрг/елке точки со = й/2, й = О, 1, 2,..., соответствуют сильно устой- чивым системам (4). Таким образом, множество неустойчивых систем может подхо- дить к оси а только в точках ю = /г/2. Инь ми словами, раскачать качели малым периодическим изменением длины можно лишь в том случае, когда один период иаменения длины блиаок к целому числу полупериодов собственных колебаний,— результат, всем иа- вестный из эксперимента, Доказательство сформулированной теоремы основано на том, что при е = О уравнение (4) имеет постоянные коэффициенты и явно решается 3 а д а ч а. Вычислить для системы (4) е з = О матрицу преоб- разования А за период Т = 2л в базисе х, х. Р е ш е н и е.
Общее решение: х = е, ож Ы + св а)п «11. Частное решение с начальным условием х = 1, х = О: х = соз юг, 2 = — го а1п гсг. Частное решение с начальным условием х = О, я = 1: х= — е)п«к, х =соз«к. 1 10У о зо. позиивтгическнй Ркзонинс Поэтому [ гг А [ = [2 соз 2еоя [~ 2, если ео чь Ы2, /е = О, 1,..., и теорема вытекает из предыдущего следствия. Более внимательный анализ *) показывает,что вообще говоря, (и при а (1) = соз г) вблизи точек ео = й/2, /е = 1, 2, ..., область неустойчивости (заштрихованная на рис.
99) действительно подходит к оси ео. Таким образом, при ее =Ы2, й = 1, 2,..., нижнее положение равновесия идеализированных качелей (4) неустойчиво и они раскачиваются при сколь угодно малом периодическом изменении длины. Это явление называется параметрическим резонансом. Характерной особенностью параметрического резонанса является то, что он сильнее всего проявляется в случае, когда частота изменения параметров т (в уравнении (4) и = 1) вдвое больше собственной частоты ео. 3 а м е ч а н и е.
Теоретически параметрический резонанс наблюдается прн бесконечном наборе соотношений в/т — Ы2, /е = 1, 2,... Практически наблюдаемы обычно лишь случаи, когда /е невелико (/е = 1, 2, реже 3). Дело в том, что а) При больших и область неустойчивости подходит к оси ю узким языком и для резонансной частоты ю получаются очень жесткие пределы ( — со для а (г) = сов 1; если а — тригонометрический полинам степени е), то — с, где ле = — [ — )се! — наименьшее целое число, не меньшее Ы4 если а в (4) — аналитическая функция общего положения, то ширина /е-й резонансной области порядка еВо, где [ 0 [ ( 1. См., например: А р н о л ь д В. И.
Замечания о теории возмущений для задач типа Матье // УМН.— 1983.— Т. 38, М 4. — С. 89 — 203). б) Сама неустойчивость слабо выражена при больших /е, так как [1гА [ — 2 невелик и собственные числа близки к единице ео при больших /е. в) Сколь угодно малое трение приводит к тому, что для возникновения парамстри гж 1оо вяияяио ч>еческого резонанса имеется минимальное ияя пя пар«инион«осияв значение амплитуды е„(при меньших с колебания затухают). С ростом й з„быстро растет (рис. 100).
Заметим также, что для уравнений (4) в неустойчивом случае величина х растет неограниченно. В реальных системах колебания достигают лишь конечной амплитуды, так как при больших х само линеаризованное уравнение (4) теряет силу и нужно учитывать нелинейные эффекты. «) См., например, разобранную ниже задачу.
гл. з. молквлнпя 3 а д а ч а. Найти вид областей устойчивости на плоскости е, в двя систвмы, описываемой уравнением Гв+е, 0«~г(л, )ч(г) У(')=~ —, ~г -г, с С1 г'(х+2л) =У(я). Р е ш е и в е. Из решения предыдущей задачи следует. что А = А А, где 1 в„'к ск с„= соз лвк, в = з)п лвк вя я = в ~ е.
А к к= — во кк Поотому граивца вовы устойчивости имеет уравнение Г вя ояя 'я А(=~2,,-( — + — )~;~=2. в г' (5) ач «о+ е Так как в ф 1, имеем — = — — 1. Введем обозпачевие яоя в — е — + — =2(1+А). ач яоя вя 61я — Л сов 2лз+ (2+ Л) сов 2лв = ~2, или 2+Лсов2ле 2+6 — 2+ я)соз 2ле соз 2шо = 2+ в ° (бя) Рве. яоп Зовы веванвтричссио- го рваовавса лпп У = в л. с В первом случае соз 2юцо = 1. Позтому положим в = й + а, ) а ) ~~ 1; соз 2лв = соз 2ла = 1 — 2лзая + 0 (а']. Л Перепишем .ураввевве (бя) в виде сов 2яв =1 — з — у(1 — соз 2пе) лли 2лоав + О (ав) = Ллзеч -(- 0 ( Я) 2зя Подставляя значение Л = — -)- 0 (оя), находим вя ез зз а=-+- —,+о(ез), т.
е. в=а~ Гз +о(е')). Аввлогичио решается уравнение (бв); в результате получаем 1 3 +2~1+ 2 ~й 1) Итак, ответ имеет вид, пзображеквый вз рвс. 101. 2ез Тогда, как легко сосчитать, Л = — + О (ев) мв 1. Польауясь соотношениями 2сяся = соз 2лз + соз 2лв, 2вявв = сяе 2лз— е — сов 2лв, перепишем ураввеиие (5) в виде 1 25. пАРАИБТРнческий РезОнАнс Д. Устойчивость перевернутого маятника с вертикально колеблгоп(ейся точкой подвеси.
3 а д а ч а. Может ли верхнее, обычно неустойчивое, положение равновесия маягпника стать рслтойчивым, если точка подвеса колеблется в вертикальном направлении (рис. 102)? Пусть длина маятника), амплитуда колебаний точки подвеси а х.= 1, период колебаний тачки подвеса йт, причем в течение каждого полупериода ускорение точки подвеса постоянно л и равно ~с (тогда с = За/тя).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
