В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Приведем систему Лагранжа к виду (1), используя канонические переменные р, йс р = — —,, д= —,„, Н (р, Ф = т+ Н. дН ° ВН Так как тг = а = 0 есть положение равновесия, то раэлонгения правых частей в ряд Тейлора в нуле начинаются с линейных по уг, а членов. Так как правые части — частные производные, то эти линейные члены определяются квадратичными членами Нг разложения Н (1т, а).
Но Нз есть в точности функция Гамильтона системы с лагранжианом А~ = Т, — Уг, так как, очевидно, Нг = 1 га. линеАРИЗАцня = Т (1о) + У (1(). Итак, линеаризованные уравнения движения суть уравнения двшкения для описанной в теореме системы с хв —— Тэ — Ув, ч. т. д. П р и м е р. Рассмотрим систему с одной степенью свободы: Т = 2 а («) <', сг = У(д). д(Т ~ Пусть <) = <( — устойчивое положение равновесия: — ! дт !о~.
=О, —,~ „>О (рис. 76). Как мы знаем из фазового портрета, при близких к <) = д„ р = О начальных условинх решение периодично, с периодом т, зависящим, вообще говоря, от начальных условий. Из предыдущих двух теорем вытекает ьт С л е д с т в и е. Период т колебаний вблизи пололсвния авноввсил ст митсл и и мень- р т'о рв р у и<внии амплшиуды колебаний к пределу то = —, 2я,Р— оо 2 6 зде <оо= —, а 1 АУ Ь= — — 1, а = а(до). 2 дво (о=ч, ' 1 Действительно, для линеаризованной системы Т, = — а(э, 1 Пэ = — Ь<)э (считаем до = О). Решения уравнения Лагранжа э 2я <) = — <со<( имеют период го =— мо д = сг соз <о«1 + сх згп <о«1 при любой начальной амплитуде.
Д. Малые колебания. О п р е д е л е н и е. Движения в линеарнзованной системе (г.э = Тх — Уэ) называются мальиви колебаниями е) вблизи по- лон<ениЯ РавновесиЯ Д = 1(о. В одномеРной задаче числа т, <оо называются периодом л<влььх колебаний и вася<отой малых колебаний. Пример. Найти период малых колебаний бусинки массы 1 на проволоке у = П (х) в поле тял<ести с В = 1 вблизи положенля равновесия х = хо (рвс.
77). решение. Имеем У = тгу = (<' (х), Т = — тоо = — ( 1 +~ — Ц го. Б онана, нэ 2 2( (дх)) ясон«лоно «) В случае, когда положение равновесия неустойчиво, мы будем говорить о онеустойчнвых малых колебанияхо, хотя движение при этом и не имеет колебательного характера. гл. ь. колкплния Ой 1 д~У) Пусть хэ — устойчивое положэвне равновесна: — 1 О; — э ( .ь О. Тогда частота малых колебаний ю определяется формулов дМ~ ~ 1 1 нбс для лвнсариэовэннсй системы Тэ= ~ цэ, Уэ= ~ юэээ(о х — хэ). 3 э д а ч а. Показать, что не только малые колебания, нс и всэ двювсвие бусинки в точности эквивалентно движэквю в некоторой одномерной системе с функцией Лагранжа 1 й = — фч — 1'(1).
2 У к а э апис. Привять эа ч длину вдоль проволоки. й 23. Малые колебания Здесь покэээво, что лагравжева система, ссвэршахвлая малые колэбаввя, расла~автол в прямое проиэведеявэ систем с одной степенью свободы. А. Задача о паре форм. Рассмотрим подробнее задачу о малых колебаниях. Иными словами, рассмотрим систему, у которой кинетическая и потенциальная анергия — квадратичные формы г = — (Аф, ф), В = — (Вд, а), а б=К", д с=К". (1) Кинетическая энергия — положительно определенная форма. Чтобы проинтегрировать уравнения Лагранжа, выберем разумным образом координаты. Как известно иа линейной алгебры, пару квадратичных 1борм (Аа, 1)), (В1), 1г), первая из которых положительно определена, можно привести к гласным осям единой линейной заменой координат э): () = СД О Ую ' СЭ~) Прп атом координаты 9 можно выбрать так, что форма (А(г', а) приведется к сумме квадратов (Д, 9).
Пусть 9 — такие координаты; тогда, как так Д = Сф, имеем г г ьж Числа Х, называются собственными числаии (йормы В относитель- но А. «) Если угодно, можно ввести еэклвдову структуру, привяв первую форму эа скалярный квадрат, и затем ортогональным в смысле этой евклидовой структуры врэобраэсвависм прввсств вторую форму к главным осям. э 2».
мллык коливлния 3 а д а ч а. Докалсите, что собственные числа В относительно А удовлстпворяют характеристическому уравнению «(е« ~  — ЛА ~ =- О, (3) все корни которого, таким образом, вещественны (матрицы А и В симметричны, А ) 0). Б. Собственные колебания. В координатах 9 система Лагранжа распадается на и независимых уравнений а = — лба. Итак, доказана Т е о р е м а. Система, совершаюи1ая малые колебания, есть прямое произведение и одномерных систем, совсршаюи1их малые колебания. Для каждой одномерной системы могут представиться три случая: Случай 1.
Л= ю«)0; решение(1 = С,созЫ+Сэа(пей (колебания) . С л у ч а й 2. Л=О; решение»',1=С, +С,с (безразличное равновесие). С л у ч а й. 3. Л = — Лл < О; решение Ч = С, сЬ кс + С» зЬ к1 (неустойчивость). С л е д с т в и е. Пусть одно иг собственных чисел (3) полоясип»ельне: Л = еР ) О. Тогда система (1) может совершать периодическое каасбаниг вида а (1) = (С» соэ юФ + С» а(п юг) $, (5) гдв $ — соответствующий Л собственный вектор (рис. 78): Вэ =- ЛА$.
Это колебание — произведение одномерно- в"с. тг. с эс «ю « яояеб»яия го движения ф» = С, соз «Н1+ С» э1п ю»1 и тривиальных движений (3~ = 0 (1 Ф 1). О и р е д е л е н и е. Периодическое двия«ение (5) называетса собственным колебанием системы (1), а число ю называется собственной частотой. 3 а и е ч а н и е. Собственные колебания и частоты называют такя1е главными или нормальными.
Неположительным Л также соответствуют собственные векторы; соответствующие двия»ения для краткости мы тоже будем называть «собственными колебанияМв», хотя они и ве периодичны; соответствующие «собственные частоты» мнимые. 3 а д а ч а. Доказать, что число линейно независимых настоящих собственных колебаний равно полоя1ительному индексу инер- 4 цви потенциальной энергии ~ (Вд, д).
Теперь результат можно с4юрмулнровать так: ГЛ. 5. КОЛЕБАНИЯ Т во р ем а. Система (1) имеет п собапвенных колебаний, направления которых попарно ортогональны в смысле скалярного произведения, гаданноео кинетической внергией Т. Действительно, система координат (в в силу (2) ортогональна в смысле скалярного квадрата (Аа, (у). В. Разложение по собственным колебаниям. Из доказанной теоремы вытекает С л е д с т в и е. Всякое малое колебание есть сумма собственных колебаний. Сумма собственных колебаний, вообще говоря, не периодична (вспомним фигуры Лиссажу).
Для разлол7ения движения в сумму собственных колебаний достаточно спроектировать начальные условия (у, () на собственные направления $; и решить соответствующие одномерные задачи (4). Итак, уравнения Лагранжа для системы (1) можно ре7пать следующим образом. Вначале ищем собственные колебания в виде (7 = енлб. Подставляя ото в уравнения Лагранжа в — Агг = Вд, В7 находим ( — ютА) б= О. Из характеристического уравнения (3) находим п собственных чисел ) г= юяг. Им соответствуют и попарно ортогональных собственных векторов $„. Общее решение в случае Х ~ О имеет вид п а(1) = Ие ~ С„е' г'~ь. к=г е.-= Чг — Чя у'2 3 а м е ч а н и е.
Зтот результат справедлив и тогда, когда среди собственных чисел Х есть кратные. Таким образом, в лагранжевой системе, в окишчие от оби(ей системы линейных диЯ~еренциальных уравнений, резонансные члены вида 1 з(п ю1 и т. л. не возникают даже в случае кратных собственных чисел. 777 Г. Примеры.
П р и и е р 1. Рассмотрим систему иэ двух одинаковых математических маятников длин ( = 1 = 1, масс жг = жс = 1 в поле тяготения с Е = 1. Пусгь маятники соединены невесомой пружиной, Ряс. 79. сеяеаяяме оля- длина которой равна расстоянию между тачками подвеся (рис. 79). Обозначим через, Чс углыотклоненяя маятников. Тогда для малых колебаний Г = 2 (797+ 19). П = 9 9 и = 2 (Чг+ те+а(гг — Че) ), ГДЕ 2 (Чг — ге)э — ПОГЕндиальная Энвргия упругости пружины.
Положим Чг+ Че е,== )/2 07 1 23. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ Тогда 01 — Оз уз = 01+ Оз Уз = и обе формы приведены к главным осям: Рис. 80. Конфигурационное проогрзнстзо сзяззя ных маятников Рис. 81. Собственные кояебзния сзнззнных мзятпиноз Пусть теперь пруягина очень слаба: а ~ 1. Тогда появляется интересный Эффект перекачки енерзии.
П р и м е р 2. Пусть в начальный момент маятники покоятся, и одному на ких сообщена скорость 81 = о. Показать, что через некоторое время 1 первый маятник будет нонтй неподвижен, а еея вкервия перейдет вгнорому. Ич начальных условий следует ()1 (0) = Оз (О) = О. Поатому (31 = =езтпг, ()1 =се 81йтг, т=рг1+2а 1+а (а<в1). По 01(0) о о о рг2 (Г2 т 1/ 2 =Оз(0) ==. Поатому сз= —, сз= —, н ваше решение иыеет вид о / „1 дз = — 181й 1+ — зш оя), =2'( й 1 ( 1 чз = (81й 1 81йоя) 2 1 11 или, пренебреган слагаемым о(1 — — )81й ыг, малым вместе с а $~ Д1 2 (81йг+81йаг) =осоазсегйтг, о 2 (81й 1 — 81 й зк) = — о с оз тг 8 1 й Ы, т — 1 11, а+1 2 2' т 2 Рис. 82.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
