В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Жесткий отрезок ва плоскости ЕО д имеет копфкгурациоввым пространством многообразие В«Х 8« с координатами ды д„чл (рис. 59). Ово покрывается двумя картами. *) й(вогообразве связно, соли его нельзя разбить ва два иепересекаю«цвеся открытые подмвогообразпя. 74 гп. с. гдвггакжиВА михапддкА НА многооБРАзиях П р и и е р 8. Жесткий прямаугольвый треугольник ОАВ, вращаюпзсйся вокруг вершивы О. Паложеиие треугольника зэлаетея тремя числами.
Действкшлько, направление ОА гм Вд задается двумя числами, а если ОА зэдака, можно еще вращать ОВ ки Вд вокруг оси ОА (рис. 30). С положением треуголькика ОАВ можно связать ортакормираваияый ОА ОВ правый репер ед = ) )ОА (, ед = ) ОВ( „еэ = (ед, е»1. Соответствие вэаимко одиазкачио, поэтому положение треугольквка задается артогокальпой матрицей третьего порядка с определителем 1. Ь(кодкестэа всех матриц третьего порядка есть девятвмеркое пространство Пэ.
Шесть условий ортоговэльиоети выделяют Лва трехмерных сеязвых многообразия матриц е определителем +1 и — 1. Врэщевия трехмерного простраиства (опрележгтель +1] образуют группу, которая абаэиачается 80(3). Таким образом, кон(дигурауианнае пространства тргугалкника ОАВ есть группа 30(3). 3 а л а ч а. Показать, что многообразие 30(3) гомеомор4жо таехмериому вещественному праектиеиому пространству. О и р е д е л е и и е. Развдериость конфигурационного простраиства иазывается числом степеней свободы. П р и м е р 9. Рассмотрии систему из и шаркирио соединенных в эаиккутую цепь стержней. 3 а д а ч а.
Сколько степепей свободы имеет эта системаг П р и м е р 10. Вложенное мнозообразие. Говорят, что М есть вложенное в евклидова простраиствоХ" подмяогообразие размер- ности гс (рис. 61), если в окрестиости П каж~а дой точки м ~= М существуют и — й функций 1;. Сг-+-К, ..., 1».
'П-+.К таких, что пересечеиие окрестности У с М аадается уравиеииями 7д = О,, р'„» = О, и векторы йтас) рд, ..., йгад) 1„» в ж линейно иеаависимы. гиа. эд. впаяиааае Легко ввести иа М структуру мкогообразия„ т. е. координаты в окрестности зг (каис). Можно доказать, что всякое многообразие можно вложить в евклидова пространство. В примере 8 ЭО(3) есть подмножество Кэ. 3 з д а ч а. Доказать, что 30(3) елок<ока е йг в тем самым проверить, по 80(3) — мяагоабразие. В. Касательное пространство. Если М вЂ” вложенное в Х" гс-мерное многообразие, то в каждой точке эе оио имеет )с-мериое касательиое пространство ТМ .
А именно, ТМ есть ортогональиое дополиеяие к (йга((рд,..., йтас(1э д.) (рис. 62). Векторы касательного пространства ТМ с началом в ое называются касательными векторами к М в ж. Эти векторы можно определить и непосредственно, как векторы скорости кривых иа М: ю= Пдп, где др(О) =ж, гр(с)б=М. снг С Определеиие касательного вектора можно дать и во внутрениих терм»див, ие обращаясь к вложеиию М в Х'". $ !В. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 75 Назовем две кривые ю = !р(!), ю = !р (!) на многообразии эквивалентными, если ер(0) = чр(0) = ю и 1!ш ~() = 0 !Р (ю> — Ф (!) ! о на какой-нибудь карте.
Тогда это же соотношение касания верно на л!обой карте (докажите!). О п р е д е л е н и е. Касательным вектором к многообразию М в точке ю называется класс эквивалентности кривых !р (!), !р (О) = ю. Легко определить операции уыноясения касательного вектора на число и сложения касательных векторов. Множество касательных векторов к М в х образует линейное пространство ТМ„. Это пространство и называется касательным пространствам к М в ю.
Для влолсенных мкогообразий введенное Р/ определение совпадает с предыдущим. Но его Ь преимущество в том, что оно годится и для сь абстрактных, никуда пе вложенных многообразий М. Рьа вк Касательнье пьо- Определение. Пусть П вЂ” карта атласа М с коордипатаыи д„ ..., д .
Тогда компонентами касательного вектора к кривой о = !р(!) ви, называются числа $„..., $„, где $! = — ~ !!=о Г. Касательное расслоение. Объединение касательных пространств к многообразию М в разных точках () ТМ имеет естест- яяь! венную структуру дифференцируемого многообразия, размерность которого вдвое больше размерности М. Это многообразие называется касшпельным расслоением многообразия М и обозначается ТМ. Точка ТМ вЂ” это вектор $, касающийся М в какой-нибудь точке ж. Локальные координаты на ТМ строятся следующим образом. Пусть дг,..., д„— локальные координаты на многообрааии М, $„..., 5 — компоненты касательного вектора в этой систев!е координат. Тогда 2п чисел (дг, ..., ц„, $!,..., $„) задают иа ТМ локальную систему координат.
Отображение р: ТМ-РМ, сопоставляющее каждому касательному вектору $ ту точку ю Е= П, в которой вектор касается М ($ !:= ТМ ), называется естественной проекцией. Прообраз точки ж Е= М при естественной проекции, р ! (х), есть касательное пространство ТМ . Это пространство называется слоем расслоения над точкой ю. М Д. Риианово многообразие.
Если М вЂ” вло!кенное в евклидова пространство многообразие, то метрика евклидова пространства позволяет измерять на М длины кривых, углы между векторами, объемы и т. п. 76 гл. а. ллгганя«квл михлникл нл многоовглзиях Все зти величвны выражаются через длину касательных векторов, т. е.
через положительно определенную квадратичную форму, заданную на каждом касательном пространстве ТМ (рис. 63): ТМ„-~ К; $ + «',$, с',>. О п р е д е л е н и е. Дифференцируемое многообразие М с фиксированной полон«ительно определенной квадратичной формой «,5, ф в каждом касательном пространстве ТМ„называется риз«амояыл«л«н«мообралиам. Эта квадратичля ная форма называется рмл«ановой метрикой. Замечание. Пусть П вЂ” карта атил ласа М с координатами д„..., д„. Тогда «т' ф риманона метрика задается формулой «Ьа = ~ ам(д) «(д««)дй а;; = ад, «. ~1 "'~ " л ' где «(д« вЂ” координаты касательного вектора. Функции ам (д), разумеется, предполагаются дифференцируемыми нужнов число раз.
Е. Производнак отображения. Пусть (: М -э ««" — отображение многообразия М в многообразие «т'. Отобран«ение у называется ди4Яеренцирунмыл«, если в локальных координатах на М и на )т" оно задается дифференци- Ф «т' руемымн функциями. у' Определение. Произлодной дифференцируемого отобраАяя жекия у: М -+- Л в точке х е= М называется линейное отображение касательных пространств У,.«ТМ.
ТМ„.„ Ряс. З«. произвели.~я с«асраямзяя которое задается следующим образом (рис. 64). Пусть т«~ ТМ . Рассмотрим кривую «р: К вЂ” ~ М, «р (О) = х, с вектором скорости — ~ = т«. Тогда ( т«есть вектор йч «и «=е Например, длина кривой т на многоооразии выражается через ату форму как ((у)= ~)/«сх, Их>,или, если кривая задана параметрически: а; у: («„««)-М, с х(«) «н М, с, то Е (у) = $ р «х, х> Ю. с, 5 1з. ллгРАнжеВА динАмическАя систгмА скорости крнвой То»р: К -»- ))(, ~е:= — „~, йц(з)).
3 а д а ч а. Докажвте, что вектор г' е завнсвт ве от кривой ц, но лищь от вектора е. 3 а д а ч а. Докажите, что отображевке Г „: ТМ„ТТЗ линейное. 3 а д а ч а. Пусть х = (яы..., я„) — координаты в окрестности точка ж т М, а у = (уы..., Р„) — координаты в окрествостн точки у»н Л~. Пусть з — набор компонент вектора е, а») — набор компонент вектора ) „е. Покажите, что ву г)= — 2, т. е. дх Объединяя отображения Т при всех ж, получаем единое отображеиие всего касательного расслоения Те: ТМ = ТБ, Тее = Те е для пб=ТМ . 3 а д а ч а.
Докажите, что ге — двфференцнруемое отображевне. Задача. Пустьдй) Л', Зс Л" Л, Ь=г Д М К. Докажите, что Ь =В 3 г9. Лагранжева дииамическая система В атом параграфе определяется лагравжева дннамнческая система на многообраевв. Система с голономнымв связямв является частным случаем. А. Определение лаграткевой системы. Пусть М вЂ” дифферепцируемое многообразие, ТМ вЂ” его касательное расслоеиие, Ал ТМ -»- К вЂ” диффереицируемая функция.
Отобраягепие у: К -ь -»- М Называется движением в лагранжевой системе с конфигурационным многообразием М и функцией Лагранжа А, если у есть вкстремаль функционала ь »В(у) = ~Т-(у)д( где ф — вектор скорости, у (О (='- ТМто>. П ри и е р. Пусть М вЂ” область в координатном пространстве с коор. Двнатамн Ц = (Чм..., Че). ФУвкцвЯ ЛагРав»ка Тл ТМ К еаппсываетсЯ в ваде функции 2п координат б (о, ф). Как доказано е й (2,пзмевевне коордвнат движущейся точки со временем удовлетворяет ураввенпян Лагранжа. С л е д с т в и е. Изменение локальных координат д = = (тм..., ц„) точки у (З) при движении в лагранжгвоа системе на многообразии М удовлгглворлст уравнениям Лагранжа в дЬ И вф в здв Ь (д, д) — выражение функции Х,: ТМ-».К через координаты д и (у на ТМ. 78 гл $. лАГРАнжеВА мвх никА нА многоовРАзиях Особенно часто встречается следующий частный случай.
Б. Натуральная система. Пусть М вЂ” рнманово многообразие. Кинетической внергией называется квадратичная форма на каждом касательном пространстве Т = —. (22, гО, и е= ТМ„. Потенциальной энергией навывается дифференцируемая функция 77: М-л-В О и р е д е л е н и е. Лагранжева система на римановом многообразии называется натуральной, если функция Лагранжа равна разности кинетической и потенциальной знергий, Т, = Т вЂ” Сл.
ЛЛ П р и м е р. Рассмотрим дэе тачки масс ллл, ме, со~ге ~чл единенные атреэком длины ) иа плоскости т, у. Тогда , конфигурационное многаабраэие трех измерений М=В2Х 82~В2Х Вл С"'РН К определяется в четырехыерном конфигурационном про- странстве Вл Х Вл двух свободных точек (л, у ), (л„ул) В касательном пространстве к четырехмерному пространству (яме, ул, у ) есть квадратичная форма (22 ) ре) ) (ел ( ре) Паже трехмерное многообразие, кэк вложенное в четырехмерное, снабжается риманоиой метрикой. Полученная голопомиая система и лаеяееелыл в механике атреэколл постоянной длины на плоскости л, у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
