В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Конфигурационное пространство механической системы имеет структуру дифференцируемого многообразия. На дифференцируемом многообразии действует группа диффеоморфизмов. Основные понятия и теоремы лагранжевой механики (даже если они и формулируются в терминах локальных координат) инвариантяы относительно зтои группы е). Лагранжева механическая система задается многообразием («конфигурационным пространством») к функцией на его касательном расслоении («функцией Лагранжа»).
Каждая однопараметрическая группа диффеоморфизмов кон.фигурационного пространства, оставляющая неизменной функцию Лагранжа, определяет закон сохранения (т. е. первый интеграл уравнений дни~«ения). Ньютонова потенциальная система — частный случай лагранжевой (конфигурационное пространство в этом случае евклидово, а функция Лагранжа равна разности кинетической и потенциальной энергий).
Лагранжева точка зрения позволяет исследовать до конца ряд важных задач механики„например, в теории малых колебаний и в динамике твердого тела. ГЛАВА 3 ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП В этой главе показано, что двии;ения ньютоновой потенциаль.пой системы являются экстремалями вариационного принципа, так называемого «принципа наименьшего действия Гамильтона».
Из этого факта вытекает много важных следствий, например способ быстро писать уравнения движения в криволинейных системах координат, а также ряд качественных выводов, например теорема о возвращении в окрестность начальной точки. В этой главе используется координатное и-мерное пространство. Вектор такого пространства х есть набор чисел (х„ ...,х„). Соответственно д//дх означает (д//дхп..., д//дх„), (а, Ь) = а,Ь«+ ..
° ... + а„Ь„. е) И далю относительно более широкой группы преобразований, затрагивающих таиию и преки. 53 $ Пь ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 9 $2. Варнационное исчисление Для дальнейшего вам потребуются некоторые сведевня яз варпацноннсго нсчнслсвня, Более подробное нэлсженяе см., напрнмер, в учебниках М. А. Лаврентьева я Л. А. Люстернвка «Курс варнацпсппсгс исчисления» (М.: ГОНТИ, !938) влн Г. Е. Шилова «Математический апалпэ.
Специальный курс» (М.: Фнзматгпэ, 496!). Варнацнонное исчисление эанимается отысканием экстремумов функций, область определения которых — бесконечномерное пространство: пространство кривых. Такие функции наэываются у»укк«р«омал ми. Примером функционала является, нап- 7 ример, длина кривой на евклидовой плоскости ~О г у = (!» х ° х (Г) = х! гс ~4 г ~( гг)с с, ф гг г Ф(у) =~ ф'(+х»й! Рис.«Ь Вари«пи«при»се Вообще функционалом наэывается всякое отображение пространства кривых в числовую ось. Рассмотрим «близкую» к у кривую 'р' = (д х: т = х ($) + + Ь (!)). Вудам обоэначать ее у' = у + Ь.
Рассмотрим приращение функционала Ф, Ф (у + Ь) — Ф (у) (рис. 4!). А. Вариации. О и р е д е л е н и е. Функционал Ф навывается дпу)бсвренцыруемим*), если Ф (у+ Ь) — Ф (у) = Р+ В, где Р зависит от Ь линейно (т. е. при фиксированном у Р (Ь + Ь ) = Р (Ь ) + + Р (Ь ), Р (сЬ) = ср (Ь)), а Л (Ь, у) = О (Ь') в том смысле, что иэ ! Ь 1 с. е, ! «ЬЫ8 ! ~ в вытекавт ~ Л ~ ~ Се». Линейная часть приращения, Р (Ь), наэывается дм!ббберем«!п«ь«ам. Можно докавать, что если функционал Ф диффервнцируем, то его дифференциал определен однозиачмо. Дифференциал функционала навывают также его варшщивй, а Ь наэывают вариацией кривой.
Пример. Пусть у = (!,х: х = х(!), эсч... 1~(8г) — кривая вх На плоскости г, х, "Х= —; А = .5 (а, Ь, с) — днффервнцвруемая функция трех переменных. Составим функционал: Ф (у) = ) А (х (г), х (г), й) Й. *) Следовало бы упа«ать, на каком классе кривых определен фуакцнопаа «В н какое лнпейпсв пространство пробегает й.
Можно считать, напри- М«р, что в обоих слу ипх речь идет с бесконечно-дяфферепцпруемых фупецвях. Гл. 3. Бхгниционпый пгинцнп Например, в частном случае Ь = у'1 + Ьв получаем длину кривой у. ь Т е о р е м а. Функционал Ф (у) = ) Х (х, х, !) ссс дифференцирус. емый, и его дифференциал дается формулой ~~ дХ д дЬ 1 +(д1 )~с1 Доказательство.
Ф(у+ Ь) — Ф(у) =( у(х+Ь,х+ Ь,!) — у (и, ';!))а = с1 Ь~бт+О(Ьв) Р())+ Д са '! дЕ дЬ где Р(Ь) = ~ ( — Ь + — Ь)ссд В =0(Ьв). Интегрируя по часс. тям, находим с, с, Ж "~=-~Ь вЂ” '(~')~+(Ь вЂ” ')~" ' -' 1 сю Б. Экстремали. О п р е д е л е н и е. Зкстремальсо дифференцируемого функ- ционала Ф (у) называется такая кривая у, что Р(Ь, у) = О прн любом Ь. (Точно так ясе, как у — стационарная точка функции, если в атой точке дифференциал равен нулю,) Те о р ем а.
Чтобы кривая у: х = х(х) была екстремалью с, функционала Ф(у) = ) А(х,а,с)ссс на пространстве кривых, про- ходящих черед точки х (се) = хе, х (сс) = хд, необходимо и до- статочно, чтобы вдоль кривой х (С) Л е м и а. Если непрерывнол функцил ! (с), се «~ с ««ссс такова, с, что ~ ! (с) Ь (!) ссс = О длл любой непрерывной е) функции Ь (с), длл с, кипорой Ь (се) = Ь (сс) = О, то ! (с) = О. е) Или хотя бы Лля лсебой бесконечно диффереицируеиой функции а. 1 дь влгилддмомиов исчнслцнив 55 Д о к а э а т е л ь с т в о л е м м ы.
Пусть1(1и)» О, 1 < ги ~ ( гд. В силу непрерывности ~ (1)» с в некоторой окрестности А точки ди: Фо ( Си — Н(1 < дх + би Сд, пусть Ь (С) = О вне А, Ь (1) » О в А и Ь (1) = 1 в — (д* — — (1( дэ + — э) . То~да, оче- дд видно. ) т»(9)Ь(1)ддс»бс' »О(рис. 42). Полученное противоречие докаэывает, что 1(1и) = О для всех ( гх и"' Фд, ч. т. Д. Докавательство теоремы. По предыдущей теореме с» т» тд' Р(Ь) = бв б ° м — ~ ~ — ( — ) — — ~ Ь ддд+ ( — Ь)~ . Рис. 42.
построение Едтнс- д, Внеинтвгральный член равен нулю, так как Ь (го) = Ь (дд) = О. Если у — экстрвмаль, то Р (Ь) = О при всех Ь, для которых а Ь (Мо) = Ь (8д) = О. Поэтому при всех таких Ь(Ю)) 1ЯЬ(1)д1д = О, Ф, д д'АД д1 где д (д) = — ~ —,) — — . По ледпив ~ (1) — = О. Обратно, если дт дд' д дх 1 (Ю) ш О, то, очевидно, Р (Ь) = О, ч. т. д. П р я м в р. Проверим, что экстрвмнли алины — прямые. Имеем." дБ дб е д т1+г' ~ =О' ~~ = — — ' Ж Уд+г' 'д у1+гд Г =с, х=сд, х=сдг+ с . "т~1+гт В.
Уравнение Эйлера — Лаграннда. д /дХД дб Оп р е де л в н ив. Уравнение — ~ — ~ — — = О называ- дд ~д» 1 дх ется уравнением Эйлера — Лагранжа для функционала Ф = ~ 1(х,х,д)дй. Пусть теперь х — вектор и-мерного координатного пространства 7= 11, аи х = ю (1), 1о ~( 8 ( $д) — кРиваЯ п+ д-меРного пространства К х К", Е: К" хК" х К-».К вЂ” функция 2п+ д аргумента. Аналогично предыдущей докаэывавтся Т е о р е и а. Чтобы кривая у была вкстремалъю функционала ди(у) = ) дт (ю, ю, 1) й на пространстве кривых эс (Ф), соединлюдцих гл. г. ВАРПАционпыя пвиппип две данные точки (се, осе), ((ы зсс), необходи,мо и достаточно выполнение вдоль нее уравнения Эйлера — Лавронова с( дЬ дЬ =О. есе дх дх Это — система п уравнеивй второго порядка, и решевие аависит от 2п проиавольяых постояияых.
Для нахождения их служат 2п условий м (() = м„х ((е) = юе. 3 а д а ч а. Приведите примеры, когда екстремелей, соединяющих две даавые точки, много в когда их вот совсем. Г. Важное аамечаиие. Свойство кривой у быть вкстремалью функционала не зависит от выбора системы координат.
Например, одпв и тот же фувкеосовал — длина кривом — в декартовых и поляркых координатах дается раэкыми формулами е, е1 Ф, = ~ г ете+еххж, Ф, = ~ )гй+~~~Рда ея Экстремали одни и те же — прямые липин ва плоскости. Ураввеввя прямых в декартовых и полярвых координатах еадаются различными фувкцпямв: хс = хс (Е), х = х, (с); г = г (с), ер = ер (с). Однако и те и другие фуввцив удовлетеоршст уреввевпю Эйлера — Лагранжа д ('дб) дб дг ~дс ) дх только в первом случае хд „= х,„хс; Ьд „= )/й~+ ф а во втором— Таким образом, мы легко можем написать дифференциальное уравнение семейства всех прямых в любых координатах. 3 а д а ч а. Напишите дифферевциельвое уравнение семейства всех прямых в полярных координатах иа плоскости. й 13.
Уравнения Лаграшва Здесь указав вариациовиый принцип, екстремалямп которого являются решения выстововсквх ураввевпй движения вотепцвалькой системы, Сравним уравнения динамики Ньютона — (тесте)+ — = О (1) е д дХ дЬ с урввиением Эйлера — Лагранжа — —. — — = О. дс дх дх А. Принцип наименьшего действия Гамильтоиа. Т е о р е ма. Двигаемая механической системы (1) совпадают е, с вкстрамаллми функционала (Р(у) = ~ А,бс, где г = Т вЂ” П— с.
разность кинетичской и потенциальной внергий. $ СЗ. РРАВНЕННЯ ЛАГРАНЖА ;с Дока а а тельство, Так как П = У(с), Т = ~Р тс — ', то дб дт . дб дГС имеем —. = —. = тс»'„— = — —. дтс дс; * ' дгС дсС С л е д с т в и е. Пусспь (д,..., д „) — любые координаты в конфигурационном пространстпвв системы и материальных точек. Тогда изменение д со временем подчиняется уравнениям Эйлера — Лагранлеа д I дЬ'1 дс — ~ —,) — — =О, еде Е = Т вЂ” П.
дг~дз) да '* Д о к а а а т е л ь с т в о. По предыдущей теореме двинсение— вкстремаль функционала ~ Т сй'. Следовательно, в любой системе координат удовлетворяется ааписанное в атой системе координат уравнение Эйлера — Лагранжа, ч. т. д. О п р е д е л е н и е В механике приняты следующие наимено- вашся: Ь (д, с, Ф) = Т вЂ” П вЂ” фунсщияЛагранжа, лагранжиан, дс— дб обобщенные координаты, сс — обобщенные скорости, —. = рс— дзс дб обобщенные икпульсы, д — обобщенные си яв, ) Ь(д, с, Р) Й— д с дЬ 1 дб действие, — ~ —.) — — = Π— уравнения Лагранжа. и ) дЗС ) ддс Последняя теорема нааывается »принципом наименьшего дейст- вия в форме Гамильтона» потому, что в некоторых случаях дви- жение р (б) является не только акстремалью, но и доставляет с, наименьсаее значение функционалу действия ~ е бс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
