В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 5
Текст из файла (страница 5)
15. «) Единственное искшсчевие составляет случай, когда период ие зависит от ввергни, э. систвмы с двумя стнпвнями своводы 27 В. Фааовое пространство. Уравнение движения (1) можно записать в виде системы: хг = Ум дП у дхэ ' йэ=рю до' у дх (2) дРУ РУ Р Р кона сохранения энергии ф$ определяет трехмерную гиперповерхность Ь в четырехмерном пространстве: Е (х„ х„у„уэ) = Еэ; ата поверхность Пз, остахх ется инвариантной относительно фазового ай»рсва в аээоэмс крйэмэ потока: а'Пв, = Пк,.
Можно сказать, что фазовый поток течет по поверхности уровня энергии. Векторное иоле фазовой скорости касается в каждой точке поверхности Пя. Следовательно, вся она составлена из фазовых кривых (рис. 16). Г. Пример г (»малые колсбаиия сферического маятника»). Пусть хэ+ хэ о = — эх — .
Миожсства уровня потенциальной эвергии иа плоскости хт, хэ будут коицектрическвми окружностями (ряс. 17). Уравнения двюкеиия хг = — хь В„= — х эквивалентны системе хэ =- рм хэ = аэ Й хг рэ — хэ. ота система распадается ва две иеэависимыг; иначе говоря, каждая иа иоордккат хм хэ макается со временем так же„как в системе с одной степенью свободы„ э) При обычных ограиичваиях. Фазоаылг просгиранстеом системы с двумя степенями свободы называется четырехмерное пространство с координатами х,х, рю УэСистема (2) определяет векторное поле фазовой скорости в четырехмерном пространстве, и тем самым *) фазовый поток патей системы (однопараметрвческую группу диффеоморфизмов четырехмерного фазового пространства).
Фазовые кривые системы (2) являются подмножествами четырехмерного фазового пространства. Все фазовое пространство разбивается на фазовые кривые. Проекции фазовых кривых из четырехмерного пространства па плоскость хг, хэ дают траектории нашей движущейся точки на плоскости хг, х,. Эти траекторииназывают также орбитами. Орбиты могут иметь точки пересечения, тогда как фазовые кривые г д га не пе есеквют.
У авнение за- 28 гл 8. НсследОВАнии уряннений дВиженин Решения имеют иид х =влсозг+вззшз хз=взсозз+вззшз ул = — вл зш 3+ вз соз ц уз = — вз зш з+ вз сое Ф. Из закона сохранения энергии следует: Е= 2 (у~+раз)+ 2 (в~з+х~) =сопз$, Рас. 18. Области ГГ < и„ гг,<и и и,<й Рис. Ок Лезин грозна яотвзцеааьзоя »зергии с4ерячвсаого иззтзааа 3 а д а ч а. Найти проекции фазоеых кризых на плоскость хд, х (т. е. нарисовать орбиты дзиження точки).
Д. Пример 2 (зфигуры Ниссажуз). Рассмотрим еще одни пример плоского движения (вмазав хая»дания в двумя втеиемямз ввободмз): хд —— — х, х = — их. — з Потенциальная энергия 1 1 2 »+2 з Из закона сохранения энергии следует, что если з начальимй момент зремени полная знергия 1 — (Р+ззз)+ У(хм хз) = Е, то зсе движение будет происходить знутри эллипса У (т, хз) ~ Е. Кроме того, наша система состоит иа двух не сзязанных одномерных систелс Поэтому закон сохранения энергии выполняется отдально для каждой из нях: сохраняются величины 1 1 1 1 Š—, хз + — хз Š— зз + е»зхх 2 л 2 л' з 2 з 2 з (Е = Е, + Ез). т. е. позерхностью уровня Пя язляется сфера з четырехмерном пространстве. 3 а д а ч а.
Доказать, что фааозые кривые язляются большими кругами этой сферы. (Большим кругом назызается пересечение сферы и проходящей через ее цеатр дзумернои плоскости.) 3 а д а ч а. Доказать, что множество фазозых кривых на позерхносги П хл+ лул состазляет дзумериую сферу. Точнее, формула и = .
задает »отобрав+»уз жение Хопфа» трехмерной сферм Пн на двумерную сферу (плоскость комплексного переменного ю, пополненную бесконечно удаленной точкой). Наши фазозые призме — зто прообразы точек при отображении Хопфа. 1 5. систкмы с дВумя стнппнпын сВОБОды 29 Следовательно, иаменевие хг ограничено полосой ) хг) ~Ау, Аг = = 2/2Е1 (О), и х тоже колеблется в пределах полосы ) х ) е„А . Пересечение этих двух полос определяет прямоугольник, в котором заключена орбита (рис.
18). 3 а д а ч а. Докзвать, по этот прямоугольник вписав в эллипс 0 ~ Е. ()бщее репшние наших уравнений есть хт = Аг шп (1 + тут), хе = = Ае зш (юу + ет ): движущаяся точка независимо совершает колебание с частотой 1 и амплитудой А по горизовпгли и колебание с частотой ю и амплитудой Аэ по вертикали. Чтобм нарисовать орбиту на плоскости хд, хе, поступим следующим обрааом. Рассмотрим цилиндр с осповавием 2А1 и лепту ширины 2А . Нарисуем на ленте синусоиду с периодом 2нА /ю и амплитудой А и намотаем ленту на цилиндр (рис. 19).
Ортогональная проекция намотанной на цилиндр А Рвс. 19. Построение фигуры Лисссжу Рвс. 20. Серия фвгур Пас- сажу с ы =,1 Рвс. щ. Ю гуре Лвссежу с ы=1 1'вс. 99- тр аренасе у с ы=з Ряс. Вд сер ф ур л с у се=э синусоиды на плоскость хг,х и даст исномую орбиту, называемую фигурой 4(вссажр. Фигуры Лиссажу удобно наблюдать на осциллографе„ подавая два независимых гармонических колебания на горизонтальную и вертикальную развертки, Вид фигуры Лиссажу очень сильно зависит от частоты в. Если ю = 1 (сферический маятнвк примера 1), то на цилиндре кривая — эллипс.
Проекция этого эллипса на плоскость хг, х зависит от разности фаз туе — йь При 30 ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ «р, = «(ч получается отрезок диагонали прямоугольника, при малых И вЂ” ~рг — сжатый к диагонали эллзшс, вписанный в прямоуголькик. При «?з — ~рг = я«2 получается эллипс с главными осями хо хз; при увеличении Чгз — «?г от я«2 до я эллипс сжимается ко второй диагонали, при дальнейшем увеличении «? — «зг весь процесс повторяется сначала (рис. 20). Пусть теперь частоты равны лишь приближенно: ы = 1. Отрезок кривой, соответствувяций О ~( г ч, 2я, очень похож на эллипс. Следующий виток тоже напоминает эллипс, но у него сдвиг фаз «р, — «зг на Зя (в — 1) больше, чем у исходного. Поэтому кривая Лиссзжу с ы 1 — деформярующийся эллипс, медленно проходящий все фазы от сжатия в одну диагональ до сжатия в другую (рис. 21). Если одна из частот вдвое больше другой (в = 2), то при некотором сдвиге фаа фигура Лиссэжу превращается в дважды пройденную кривую (рис.
22). 3 а д а ч а. Доказать, что эта кривая — парабола. Прп увеличении сдвига фаз згз — Иг последовательно получасы кривые рис. 23, Вообще, если одна из частот в л раа больше другой (ы = а), то среди соответствующих фигур Лиссажу есть графин многочлена степени а (рлс. 24); этот згногочлея называется мьеючлзвом «?ебьиигва. Рвс.
24. Мзогочлезы Чебышева 3 а д а ч а. Доказать, что ес:ш «з = зг!гг, то фигура Лиссажу — замкнутая алгебраическая кривая, а егзя ы иррацвонально, то фигура Лиссажу заполняет прямоугольник всюду плотно. Что заполняет соответствующая фазовая траектория? й 6, Потенциальное силовое поле В атом параграфе исследуется связь работы я потенциаэьной внергии. А. Работа силового поля на пути. Напомню определение работы силы Х' на пути (т. Работа постоянной силы Х' (например, силы, с которой мы тянем вверх грув) на пути и = М,Мз есть, по определению, скалярное произведение (рис.
25) А = (Х, гг) = ! .г' ! ~ З !.Соз «р. Пусть дано векторное поле гг и кривая (конечной длины. Приблизим кривую 1 ломаной со звеньями ЛЗ«н обозначим через К«значение силы в какой-нибудь точке Ло«; тогда работа ноля Х'на пути ( ее«па ~о определению (рис. 26) А = )(ю ~(Х, ЛЯ«). 1аа,.)»э 2 б. потинцилльнов силовов поли В курсе анализа доказывается, что если поле непрерывно, а путь спрямляем, то предел существует.
Он обозначается ~(.Г, 4$). Рис. 25. Работа псстопписг силн Ю иа пгииаи пути и Рис. 26. Работа сипаестс пОлн Р па пути ! Б. Условия потенциальности пОля. Т е о р е м а. Векторное повели потенциально тогда и только тогда, когда его работа по любому пути М,М, зависит только от концов пути и не зависит от формы пути. Действительно, пусть работа поля Х не зависит от пути. Тогда корректно определена функция точки М: Легко проверить, что дб' дю т.
е. поле потенциально, а У вЂ” его потенциальная энергия. Конечно, потенциальная энергия определяется только с точностью до «ддитивной постоянной У (Ме), которую можно выбрать произвольно. Обратно, пусть поле дг потенциально и су — потенциальная энергия. Тогда легко проверяется, что м ю / 1 (х ° «~~) = (~ (М) + (' (Ме)' Рис. 27. Непстеит. е. работа не зависит от формы пути.
циальисе папе 3 а д а ч а. Доказать, что векторное поле Г1 = хт, Г = — хт не нотон цввльно (рпс. 27р 3 а д а ч а. Потенциально лн поле, заданное на плоскости с исключение — хд Ней точкой, Гг = —, Ге= ? Докагать, что полепотенцпально тогда н только тогда, когда его работа по любому замкнутому контуру равна кулю, 32 гл. з. исслкдовлпин гглвнкнин движкнин В. Центральное поле. О п р е д е л е н и е. Векторное поле на плоскости Ез называется цензпральнььв с центром в О, если оно инвариантно относительно группы движений *) плоскости, оставляющих точку О на месте. 3 а д а ч а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
