В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Образ отобраятення х: 1- Йп называется траекторией или кривой в К'». 3 ад е ч а. Может лл трлскторни днфференллтруемого движения ни плоскости иметь нарисоиаввьтн не рнс. 3 инд? Может лп лектор ускорения иметь уклеенное значение? Ответ. Де. Нет. Определим теперь, что такое механическая система ил и точек, движущихся в трехмерном евклидовом пространстве. Рис. Ь Мировые лилии Рис. Л. ТраектоРия иииыеиии точки Пусть х: К -~- Ки — движение в ВР.

График и) этого отображения является кривой в Й Х Йи. Кривая в галилеевом пространстве, являющаяся в какой-нибудь (и тогда любой) галилеевой системе координат графиком движения, называется мировой линией (рис. 4). Движение системы нз и точек задается в галилеевом пространстве и мировыми линиями. В галилеевой системе координат они описываются и отображениями х,: К -ь Ки, 1 = 1,..., и. Прямое произведение и экземпляров Йи называется конфигурационным просптранслилтм системы и точек. Наши и отображений хб Й -+- Йл определяют одно отображение х: Й-ьКп, тт = Зп, оси времени в конфигурационное пространство.

Такое отображение и называется движением системы и тачек в жьлилвевой системе координат К Х Ки. Г. Уравнение Ньютона. Согласно принципу детерминированности Ньютона ($1, В) все движение системы однозначно опре- е) Графиком отображевня й А В наамвается иодвноппожо прямого вроваведении А Х В, составленное нз всех яир вада (а,? (а)), а еи А. 16 гл. я экспеРиментАльные юАкты деляется ее начальным положением (м (ге) ~ Кп) и начальными скоростями (х (( ) е„:Б К"т). В частности, начальное положение и сксростпи определяют ускорение.

Иными словами, существует функция р' Кп Х Кп Х К вЂ” ь -з. Кн такая, что Й = Х (ю, х, г). (1) Уравнение (1) положено Ньютоном в основу механики. Оно нааывается уравнением Ньютона. По теореме существования и единственности теории обыкновенных дифференциальных уравнений функция р' и начальные условия ю ((е), х (ге) одноаначно определяют движение *). Вид функции лл для каждой конкретной механической системы определяется экспериментально.

С математической точки арения вид лл для каждой системы составляет определение этой системы. Д. Ограничения, налагаемые принципом относительности. Принцип относительности Галилея утверждает, что в фиэическом пространстве — времени имеется избранная галилеева структура («класс инерциальных систем координата), обладающая следующим свойством. Если подвергнуть мировые линии всех Ф" точек любой механической системы *е) с г одному и тому же галилееву преобравова нию, то получатся мировыелинии тойже Рис.

ь. првиции относи- системы (с новыми начальными условия.ии) т«и«вести галилея (рис, 5). Вто налагает на вид правой части уравнения Ньютона, ааписанного в инерциальной системе координат, ряд условий: уравнение (1) должно быть инвариантно относительно группы галилеевых преобрааований. «) Прп веко«срыл условкях гладкости, которые адесь, конечно, предполагаютсл выполкепвымп. Двшкевве определяется уравкевпем (г), вообще говоря, лишь па некотором кяюер«елв оси времеви. Для упрощекйя мы будем очвтать, что этот интервал есть вся ось времевк, что выполвяегся в большинстве аадач механики.

««) Прп формулировке принципа откосптельвостп следует иметь в виду, что ов относится лишь к «аиияуюмм физическим (в частности, механическим) системам, т. е. что мы должвы включать в систему все тела, ваавмодействие которых играет роль при пиучеяпи данного явления. Строго говоря, следовало бы включать в систему все вообще тела Во«левкой.

Но опыт покааывает, что часто можно пренебречь влиянием многих иа ввх: вапркмер, прп паучелип движеввя планет вокруг Солнца мошко пренебречь притяжением других авеид п т. п. С другой стороны, прв иаучекип движения тел в окрестности Земли система ке вамквута, если в псе пе включена Земля, прп иаучеппи движевии самолета система ке аамквута, пока в пей пе включен окружающий самолет воадух, и т. д. В дальнейшем под термином «механическая система«понимается в большинстве случаев аамипутая система, когда же будет идти речь о веаамкнутых системах, ато будет специально оговариваться (см., например, $ 3). х гллилкявл гв»чп«л П р и м е р 1.

Среди галилеевых преобразований имеется сдвиг по времени. Инвариантность относительно сдвигов по времени означает, что «законы природы остаются постоянными», т. е. если х = «р (е) — решение уравнения (1), то для всякого в Е= К решением будет также х = «р (8 + в). Отсюда вытекает, что правая часть уравнения (1) в инерциальной си«пеме координат не может зависеть от времени: х=Ф(х, х). 3 а м е ч а н и е. Дифференциальные уравнения, правые части которых зависят от времени, встречаются в следующей ситуации.

Предположим, что мы изучаем часть 1 механической системы 1 + 11. Тогда влияние части 11 на часть 1 можно иногда заменить изменением со временем параметров системы уравнений, описывающих дв«окские части 1. Например, вливнием Луны на Землю можно пренебречь при исследовании болыаинства явлений на Земле. Однако при исследовании приливов это влияние нужно учитывать, заменяя притяжение Луны периодическим иаменением силы тяжести на Земле.

Уравнения с переменными коэффициентами могут появиться также в результате формальных операций при решении задач. П р и м е р 2. Среди галилеевых преобразований имеются сдвиги в трехмерном пространстве. Инвариантность относительно таких сдвигов означает, что пространство однородно или «имеет одинаковые свойства во всех своих точках».То есть, если х« = = «р, (г) (« = 1,..., и) — движение системы и точек, удовлетворяющее (1), то для всякого» е= К» движение«р«(г) +» (« = 1,... ..., и) также удовлетворяет уравнению (1).

Отсюда вытекает, что правая часть уравнения (1) в инерциальной системе координшп может зависеть лишь от «относительных координат» х« — х«. Иа инваризнтности относительно перехода к равномерно движущейся системе координат (что не меняет х«и х« — х„, но прибавляет ко всем х«постоянный вектор т«) вытекает, что правая часть уравнения (1) в ияерциальной системе координат может зависеть лишь от относительных скоростей »«(('св х«Ф хв х«))з ц д й 1з ' еп П р и м е р 3.

Среди галилеевых преобразований имеются повороты в трехмерном пространстве. Инвариантность относительно таких поворотов означает, что пространство нестранно, так что в нем нет предпочтительных направлений. То есть, если «р,: К -«- К«(« = 1,..., и) — движение системы точек, удовлетворяющее (1), и 6«К« -«- К« — ортогональное преобразование, то движение 6«р«: К -эК» (1 = 1,..., и) также гл. 1. зкспвгнмнихальнь«к Факты удовлетворяет (1).

Иначе гоноряз Ю(Сх, Сх) =СХ(х, х), гдз Сх означает (Сх„..., Сх„), х, ~ Кз, 3 а д а ч а. Докажите, что если механическое система состоит ссссо ие одной о«очки, то ее ускорение е ииерциальиой системе координат равно пуле (еперзый заков Ньютона«). У к а а а н и е. Согласно примерам «, 2 вектор ускорения не зависит от х, и, г, а согласно примеру 3 вектор Р пнаариантев относительно вращений. 3 з д а ч а. Механическая система состоит ва двух точек.

В начальный момент их скорости (в некоторой пнерцяалькой системе координат) равны нулю. Докажите, что топ«и будут двигаться по соединяющей пх прямой. 3 а д а ч а. Механическая система состоит из трех точек. В начальный момент их скорости (а некоторой внерциальной системе координат) равны нулю. Докажите, что точки всегда останутся е той же плоскости, в которой они лежат в начальный момент. 3 а д а ч а. Мехаяическая система состоя« из двух точек.

Докаягяте, что при любых начальных условиях существует такая инерциальная система координат, что в ней зги дае точки яостояпио остаются в неподвижной плоскости. 3 а д а ч а. Докажите, чго механика в зааеркалье тождественна с на«лей. У к а з а н и е. В галилеевой группе есть преобразования отражения, меняющие ориентацию В«. 3 а д а ч а. Вдинстзев ли класс инерциальвых системс Омоет. Другие классы получатся, если измен«пь масштабы длины и времеви, а также йаправлеиие времени. й 3. Примеры механических систем мы уже отметили, что еяд фуякпни ле в уравнении ньютона (1) для каж дой механической свстемы определяется экспериментально.

Приведем несколько преверов. При рассмотрении конкретных систем разумно не включать а систему все объекты Вселенной. Например, при исследовании большинства происходящих на Земле явлений можно не учитывать влияние Луни. Далее, обычно можно пренебречь влиянием изучаемых процессов на дввжение самой Земли н даже считать систему координат, связанную с Землей, «неподзижнойо. Разумеется, принцип относительности уже не накладывает на уравнения движения, записанные в такой системе координат, нрежяих ограничений. Например, вблизи Земли вмеется набранное направление: вертикальное.

А. Пример 1. Пздеине камня иа Землю. Опыт показывает, что У х = — я, я ж 9,8 и/сз (Галилей), (2) где х — высота камня иад поверхностью Зем- на ка зскзт Если ввести «потенциальную зиергиюэ У = ях, то уравнвиив (2) можно записать в виде дО й= —— йк $ з. пРимеРИ механичесних систем 19 Если».(: Ен -и К вЂ” дифференцируемая функция в евклидовом пространстве, то мы будем обозначать через дИдж градиент функции Г. Если Ен = Е''ч х... Х Е т — прямое произведение евклидовых пространств, то мы будем обозначать точку ж ~ Е"» через (ж„..., х„), а вектор дИдх через (дИдх„..., дИдх„). В частности, если х„..., хн — декартовы координаты в Ен, то компоненты вектора дИдж равны частным производным дИдх„... ..., дИдх„.

Опыт показывает, что радиус-вектор камня относительно какой-нибудь точки Земли О, удовлетворяет уравнению ж =- — —, где с(= — дх. аи дх ' (3) Вектор в правой части направлен к Земле. Он называется вектором ускорения силы тяжести д. Б. Пример 2. Падение с больтпой высоты. Подобно всем экспериментальным фактам, закон движения (2) имеет ограниченную область применения. Согласно более точному экспериментальному закону падения, открытому Ньютоном, ускорение обратно пропорционально квадрату расстояния от центра Земли: е и гю Ф= — у— гз Рис. 7. Поле таготеиии Земли виде (3), введя сотен- гдв и = г, + х (рис.

7). Зто уравнение также можно записать в циальную энерппо С(=- — —, Й =угз, (г г ' е' сбратно пропорциональную расстоянию до центра Земли. 3 а д а ч а. Определить, с какой скоростью следует бросить камень, чтобы он улетел с поверхко- т сти Земли на бесконечное расстояние *). ) 7 Отггт.

Лг И,2 км(с. В. Пример 3. Движение грузика по пряМсй ПОД ДвйетВИЕМ ПРУЖИНЫ. ЗКСПВРИМЕНт Рис. З. Грузии иа иртпокааывает, что при небольших отклонениях пружины от ее нейтрального положения Уравнение движения грузика будет иметь вид (рис.8) х = — азх. Зто уравнение также можно записать в виде (3), если ввести е) Это так называемая вторая космическая скорость о,. Наше уравнение ке Учитывает при»я»кения Солнца. Прите»кение Солнца не выпустит камень 'Ие Солнечной системы, если скорость камня относительно Земли мевь»эе 16,6 км(с. ГЛ.

1. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЪНЫЕ ФАКТЫ потенциальную энергию а»х» У=— 2 Коля поместить на место одною груаика два таких же, то окажется, что прн том же растяжении пружины ускорение в два раза меньше. Экспериментально установлено, что для любых двух тел отношение ускорений Е /Е при одинаковом растяжении пружины постоянно (не зависит от степени растяжения пружины и от ее свойств, но лишь от самих тел). Величина, обратная этому отношению, наэывается отношением масс." и»»«» Е» эй« За единицу массы принимается масса какого-нибудь фиксированного тела, например 1 л воды.

Характеристики

Список файлов книги