В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 9
Текст из файла (страница 9)
ь Обозначим сумму моментов внешних сил через Х = ч', (э;, Х",). ем Тогда по доказанной теореме — =Х, откуда вытекает ег С лед от в ив 2. Если момент внешних сил отгюси ельно оси г равен нулю, то ЛХ, сохраняется. Г. Закон сохранения энергии. О п р е д е л е н и е. Кинетической энергией точки массы т называется ар« Т =— 2 О и р е д е л е н и е. Кинетической энергией сиспюмы материальных точек называется сумма кинетических энергий точек: т,гг т где т; — массы точек, р; — их скорости. Т е о р е м а. Приращение кинетинеской энергии сисгиемьг равно сумме работ всех сил, дейапвующих на точки системы.
Д о к а з а т е л ь с т в о. — = ~ т,(г„7;) = ~~" (г„т,г,) = ~~ (э'„Е,). вт Г~ а 1 ь=г 1 1 Поэтому 1 с Ф т(г) — тр,)= ~ — "' йг= ~'~(г„Г,)йг =~~~" А„ч, д. 1 л ь=т Конфигурационное пространство системы и материальных точек в Е' есть прямое произведение и евклидовых пространств: Ег" = Ег м... х Е'.
Оно имеет само структуру евклидова пространства. Обозначим через э = (ю „..., г ) радиус-вектор точки конфигурационного пространства, а через Х' = (Е,..., Х'„)— вектор силы. Предыдущую теорему можно записать в виде "ип Т(Гг) — Г(Г)= ~ (Х',сЬ')=~ (Р,У)й. ьа) Иными словами: Приращачие кинетической энергии равно работе Зпмерной «силы» Х на «нутш> э'(г) в конфигурационном пространстве. О и р е д е л е н и е.
Система называется потенциальной (или консервативной), если силы зависят только от положения точек 48 гл. 2. исслкдовлние ггявнении дВижения системы: Х' = Х' (» ), и работа Ю на любом пути зависит только от начальной и конечной точек пути: мй ~ (Х', сс»') = ср (Мп ЛХ ). м, Т е о р е м а. Д'ля потенциальности системы необходимо и достаточно, чпюбы сусцссгпвовала попсвнциальназ энергия, т.
г. такая функция Е7 (г), опо Доказательство. См. 5 6,Б. Т е о р е м а, Пол»сая внсргия потенциальной сиса»гмы Е = = Т + П при движении сохраняется: Е (с») = Е (св). Доказательство. По доказанному вьппе ст Т (г») — Т (св) = ~ (.Р, сс »') = Г (» (св)) — с» (» (г»)), ч. т. д. г(»д Пусть все силы, действую»дне на точки системы, делятся на силы взаимодействия и внешние силы: где Х'с» — — К,с = (с»вср У т в е р ж д е н и е.
Если силы взаимодействия зависят только от расстояний, (с» — — Сс» (~ »'с — г» ~ ), то они потенциальны. Д о к а з а т е л ь с т в о. Коли система состоит всего из двух точек с, у, то, как легко проверить, потенциальная энергия взаимодействия дается формулой Псу(г) = — ) сс»(р) йр. и Действительно, тогда ди,,()гс — г,.!) в~гс — г,.~ дг. ~С» дг. Поэтому потенциальная энергия взаимодействия всех точек будет П(».) = ~ Псс((»; — »;)), ч.
т. д. сь» Если и вневшне силы потенциальны, т. е. яв; = — дСс/д»„ то система потенциальна, и ее полная потенциальная энергия с» (г)= Х Пц+Хссс. с>с а га. движвнив систнмы и точки Для такой системы сохраняется полная механическая анергин Если же система не потенциальна, то полная механическая энергия, вообще говоря, не сохраняется. О и р е д е л е н и е. Уменьшение механической энергии, Е (ге) — Е (г ), наэываетси приращением немеханической знергии ЕР Е (гг) Е (ге) Е (го) Е Йг).
Т е о р е ма (закон сохранения энергии). Полнил знерзигз Н = Е + Е' сохранлетсл. Разумеется, эта теорема — очевидное следствие предыдущего определения. Ее значение состоит в том, что в конкретных физических системах для величины немеханической энергии Е' найдены выражения через другие физические величины (температуру и т.
п.). Д. Пример. Задача двух тел. Пусть две точки с массами т, т взаимодействуют с потенциалом П так, что уравнения движения имеют вид дд *. дд гп и = — —, т гг = — —, О =сг'()г — г' (). дгг г е дг'г Т е о р е м а. ХХзленение г = т'г — г в задаче двух тел гнакое же, как при движении точки массы т = в паве с потен- юглгг юг+ глг ггиалон сг (~ г. )). Обозначим через г', радиус-вектор центра инерции югт+ тегч ш,+гл, Согласно теореме о сохранении количества движения точка го движется равномерно и прямолинейно.
Рассмотрим теперь вектор г = я.г — ге. Умножая первое из уравнений движения на т„второе на тг и вычитая, находим дд т,т г'= — (т,+ т ) —, где сг' = дг =П(~ ~г — гз~ ) = П Йг ~). огг В частности, в случае ньютоновского притян~евия точки описывают вокруг их общего центра инерции конические сече- ог кия с фокусами в центре инерции (рис. 40).
3 а д е ч а. Определить большую полуось р аа эллипса, который описывает центр Земли вокруг общего центра инерции Земли и Луны. где расположен етот центр инерции: внутри Земли или вней (Мессе Луны в 84 раз меньше массы Земли.) ЗО Гл. 3, исследОВАние уРАВнений дВижения й 11. Соображения подобна В некоторых случаях важную информацию можио получить, ие решая уравнений двюкеввя, иэ одногоих вида, используя так иазываемые соображевия подобия и раэмериости.
Сущность этих сообрюкеивй состоит в таком подборе иэмеисппя масштабов (времени, длины, массы и т. д.), при котором уравнения движевпя сохраняют свой ввд. А. Пример. Пусть э (1) удовлетворяет уравнению <Нг д// Л<е дг Положим (< = а(, т, =- а'т. Тогда <г (1<) удовлетворяет уравнедэг д(/ нию т ° — = — —. Иными словами: д<,э дэ.
Если уменьшить массу точки в четыре раза, то она сможет пройти ту же орбиту в том жв силовом поле вдвое быстрее *). Б. Задача. Пусть потенциальная энергия центрального поля— однородная функция степени ач с/(а«) = ач(/ («) для любого а) О. Доказать, что если кривая у есть орбита движения, то гомотвтичная кривая ау также есть орбита (при соответствующих начальных условиях).
Определить отногпение времен обращения по этим орбитам. Вывести отсюда изохронность колебаний маятника (т = 2) н Ш закон Кеплера (т = — 1). 3 а д а ч а. Считая, что радиус плаветы в а раэ меиыле радиуса Земли, а масса в () раэ меиыяе, найти, во сколько раэ ускорение силы тяжести, а также первая и вторая космичес~в скорости ва ией мевыпе, чем Ва Земле. Ответ, 7 = ба э, 6 = — (/б/а. Например, для Луны а = 3,7, 3 = 81. Следовательно, ускоревие силы тяжести составляет примерво 1/6 земного (у — 6), а космические скорости— примерно 1/5 эемвых (6 = 4, 7).
3 а д а ч аее). Убивотиым пустыни пряхе/щэся преодолевать большие расстовиия мея<ду источниками воды. Как зависит максилшльиое время, которое моя<от бежать животиое, от размеров жввотиого И Ответ. Прямо пропорционально Ь. Р е ше в и е. Запас воды пропорционален объему тела, т. е. 5э, испарение же — пло<цади поверхиости, т. е. 5э. Поэтому максимальное время пробега от одного источника до другого прямо пропорциоиальио Е,. Заметим, что максимальяое расстояиие, которое может пробежать животное, также растет пропорциовальио й (см. следующую задачу). 3 а д а ч а ее). Как зависит скорость бега животво«о по ровному месту и в гору от размеров животного Ь? Оомет.
По ровному месту ьэ, в гору Ь <. Решение. Мощность, развиваемая яшвоткым, пропорциональна П (к. и. д. мэппц примерно постоянен — около 257э, остальные 75вйв химиче- е) Здесь предполагается, что (/ от т ие зависит. В попе тяготения потеициальиая вверю<я (/ пропорциональна эя, и поэтому период яе зависит от массы двия<ущейся точки эл. ее) С м и т Дж. Математические идеи в биологии.— Мл Мир, 1970. з рц соовганщния подовия ской энергии переходят в тепло; теплоотдаче же пропорциональна поверхности тела, т.
е. Аз, значит, и полезная мощность пропорциональна ЕР). Сила сопротивления воздуха прямо пропорциональна квадрату скорости в площади поперечного сечения; аатрачиваемая ва ее преодолевве мовнгость пропорциональна поатому озЕРс. Итак, оз1Р йз, следовательно, и — Ж И дейстнительно, скорость бега по ровному месту у животных не мельче зайца и не крупнее лошади практически не зависит от раамер особи. Для бега в гоаоу необходвма мощность жяи ~Ра", поскольау развиваемая мощность й, находим и — г, г.
И действительно, собак легко взбегает на холм, а лошадь замедляет шаг. 3 а д ача. з). Иав зависит от размеров неватного высота прыншаг азызы. Е,а, Р е ш е ш е н и е. Нужная для правика ва высоту Ь энергия пропорциональна Б%, а совершаемая силой мьппц г" работа пропорциональва ХХ. Сила Р" пропорциональна гР )так кзк прочность костей пропорциональна площадп вх сегения). Итак, Х Л ЕзЬ, т. е. высота прыжка ве зависит от размеров животного. И действительно, тушканчик и кенгуру прыгают примерно ва одинаковую высоту. *) См. сноску *з ва с. 50. ЧАСТЬ П ДАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА Лагранжева механика описывает движение механической сис.темы при помощи конфигурационного пространства.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
