В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Полный дифференциал функции Гамильтона йН = — бр+ — йд+ — й дН дН дН да да дг к равен полному дифференциалу узд — Ь приуз = —, да дб дб йН =д бр — — йд — — йг. до дт Оба выражения для аН должны совпадать. Поэтому дН дН д/ дН дЕ д дв ' да да ' дг дг Принимая во внимание уравнение Лагранжа уз = д1/дд, получаем уравнения Гамильтона. Итак, если д (г) удовлетворяет уравнениям Лагранжа, то (/з (Х), д(Х)) удовлетворяет уравненинм Гамильтона. Обратное доказывается аналогичным образом.
Итак, системы Лаграняоа и Гамильтона эквивалентны, ч. т. д. 3 а и е ч а н н е. Доказанная теорема относится ко всем вариационным задачам, а не только к лагранжевым уравнениям механики. Б. Функция Гамильтона и энергия. П р и м е р. Пусть уравнения все-таки механические, и функция Лагранжа имеет обычный вид 1, = Т вЂ” 1/, где кинетическая энергия Т вЂ” квадратичная форма относительно д: $ ч1 Т = — у аиЩ, аи = аи (д, г); Н = 1/(д). ч) В приложениях ота выпуклая функция будет обычно положительно определенной квадратичной формой. 5 15. уРАВнения гАмильтонА Т е о р е м а. 0ри сделанных предположениях функция Гамильт,на Н есть полнел энергия Н = Т + Е7. Доказательство основано па лемме о преобразовании Лежандра квадратичной формы.
Л е м ма. Значения квадратичной формы ~ (х) и ее преобразования Лежандра у()о) в соответствующих точках совпадают: ((ю) = у(Х). Пример. для формы 1 (х) = хх ето нгвестное свойство касательной В1ХХ Ре юг к параболе. )(лн формы 7(х) = — имеем р = мх н З(р) = — = =1( ). Д о к а з а т е л ь с т в о л е и м ы. По теореме Эйлера об однородных функцинх — ж=2).
дг дх Следовательно, д(р(х)) = рж — ~(х) = — ю — У = 2У(гс) — У(ю) =— дг = ~(х), ч. т. д. Дока аательство теоремы. Рассуждая, как в лемме, находим Н = у() — Г = 2Т вЂ” (Т вЂ” 6) = Т + Н, ч. т. д. П р и м е р. Для одновременного движения дН Ч= дд ВатомслучаеТ = — се, Н= С(д),р = у, Н = — + 0(ц),иуравиепия Гамильтона принимают вид дН в'=р р= Этот пример позволяет быстро вспомнить, в каком иг двух уравнений Гамилынона стоит знак минус. Из теоремы об эквивалентности уравнений движения гамильтоповой системе вьпекает ряд важных следствий. Например, закон сохранения энергии принимает простой вид1 С л е д с т в и е 1.
Справедливо равенство дН/1й' = дН(д1 и, в частности, для систем, функция Гамилыпона которых явно не зависит от времени (дН!д~ = 0), выполняется закон сохранения функции Гамильтона: Н (у (1), а (1)) = сопзс. Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим изменение Нвдольтраектории Н (р (е), д (г), г). Тогда в силу уравнений Гамильтона дН дН / дН ~ дН дН дН дН дг др ( да / дд др дг дг В. Циклические координаты.
Рассматривая центральное поле, Мы заметили, что введением полярных координат задача сводится к одномерной. Оказывается, всякая симметрии задачи, позвовяю- гл. г. ВАРИАционныи пРинцип чцая выбрать систему координат д так, чтобы от некоторых координат функция Гамильтона не зависела, позволяет найти некоторые первые интегралы и свести такую задачу к задаче с меньзпим числом координат. О и р е д е л е н и е. Коли координата д, не входит в функцию Гамильтона Н (ры р,..., р„; дм..., д„; с), так что дН/дуь = О, то такая координата называется циклической (термин происходит от частного случая — угловая координата ц в центральном поле). Очевидно, координата д, циклическая тогда и только тогда, когда она не входит в функцию Лагранжа (дХ/дд = О).
Иа гамильтонова вида уравнений двинсения вытекает С л е д с т в и е 2. Пуста у — циклическая координата. Тогда р — первый интеграл. Нри япом изменение оппальных координат со временем такое все, как в системе с и — 1 негависимой координатой дь,..., це и с функцией Гамилыпона Н (Ры "~ Ря Чг~ з %и г~ с)э вависящей от параметра с = рм Доказательство.
Положим р' =(р„...,р„)г = (дт,..., у„). Тогда система Гамильтона примет вид Ы , дН д ИХ вЂ” Д ас др' ' дг х др, ' Ч дН е' р,=о. И до ° Вг Последнее уравнение показывает, что р, = сопе$. Поатому в систему уравнений для р', д' величина р, входит лишь как параметр в функции Гамильтона. После того как эта система 2п — 2 уравнений решена, уравнение для о, принимает вид д д —,д,=1ц~, где у(Г) = — Н(р„уь'(С),ц'(г),д), и легко интегрируется.
Почти все решенные в механике задачи решаются с помощью следствия 2. С л е д с т в и е 3. Автономная система с двумя степенями свободы (п=2), имеющая циклическую координату, интегрируема. Ибо в этом случае система для р', д' одномерная и немедленно интегрируется с помощью интеграла Н (р', д') =с. 16. Теорема Лиувилля Фазовый поток ггмкльтововых ураевепкй сохраняет фазовый объем. Отсюда вытекает, например, что устойчивость в гамкяьтоновой скстеме яе может быть асимптотической.
Рассмотрим для простоты случай, когда функция Гамильтона времени явно не содержит: Н = Н (р, а). 5 ВВ. ТЕОРЕМА ЛНУВИЛЛЯ А. Фазовый поток. О и р е д е л е н и е. 2п-мерное пространство с координатами р„..., р„; ом ..., д„называется фазозым пространстеом. П р и и е р. В случае и = 1 это — фазовая плоскость систе- дИ мых= — —, рассмотренной в $4. дх Так же, как в этом простейшем примере, правые части уравнений Гамильтона задают векторное поле: в каждой точке (уз, и) фазового пространства приложен 2п-мерный вектор ( — дН/дп, дН~ОЯ. Предположим, что каждое решение уравнений Гамильтона можно продолжить на всю ось времени*). О и р е д е л е н н е. Фазоеылз потокозв называется однопараметрическая группа преобразоваяий фазового пространства й': (тз (0), и (0)) -~- (тз (1), д (1)), где р (1), д (1) — решение системы уравнений Гамильтона (рис. 47).
3 а д а ч а. Доказать, что (а') — группа. Рис. ЗЗ. Соври и ис сове а Рис. ВЪ Фазовый иосси В. Теорема Лиувнлля. 1) Фазовый поток сохраняет объем: длл любой области В имеем (рис. 48) объем АР = объем 1з. Мы докажем несколько более общее предложение 2), также принадлежащее Лиувнллю. Пусть дана система обыкновенных дифференциальных уравнений х = у'(х), х = (х„..., х„), решения которой продолжаются на всю ось времени. Пусть а' — соответствующая группа преобразований: Р' (Х) = Х + у (Х) 1 + О (зв) (1 -в О).
(1) Пусть О (0) — область в пространстве (х) и и (0) — ее объем;- е (Е) = объем 1) (1), 1) (Е) = дЪ (0). 2) Если йЬ' |' = О, то й' сохраняет объем: Р(г) = и(О). *) Например, двя этого достаточно, чтобы множества уровни функции И были компвктим. 66 Гл. х ВАРИАционныи пгиныип В. Доказательство. Л е м м а г. Справедливо соотношение — Опт ~'ах (Нх = ах ... Ах„). вас Д о к а з а тел ь от в о.
При любом г по определению якобиана в(г) = ~ бе$ г 1сЬ. в<о) Вычисляя ду'х/дх по формуле (1), находим при г — ~- О: — = Е+ — с+0(Р). огнях д1 дх дх. Воспользуемся теперь известным алгебраическим фактом. Л е м и а 2. Длл любой матрицы А = ~ аы ~~ спроеедлиео со- отношение йеС ~ Е + Аг ~ = $ + 1 гг А + О (Р), г -э О, о едеьг А = ~ аи — след матрицы А (сумма диагональных длемен1=1 тое).
(Доказательство леммы 2 получается непосредственным рас- крытием определителя: получается 1, и, слагаемых с г, остальные с ге, га и т.д.). Итак, бег (+гм — +Ор). дГ Ч ~ 'М. Но Фг — = р — ' = огт~. Поэтому д — 7, д, 4 1 в(г) = ) (1+ гоьгу + 0(Р)) Нх, в~ю что и доказывает лемму 1. Доказательство теоремы 2). Так как 1=гани- чем не хунте г = О, лемму г можно записать в виде — оьгу' Йх. вид до Иеслибгг~=О, тон д —— О,ч.т.д.
В частности, для системы Гамильтона имеем а г = —,' ~ — — '," )+ —,' ~ — „'") — = О. $»6. теОРемА лиувилля Теорема Лиувилля имеет многочисленные приложения. 3 а д а ч а. Доказать, что в гамяльтояовоп системе певогысжаы асвыптотячесяв устойчивое положение равновесия и асюшготически устойчивый предельный цикл в фаиовоы пространстве. Особенно важные приложения теорема Лнувнлля имеет в ста тистической механике. Теорема Лнувнлля позволяет применять к исследованию механических систем методы так называемой эргодической теории и).
Приведу лишь простейший пример. Г. Теорема Пуанкаре о возвращении. Пусть д — сохраняющее объем непрерывное вгаимно одногначное отобралсение, переводящее огра»шченную область Р евклидова простаранства в себя: аР = Р. и Тогда в любой окрестности П любой точки области Р найдется точка х Е= У, лото- е~ рая вогеращается в область У, т. е. а х ~ П при некотором и ) О.
Эта теорема применима, папрнмер, к фазо- хг вому потоку а» двумерной системы с расту- х, щим на бесконечности потенциалом У (х„гь); в этом случае инвариантная ограниченная область в фазовом пространстве дается условием (рис. 49) Р=(ху,»): Т+П<Н). Рис. »г. Кек Судет двигаться шарам и несимметричной чешке, кем«ее«тик; однакс теорема Пуанкаре яредскеемиееч и««- вращение е окрестность иск«де«ге яе- яешекия Теорему Пуанкаре можно усилить, доказав, что почти всякая двежущаяся точка многократно воэврагцается к своему исходному положению.
Это — один иэ немногих общих выводов о характере движения. Детали движения никому не известны уже в случае Е5г вх ' Несколько парадоксальным выводом из теорем Пуанкаре и Лнувилля является следующее предсказание: если открыть перегородку, разделяющую камеру с газом и камеру с вакуумом, то через некоторое время молекулы газа почти наверное снова соберутся в первой камере (рнс. 50). «) См., яипрвмер, книгу: Х а л м О ш П. Лекции по ергодичесяой те Рвп.— М,: ИЛ, (959. Теорема Лиувилля 1) доказана. 3 ад ача. Распростриввть теорему Ляуввлля не случай неавтономных свстеы (Н = Н(р, 4», ») влп у = у (ю, »)). 3 а д а ч а. Докаяште формулу лпувю»ля и' = и' е»»гле» для определители Вропсяого линейной свстеыы я» = А (») х.
ГЛ. 9. ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП Разгадка парадокса в том, что «некоторое время» больше врг мени суп(ествовавия Солнечной системы. Доказательство теоремы Пуанкаре. Рассмотрим образы окрестности Ю (рис. 51)9 О', уУ, де((, ..., у"7У,... Все они имеют одинаковый положительный объем. Если бы они Р с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
