В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Найти угол Ф для орбиты, блиэкой к круговой радиуса г. Ук а э ание. См. пункт Г ниже. Рассмотрим теперь случай г „„= сю. Если 11ш У (г) = = 1(ш $' (г) = У ( оо, то воэможен уход в бесконечность. Если начальная энергия Е больше У, то точка уходет на бесконечность с конечной скоростью г = у'2 (Š— У ). Заметим, что если у (г) стремется к своему пределу медленнее, чем г и, то эффективный потенциал Е на бесконечности будет притягивающим (эдесь предполагается, что потенциал У на бесконечности притягивающий).
Если ) У (г) ~ при г — «О не растет быстрее Мт/(2га), то гнал ) О и орбита не подходит к центру. Если же У (г) + Мт((2гт) -е- — оо при г-е. О, то воэможно «падение в центр поляк Попасть в центр поля можно даже эа конечное время (например, в поле У (г)= = — 1/ул). 38 ГЛ. Э. ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ 3 а д а ч а. Исследовать вид орбиты в случае, когда полива энергия равиа эиачеивю эффектввиой энергии у в точке локальиого максимуме. Г. Центральные поаи, в которых все ограниченные орбиты замкнуты. Иэ следуюгцей цепочки эадач вытекает, что все ограниченные орбиты в центральном поле эамкиуты только в двух случаях: 0 = аг', а > 0 и 0 = — Ыг, гв ~ О.
3 а д а ч а 1. Докажите, что угол Ф мекду перицеитром и акоцеитром равен полуперводу колебаний в одномерной системе с потеициальиой эиер- I М1 эв гией И' (х) = П ~ — ) + — . 2 У к а э акис. Подстановка э = М/г дает вт»х е)э 1 е(е — е) "окс 3 а д а ч а 2. Наити угол Ф для орбиты, Оливкой к круговое радиуса г. О . Ф=Ф„= г — 1 Згг,+ гг„. гэ Р» (г) 3 а д а ч е 2. При каких П величина Ф„ие аавпсит от радиуса г? Ответ. П (г) = ог" (а )~ — 2, а+ 0) и (Г (г) = Ь 1од г.
При атом Фа = я / 1 а+ 2 (логарифмический случай соответствует а = 0). Например, прп а = 2 имеем Ф = и?2, а при а = — 1 имеем Ф . нр ев 3 а дача 4. Пусть О(г) оо при г оо. Найти 1пп Ф (Е, М). Я с» Ответ. Ы2. У к а э а и и е. Подставовка т = — ул приводит Ф к виду йу ув 1 г М Ф= +, г~ж' (э=вол ' — 2,э 1 У.сштх ) При Е оо имеем .тт — оо, ут1о О, и второе слагаемое в 1У» мотив откинуть. Задача 5. Пусть О(г)= — йг, 0<3<2. Найти Фе= 11шФ. ь. — е г ов к Ответ. Ф» = )1ле — Заыетии, что Фв ке эависит е от М. 3 а дача б. Найти все цеитральиые поля, в которых ограиичеииые орбиты существуют и все эамккуты.
Ответ. П = агэ или о' = — Мг. Р е ш е и и е. Если все ограиичеввые орбиты аамкиутм, то, в частиости, Ф„р — — 2я — „=сопзк Согласно аадаче 3, (Г = аР (ал — 2), либо О = = Ь )п г (а= О). В обоих случаях Ф, = и/(/а+ 2. Если и> О, то согласио эадаче 4, 1!ш Ф (Е, М) = к/2. Итак, Ф„= п72, а = 2. Если а < О, ир 1е. исслвдовлннв движвния в цвнтглльном пола 39 согласно ввдвче б, 1пв «Р (Е, М) = и/(2+ и). Итак, и/(2+ ы) = и -е = и/1/2+ и, и = — 1. В слУчее и = О находим «Рвв = и/1/2, что несснвыеримс с 2п.
Итак, все ограниченные орбиты могут быть ввмкнуты только в полах (/ =- агт или (/ = — а/г. В поле (/ = а«в, а ) О, все орбиты еемквуты (втс аллж«сы с центром в 0: см. пример 1 1 б). В псле // = — й/г все ограниченные орбиты также замкнуты и также вллшпичны, кек мы сейчас докажем. Д. Кеплерова задача. Речь идет о движении в центральном /« поле с потенциаломЕ7 =- — Йlг, и, следовательно, )/(г) = — — + + —, (рис. 34). Ме 11о общей формуле М/гв Й 1/ 2 (Š— У (г)) Интегрируя, получаем «р = агссое ~// й 2Е +— Мв К этому выражению следовало бы прибавить произвольную константу. Мы считаем ее равной нулю, что эквивалентно выбору Рис. ВВ.
Кеалеаев «плеве Рве. В«. Э4фе«тиввна потев- лвел «евлеесвса ве«мчв начала отсчета угла «р от перицентра. Введем следующие обозначения № . ° ~«2ЕМ« — =р, 1/ 1+ — е. йт — — 1 Р Теперь получаем «р = агссое, т. е, Р тттю ' Это так называемое (банальное уравнение конического сечении. Движение ограничено (рис. 35) при Е (О. Тогда е(1, т. е. бо гл. 2. исследОВАние уРАВнений дВижения коническое сечение — зллипс. Величина р называется паралытпром эллипса, а е — эксцентриситпетом. Первый закон Кеплера, открытый им экспериментально из наблюдений за движением Марса, состоит в том, что планеты описывают эллипсы, в фокусах которых — Солнце.
Если принять, что планеты движутся в центральном поле тяготения, то из первого авиона Кеплера вытекает закон тяготения Ньютона: П = — Ьlг (см. пункт Г выше). Параметр и зксцентриситет связаны с полуосями соотношениями 2а — — + — —,, т. е. а= —,, р 2р р 1 — е 1+е 1 — ее ' ' 1 — ее е = — =, где с = ае — расстояние от центра до фокуса е 1/ ае — ее а а 1см. рис. 35).
3 ам е ч а ни е. Эллипс с малым эксцеетриситетом очень похож на окружность*). Если расстояние фокуса от центра— первого порядка малости, то различие полуосей — второго: ее г Ь = а у'1 — е* а~1 — — ) . Например, вэллипсесбольшойполуосью 10 см и зксцентриситетом 0,1 разность полуосей составляет 0,5 мм, а расстояние между фокусом и центром — 1 см.
Эксцентриситеты орбит планет очень малы. Поэтому Кеплер сначала сформулировал свой 1 закон так: планеты движутся вокруг Солнца по окружностям, но Солнце находится не в центре. П закон Кеплера: секториальная скорость постоянна — справедлив в любом центральном поле. П1 закон Кеплера: время обращения по зллиптической орбите зависит только от величины большой оси. Квадраты периодов обращения двух планет по равным эллиптическим орбитам относятся как кубы их больших полуосей **). Доказательство.
Обозначим через Т период обращения, через 8 — площадь, заметенную радиусом-вектором за время Т. 28 = МТ, так как М/2 — секториальная скорость. Но плогцадь 2яаЬ МЧЕ эллипса Я = яаЬ, откуда Т = †. И так как а = М 2 ~ Е ~ — йе — ~~из а =, ~, Ь вЂ” —... —, то 2!Е! ~ 1 — l й ',Г2тй~ " рЗ!К~ й Т = 2я —; но 2 ~ Е ~ = —, итак Т = 2паа1гйчыг. й й 1)~ 2ТЕЪе а е) Капиате каплю чая недалеко от центра стакана. Волны соберутся в симметричной точке.
Причина а том, что, согласно фокальному определению аллнпса, волны, аыпюдшие на одного фокуса эллипса, собнраются в другом. ° е) Под планетами понимаются адесь точки, находящиеся а центральном поле. 1 а. исслвдованив двнжнния в пвнтральном полн 41 Заметим, что полная энергия Е зависит, таким обравом, только от большой полуоси орбиты а, и одинакова для всего семейства эллиптических орбит, от окружности радиуса а до отрезка длины 2а. 3 а д а ч а. При запуске спутника нз круговую орбиту на расстоянии 300 км от Земли направление скорости отклонилось от расчетного на 1 в сто ону к Земле.
Как иамепвтся перигей? 8 твет. Высота перигея уменьшатся примерно на 110 км. У к а в а н и е, Отличие орбиты ст окружности— второго порядка малости, и им можно пренебречь, Радиус выест расчетное аначевие, так как начальная энергия имеет расчетное значение.
Следовательно, орбита получается из расчетной поворотом на угол 1' (рис. 36). рвс. вь орбита, 3 а д а ч а. Как изменится высота перигея, если бак»как к квгп»- вса набранная скорость будет на 1 м(с меньше расчетной? 3 а д а ч а. Первой космической скоростью называется скорость движения на круговой орбите, радиус которой близок к радиусу Земли.
Найдвте величину первой космической скорости ид и докажите, что ив = ?/2 и (ср. 33, Б). Ответ. 8,1 км»'с. 3 а д а ч а в). Во время выхода в открьпый космос космонавт Л. Леонов бросил в сторону Земли заглушку от киноаппарата. Исследовать движение заглушки относительно космического корабля, считая скорость броска равной 10 м/с. О»веет. Заглушка будет двигаться относительно космонавта приблизительно по зллипсу с большой осью около 32 им в малой осью около 16 км. Центр эллипса расположен в 16 км впереди космонавта по орбите, а перкод обращения по эллипсу равен периоду движения по орбите.
У к а з а н в е. Примем за единицу длины радиус круговой орбиты космического корабля, а единицу времени выберем так, чтобы период обращения по атой орбите был ул. Мы должны научить решения ураввения Ньютона 1» = — г/»з, близкве к круговому решению гв = 1, »рв = ь Ищем зги решения в виде г = гв+ гм 'р = тв+ <р», ге~ 1» 'рг((1. По теореме о дифференцируемости решения по начальным условиям, 4»ункцин г» (в) в»р, (Г) с точностью до малых выше первого порядка по начальному отклонению удовлетворяют системе лвнейиых дифференциальных уравнений (уравнений в вариациях). Подставляя выражения двя г и»р в уравнение Ньютона, получаем после несложных вычислений уравнения в вариациях в виде 'гг = Зг»+ 2е(»», ф» — — — 2г,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
