В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Опыт покаэывает, что массы всех "тел положительны. Проиэведение массы тела на ускорение т2 не зависит от тела, а является характеристикой растяжения пружины. Эта величина нааывается силой, действующей на тело со стороны пружины. За единицу сил»1 принимается «ньютон». Например, на 1 л воды, подвешенный на пружине на поверхности Земли, пружина действуег с силой в 9,8 Н (= 1 кгс). Г. Пример 4.
Потенциальная система. Пусть Е»" = Е» Х Х... х Ее — конфигурационное пространство системы и точек в евклидовом трехмерном пространстве Е». Пусть У: Е'"-~- -»  — дифференцируемая функция, и пусть т„..., т — положительные числа. О п р еде ление. Двизсение и точек масс т«,..., т„ в потенциальном поле с потенциальной энереией с' задается системой диунреренциальнмх уравнений до' (4) дх,- ' Уравнения движения в примерах 1 — 3 имеют как раэ такой ввд. В таком же виде записываются уравнения движения большого числа многих других механических систем.
Например„небесно-механической задачей трех тел наэывается задача (4), в которой в»»м« м«м« сг ) х« — х»( (х« — х«( ))~ — х«1 Н виду (4) могут быть приведены некоторые дифференциальные уравнения совсем другого происхождения, например уравнения .электрических колебаний. В следующей главе мы будем главным образом эаниматься .исследованием системы дифференциальных уравнений (4).
ГЛАВА 2 ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ В большинстве случаев (например, в вадаче трех тел) не удается ни решить систему дифференциальных уравнений движения, ни достаточно полно исследовать поведение решений. В этой главе рассматривается несколько простых, но важных задач, в которых уравнения Ньютона решаются. $ 4.
Системы е одной етепеиью свободы В этом параграфе изучается фазовая плоскость дифференциального уравнения (1). Для качественного исследования такого уравнения достаточно одного взпшда на график потенциальной энергии. Кроме того, уравнение (1) иатегрируется в квадратурах. А. Определения. Сисптеиой с одной степенью свободы мы будем называть систему, описываемую одним дифференциальным уравнением й = У(х), хе=-К. Кинетической энергией называется квадратичная форма Т = — х'. 1 2 Потенциальной энергией называется функция х 0(х) = — 1 Уев. Знак в этой формуле выбран так, чтобы потенциальная энергия камня была тем больше, чем выше он находится.
Заметим, что потенциальная энергия П определяет у. Поэтому для задания системы (1) достаточно указать потенциальную энергию. Прибавление постоянной к потенциальной энергии не меняет уравнении движения (1). Полной энергией называется сумма Е=Т+П. Таким образом, полная энергия — это функция Е (х, х). Б. Теорема (закон сохранения энергии).
Полная энергия дгигхрщейся пмяиси ири движении (1) сохраняется: Е (х (1), Х (1)) нэ зависит от й 22 гл. 2.исслвдовлпие углвнении дВижения До к а э а т е л ь с т в о. —,(Т+У) =22+ — т=х(У вЂ” У(х)) =О, ч. т. д. д НП В. Фаэовая плоскость. Уравнение ($) эквивалентно системе двух уравнений х =у, у =Т(х). (2) Рассмотрим плоскость с координатами х, у.
Зта плоскость наэывается фазовой плоскостною уравнения (1). Точки фаэовой плоскости называются фазовыми лиа«камы. Правая часть системы (2) определяет на фаэовой плоскости векторное поле. Зто поле называется векторным колем фазовой скорости. Решение системы (2) — это движение фаэовой точки по фаэовой плоскости «р: К-ьКа, при котором скорость движущейся точки в каждый момент времени равна вектору фаэовой скорости в том месте, где фаэовая точка в данный момент времени находится *). Образ отображения «р называется фазсвой кривой. Таким образом, фаэовая кривая задается параметрическими уравнениями х= «р(«), у=ф(«).
3 а д а ч а. Докажите, что через каждую фааовую точку нроходит одна и только одна фааоаая кривая. У к а а а н и е. См. учебники по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Заметим, что фаэовая кривая может состоять всего иэ одной точки. Такая точка называется колозсзниси равновесия. Вектор фаэовой скорости в положении равновесия у равен нулю. Закон сохранения энергии позволяет легко находить фаэовые кривые. Действительно, на каждой фаэовой кривой эначение полной энергии постоянно. Поэтому х каждая фаэовая кривая целиком принадлежит одному множеству уровня энергии Е (х, у) = Ь.
Г. Примеры. П р и м е р К Основное урааневие теории колебаний Рео. Е. Э«а«вал плоскость траве«аая Е = — а В этом случае (рис. 9) имеем: з«аа З«аа Т= — У= — Е= — +— 2'2'22 «) Здесь для простоты лредполатаетоя, что решение е определено на всей оси времени К. «а. систвмы с однои ствпкнью своводы Ииожестза уровня энергии — концентрические окружности и начало координат. Вектор фазозой скорости з фазоэой точке (х, у) имеет компоненты (у, — з). Ои перпендикулярен радиусу-вектору и разек ему по величине. Поэтому дзиженяе фазозой точки по фаэозой плоскости есть равномерное еражение вокРУг О: х = ге соз (фе — Г), У = го аш (фе — Г). Итак, каждое множество уроеня энергии является фазовой кривои.
П р и м е р 2. Пусть потенциальная энергия задана своим графиком (рис. 10). Нарисуем множества уровня энергии — + У (х) = Е. У' При этом полезно иметь в виду следующие обстоятельства. 1. Положения равновесия системы (2) лежат на оси х фазовой плоскости. Точка х = $, у = О является положением равновесии, если $ — критическая точка потенциальной энергии, т. е.
если Е г(7У! Ех ( „= = О. 2. Каждое множество уровня— азадкая кривая в окрестности каждой своей точки, не являющейся положением равновесия (это следует иа теоремы о неявной функции). В частности, если число Š— не критическое значение потенциальной энер- х с гии (т. е. не равно значению потен- Е, циальной энергии в одной из крити- езг ч ческих точек), то множество уровня, Ец где энергия равна Е,— гладкая кри- 5 и вая. При исследовании линий уровня энергии следует обращать внимание на критические значения,(Е изначе- гис.
то. п тззлзз ая элерт ния Е, близкие к критическим. При этом удобно представлять себе шарик, катающийся в потенци альной ямв У. Например, рассуждение «кинетическая энергии неотрицательна, Значит, потенциальная не больше полной. Чем потенциальная энергия меныпе, тем скорость большеэ принимает на этом языке вид: «шарик не может выскочить из потенциальной ямы, поднявшись выше уровня, определяемого его начальной энергией. Скатываясь в яму, шарик набирает скоростьэ. Далев, мы сразу замечаем, что точки локального максимума потенциальной энергии — неустойчивые, а точки минимума — устойчивые положения равновесия.
3 а д а ч а. Докажите это. 3 а д а ч а. Из скольких фазовых кривых состоит сепараериса (восьмерка) — кривая, соответствуюгцая уровню Езг Отсею. Из трех. 3 а д а ч а. Определить время дзюкевия по сепаратрисе. Отвею. Иэ теорема единственности вытекает, что это время бесконечно. гл. г. иослпдовллин урлпннниа дпижнлия 3 а д а ч а. Докажите, что время движения от х» до х» (в одну сторону х$ 4)х н "г'"2(.Š— У (х)) 3 а д а ч а.
Нарисовать фавовые кривые, акая график потенциальной энергии (рнс. 11). Отсею — рнс. 12. Рнс. 11. Потенцннньиан энергия л) Рнс. тг. Фа»оные конные 3 а д а ч а. Нарисовать фааовые кривые для »уравнения плоского мате»штического маятникам х = — вш х. 3 а д а ч а. Нарисовать фазовые кривые для «уравнения маятника, ось которого вращается»: й = — нш х+ М. 3 а м е ч а н и е. В этих двух еадачах х означает угол И отклоневня маятника.
Фоновые точки, координаты которых отличаются на 2я, соответствуют одинаковому положению маатняка. Поатому кроме фановой плоскости естественно рассматривать фазовый цилиндр (х (шо») 2я), р). х 3 а д а ч а. Найти касательные к ветвям линии крн- У тического уровня, соответствующего максимуму потенциальной ввергни, Е = У (е) (рис.
13). Отсею. у =- ~ У вЂ” У» (е) (х — ь). 3 а д а ч а. Пуоп 8 (Е) — площадь, еаключенная внутри аамкнутой феновой пряной, соответствующей уровню анергяк Е. Докаяп»те, что период движения по атой Р тг Лю т нряной равен нрвтнт»оного бб гроння.' »нергнн у= —. оЕ ' 3 а д а ч а. Пусть Š— потенциальная енергня в точке минимума $- Найти нериад ланях колебаний в окрестности точки г„Т» = Иш Т(Е) н з» О~»»»т. 2Ы~/ С» (в).
4 «. систкмы с однон стенанью своводы 25 3 а д э ч а. Рассмотрим периодическое двюкение по замкнутой фаэовой кривой, соответствующей уровню энергии Е. Устойчиво ли оно по Ляпуновур О»п«ет. Нет э). Д. Фазовый поток. Пусть М вЂ” точка фазовой плоскости. Рассмотрим решение системы (2), начальные условия которого при ~ = О изображаются точкой М. Предположим, что любое решение системы продолжается у» на всю ось времени. Значение нашего решения при некотором значении 1 зависит от М. Мы обозначим полученную фазовую точку (рис. »4) через М(ю) = у'М. Рзс.
14. »Эазовыэ поток Таким образом, мы определили отображение фазовой плоскости на себя у'. К' -э- К'. По известным теоремам теории обыкновенных дифференциальных уравнений отображение у' является диффеоморфизмом (взаимно однозначным и взаимно дифференцируемым отображением). Диффеоморфизмы у', » б= К, образуют группу: у» = у' и у'. Далее, отображение уе тождественное (усМ = = М), а отображение у ' обратно у'. Отображение у: К х Кз-ь -ь Кз, у (г, М) = у'М, дифференцируемо. Все зги свойства вместе выражают короче, говоря, что преобрааования у' обраауют одно- параметрическую группу диффеоморфилмое фазовой плоскости. Эту группу называют также у»алоеььм лоп»оком, задавным системой (2) (или уравнением (1)). -.ь П р и м е р. Фазовый л х поток, заданный уравнением й = — х, есть группа у' поворотов фазовой л) о» плоскости на угол 4 вок- Рвс.
як деаставе ее«свого потока ка круг Руг начала координат. 3 а д а ч а. Покажите, что система с потенциальной аиергией О = — з« никакого фазового потока не определяет. 3 а д а ч а. докажите, что если потенциальная энергия положительна, то фазовый поток существует. У к а а а н и е, Воспользуйтесь законом сохранения энергии для доказательства неограниченной продолжаемостн решений. 3 а д а ч а. Нарисовать образ круга зз + (у — 1)з ( 1/4 под действием преобразования Е» фазового потока уравнения: а) «перевернутый маятник» Е = а, Ь) «нелинейный маятник» и = — эй» в. Ок»«еж — рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
