В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Я надеюсь, что настошцаи книга позволит овладеть зтими достижениами не только математикам, но и механикам, физикам и всем другим потребителкм теории динамических систем, симплектической геометрии и вариационного исчисления. В. ХХ. АРнольд Ноябрь 1988 г. ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ В классической механике используются весьма раэнообраэные математические методы и понятия: дифференциальные уравнения и фаэовые потоки, гладкие отображения и многообразия, группы и алгебры Ли, симплектическая геометрия и эргодическая теория. Многие современные математические теории воаиикли иэ проблем механики и лишь впоследствии приняли тот аксиоматическиабстрактный вид, который так затрудняет их изучение. Математический аппарат классической механики строится в настоящей книге с самого начала, так что у читателя не предполагается предварительных энаний, выходящих эа рамки стандартных курсов анализа (производная, интеграл, дифференциальные уравнения), геометрии (линейное пространство, векторы) и линейной алгебры (линейные операторы, квадратичные формы).
С помощью этого аппарата раэбираются все основные вопросы динамики системы, включая теорию колебаний, теорию движения твердого тела и гамильтонов формализм. Автор стремился всюду выявить геометрическую, качественную сторону явлений. В этом отношении книга ближе к курсам теоретической механики для физиков-теоретиков, чем к традиционным курсам теоретической механики, читаемым математикам.
Значительная часть книги посвящена вариационным принципам и аналитической динамике. Характериэуя аналитическую динамику в своих «Лекциях о развитии математики в Х1Х столетии», Ф. Клейн писал, что «фиэик для своик эадач может и»влечь иэ этих теорий лишь очень немного, а инженер — ничего». Развитие науки в последующие годы решительно опровергло это замечание.
Гамильтонов формализм лег в основу квантовой механики и является в настоящее время одним иэ наиболее часто употребляемых орудий в математическом арсенале физики. После того как было осоэнано эначение симплектической структуры и принципа Гюйгенса для всевоэможпых задач оптимизации, уравнения Гамильтона стали постоянно использоваться в инженерных расчетах в этой области. С другой стороны, современное раэвитие небесной механики, свяэанное с потребностями космических исследований, привело к новому воэроя<дению интереса к методам и эадачам аналитической динамики. Связи классической механики с другими отделами математики и фиэики многочисленны и раэнообраэны.
«Добавления» в конце Иэ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПВРВОМР ИЗДАНИЮ книги посвящены некоторым из этих связей. В качестве приложений аппарата классической механики здесь рассматриваются основы римановой геометрии, динамика идеальной жидкости. колмогоровская теория возмущений условно-периодических движений, коротковолновые асимптотики для уравнений математической физики и классификация каустик в геометрической оптике. Эти добавления рассчитаны на любознательного читателя и не входят в программу обязательного общего курса. Некоторые иэ них могут составить основу специальных курсов (например, по асимптотическпм методам теории нелинейных колебаний или по квазиклассическим асимптотикам).
В добавления внесен также ряд сведений справочного характера (например, список нормальных форм квадратичных гамильтонианов). В то время как в основных главах книги автор старался проводить все доказательства как можно подробнее, избегая ссылок на другие источники, добавления состоят в основном из сводок результатов, доказательства же заменены ссылками на литературу. Основу книги составил полуторагодовой обязательный курс классической механики, чнтавшийся автором студентам-математикам 3-го и 4-го года обучения на ыеханико-математическом факультете МГУ в 1966 — 1968 гг.
В. Арнольд ЧАСТЬ 1 НЬЮтОНОВЛ МЕХЛНИКА Ньютонова механика изучает движение системы материальных точек в трехмерном евклидовом пространстве. В евклидовом пространстве действует шестимерная группа движений пространства. Основные понятия и теоремы ньютоновой механики (даже если они и формулируются в терминах декартовых координат) инвариантны относительно втой группы е). Ньютонова потенциальная механическая система задается массами точек и потенциальной энергией. Движениям пространства, оставляющим потенциальную энергию неизменной, соответствуют ваконы сохранения.
Уравнения Ньютона поэволяют исследовать до конца ряд важных эадач механики, например эадачу о движении в центральном иоле. ГЛАВА1 ЭКСПЕРИя1ЕНТАЛЬНЫЕ ФАКТЫ В втой главе описаны основные экспериментальные факты, лежаппге в основе механики: принцип относительности Галилея и дифференциальное уравнение Ньютона. Здесь рассмотрены ограничения на уравнения движения, накладываемые принципом относительности, и приведены простейшие примеры.
ф 1. Принципы отаоеительноети и детермивировавноетя В этом параграфе вводится и обсуждается попятив ияердиалькой системы координат. Математически точная формулировка утверждений токо параграфа приведеяа в следующем параграфе. В основе классической механики лежит ряд экспериментальных фактов ее). Перечислим некоторые ив них. А. Пространство и время. Наше пространство трехмерно и евклвдово, а время — одномерно. «) и даже относительно более широкой группы галилеевых преобрааоваиий простраяства — времени.
ее) Все ати чэксперимевтальиые фактыа верны лишь приблюкеиио и более точными аксперимевтами опровергаются. Чтобы иабежать громовдких выражений, мы ве будем в дальнейшем етого оговаривать и будем говорить о наших математических моделях так, как если бы сии точно описывали фпаические явлекия. «е ГАлилееВА гРуппл и ЕРАВнения ньютонА аываемая скалярным проиаведением.
Скалярное проиаведение поавол яет определить расстояние р (х, у) = (1 х — у (! = 3Г(х — у, х — у) между точками соответствующего ауру)инноео пространства А". Аффинное пространство с введенным таким обраэом расстоянием наэынается евклидовым пространством и обоэначается Ь"'. Б.
Галилеева структура. Галилеева пространственно-временная структура включает следующие три элемента: 1) Мир — четырехмерное аффинное о) пространство А«. Точки А«называются мировыми точками или событиями. Параллельные переносы мира А«образуют линейное пространство В«. л 2) Время — линейное отображение й В« -+- В линейного пространства параллельных переносов миРа на веЩественнУю «ось вРемениь. ПРО- а А межутком времени от события а Е= А«до события Ь е= А«называется число ~ (Ь вЂ” а) (рис.
2)- Если с (Ь вЂ” а) = О, то события а и Ь нааываются Однвврелынными. Множество событий, одновременных друг с Рсо е н',"'~'«о 'Р' другом, обрааует трехмерное аффинное надпространство в А«. Оно наэывается проегпранетвом одновременных событий Ах Ядро отображения ~ составляют параллельные переносы А«, переводящие какое-нибудь (и тогда любое) событие в одновременное с ним. Это ядро является трехмерным линейным подпространством В«линейного пространства В«. Галилеева структура включает в себя еще один элемент.
3) Расстояние между одновременными событиями р(а,Ь)=йа — ЬЦ=)/(а — Ь,а — Ь), а,Ь~А', заданное скалярным произведением в пространстве Во. Это расстояние превращает каждое пространство одновременных событий в трехмерное евклидова пространство ен.
Пространство А«, снабженное галилеевой пространствевновременной структурой, называется галилеевым пространством. Можно говорить о двух событиях, ярон«ледяных одновременно в равных местах, однако утверждение «два разновременных события а, Ь «и А«происходили о одноч и нньч ноо месте тромчернозо нроотронотооо не имеет смысла, пока мы не выбраня систему ноордннат. Галилеевой еруппой нааывается группа всех преобразований галилеева пространства, сохраняющих его структуру. Элементы о) В древности мнр снабжаая не аффнаной, а линейной структурой (гео- Кентрнческея система + со«вор«яме мара).
ГЛ. Ь ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ФАКТЫ этой группы называются галилеевыми прсобравованиями. Таким образом, галилеевы преобразования являются аффинными преобразованиями А», сохраняющими интервалы времени н расстояния между одновременными событиями. П р и м е р. Рассмотрим прямое произведение е) В х К» оси Э на трехмерное линейное пространство Кг с фиксированной евклидовой структурой. Такое пространство имеет естественную галилееву структуру. Это пространство мы будем называть координатным яь»илегвым пространством. Приведем три примера галилеевых преобразований этого пространства. Во-первых, равномерное движение со скоростью и у, (э, х) = (г, сс + и), Уг е= В, ж ~= К'. Далее, сдвиг начала отсчета у, (э, ж) = ((+ г, ю + в), У(я К, ю ~ В'.
Наконец, поворот осей координат йа ((, ж) = (г, Ся), Уь е— : К, ю ~ й', где 6: К» -»- К' — ортогональное преобразование. 3 а д а ч а. Докажите, что каждое галилеево преобразование пространства К Х В» можно представить в виде произведения поворота, сдвига и равномврносо движения (у = д у .у ) и припиьв сдинсю»генным образом (так что размерность галилеевой группы равна 3+ 4 + 3 = хО). 3 ад ач а. Докажите, что все галилеевы пространства игомор(бны друг другу ее) и, в частности, иаомор(дни координатному пространству В Х К». Пусть М вЂ” множество. Взаимно одноаначное отображение <р»: М-~В Х В» называется галилеевой системой координат в множестве М. Система координат <р равномерно движется относительно системы координат ~р„если <р,-~р,~: К х й»-».
й х Х К* — галилеево преобразование. Галилеевы системы координат <р, и ~р» аадают в М одинаковую галилееву структуру. В. Дввжеяие, скорость, ускорение. Движением в йн называется дифференцируемое отображение ап 1 -~- йн интервала 1 вещественной оси в Кн. Вектором скорости в точке ге бп 1 называется проиэводпаа Ас ) (. ю(г»+Ь) — ю(»») л )»=», Ь» Ь *) Напомню, что прямее прон»веденне двух множеств А, В есть мвоже ство упорядоченных пар (а, Ь), где а т А, Ь»н В.
Прямое преп»веденве двух пространств (лвнейвых, аффийвых, евклвдевых) имеет структуру пространства того же тнпв. »») То есть существует в»авмне одне»начнее отебражевве одного на другое, сохраняющее галнлееву структуру. т к ГАлнлеввА ГРуппА н уРАВнения ньютонА 15 Вектором ускорения в точке т называется вторая производная х (ее) = уг" ~, Алие тт(ы будем считать, что встречающиеся нам функции непрерывно дифференцируемы нужное число раз. В дальнейшем, если не оговорено противное, под отображениями, функцними и т. п. понимаются дифференцируемые отображения, функции и т.д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
