В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Доказать, что все векторы цзвтраяьвого поля лежат ва лучах, проходящих через О, а величина вектора поля в точке заввсвт только от расстояния точки до цевтра поли. Полезно рассматривать также центральные поля, не определенные в точке О. П р и м е р. Ньютоновское поле .Р= — к — цептралыю, а )г~з поля задач пункта Б — пет. Т е о р е м а. Всякое центральное поле Р потенциально, а его потенциальная энергия зависит только от расппоянил до центра полл, У = У (г).
Д о к а э а т е л ь с т в о. Согласно предыдущей задаче, лл (з') = Ф (г) е„где з — радиус-вектор относительно О, г — его длина, е„— его орт. Тогда м, г (М~) ') (лл дЯ) ) Ф(г) с(г, з (мд а этот интеграл, очевидно, не зависит от пути. 3 а л а ч з. Вычислить потенциальную энергию ньютоновского поля. 3 а и е ч а н и е. Определения и теоремы этого параграфа непосредственно переносятся на евклидова пространство Е" любого числа измерений. й 7.
Кннетичесьвз11 момент В дальнейшем мы увидим, что впзарвавтвость уразвепвй механической задачи относительно какой-либо группы прзобразоззвяй всегда влечет за собой заков сохрзвзвпя. Центральное иоле ввзаризвтво относительно группы вращений. Соозвзтьтвувяцвй первый вазегрзл косят пазззкве квнетвческого момепта. А. Определение. Движение материальной точки (массы 1) в центральном пале на плоскости определяется уравнением Р = Ф(г)е„, где з. — радиус-вектор с началом в центре поля О, г — его длина, е„— егоорт.
Будем считать нашу плоскость вложенной в трехмерное ориентированное евклидова пространство. О п р е д е л е н и е. Моментам количества движения (или кинетическим ламентолз) материальной точки единичной массы *) В том чвсле в отражений. 8 т. кинитичкскин момянт ЗЗ относительно точки О называется векторное произведение М = [с', е'[. Вектор М перпендикулярен нашей плоскости и задается одним числом: М = Мгь, гДе и = [ем еа) — вектоР ноРмали, е и е ориентирующий плоскость репер (рис.
28). Н 3 а м е ч а н и е. Вообще, моментом вектора 82, еприложенного в точке га относительно точки О называют [г, и), например, в ее в школьном курсе статики рассматривался момент силы. ес Б. Закон сохранения кинетического мо- Рис. 28. Кивееиеесвиа мента. исиеВ'у Л е м м а. Пуппь и и Ь вЂ” два меняющихся со временем вектора в евклидовом ориентированном Ка. Тогда †, [и, Ь] = [а, Ь[ + [ег, Ь). Д о к а з а те л ь с т в о. Зто следует из определения производной. Т е о р е м а (закон сохранения кинетического момента).
При движении в центральном поле кинетпический момент М' относительно центра поля О не меняется со временем. Доказательство. По определению М = [т', У [. По лемме М=[г, Ь)+[~,Р). Из уравнения движения ввиду центральности поля видно, что векторы Р и т' коллинеарны. Итак, М = О, ч- т. д. В.
Закон Кеплера. Впервые закон сохранения кинетического момента был найден Кеплером из наблюдений за движением Марса. Кеплер формульровал этот закон в несколько ином виде. Р Введем на нашей плоскости поляр- гс ные координаты г, еу с полюсом в цент- ег ре поля О. Рассмотрим в точке г с координатами (е ) = г; «р два орта." е„направленный по радиусу-вектору, так 'что Рис. 28.
Раааовввае веато Ра Ево вааист е,„в,е с'=ге„, и еч — ему перпецдикулярный, направленный в сторону увеличения ~у. Разложим вектор скорости са по бааису е„, е, (рис. 29). Л е м м а. Справедливо соотношение е =ге„+гфе . 34 Гл. т, исследоВАние уравнений дВижения Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, векторы е„е,» вращаются с угловой скоростью ф, т. е. е, = фее, ее = — фе„. Дифференцируя равенство т = Рв„получаем р = ге, + ге, = ге„+ гфе,», ч. т. д. Следовательно, кинетический момент есть .И =(т, «1=(т, гег)+(э; гфвс1 =гф(э, е,»1 =г ф(е„е ).
Таким образом, сохраняется величина М = гтф. Эта величина имеет простой геометрический смысл. Кеплер наавал секториальнсй скоростью С скорость изменения плошади 3 (г), заметенной радиусом-вектором г9+йг) гЮ (рис. 30): Найденный Кеплером иа наблюдений движении планет закон гласит: В равные времена радиус-вектор заметает равные площади, так что секториаль- ая рвс.
эо. с р нал скорость носкпанна: — = сопя«. свор«ос сг Это — одна из формулировок закона сохранения кинетического момента. Ибо Л8 = 8(Ф+ Ы) — Я(8) = — гсфЛ2+ о(б2), 2' и, значит, секториальная скорость вг С= — = — г*ф = — М Вг 2 2 вдвое меньше кинетического момента нашей точки массы «и, следовательно, постоянна. П р и м е р. Спутники связи «Молния» имеют сильно вытянутые орбиты. По закону Кеплера большую часть времени такой спутник проводит в дальней части орбиты, где величина ф мала. й 8.
Исследование движения в центральном поле Запои сохранения кинетического момента по»вопиет свести задачу о движении в центральном поле к вадаче с одной степенью свободы. Благодаря этому движение в центральном поле можно исследовать полностью. $8. исследОВАннн дВижения В центРАльнОН НОле 35 А. Сведение к одномерной задаче. Рассмотрим движение точки (массы 1) в центральном поле иа плоскости: дд — — и= П(г). дг Естественно перейти к полярным координатам г, ф. По закону сохранения кинетического момента величина М = = ф (1) гт (8) постоянна (не зависит от 8). Т е о р е и а.
При движении материальной точки единичной масси в центральном паве ее расстояние от центра поля меняется так, как г в одномерной задаче с потенциальной энереией У(г) =П(г)+ —, М8 Д о к а з а т ел ь ство. Дифференцируя доказанное в т 7 соотношение г = ге, + гфее, находим т" =(г — гфя)е, + (2гф+ гф)е . Ввиду центральности поля дУ дд — = — е.
дг дг Поэтому уравнение движения в полярных координатах принимает вид дГ г — гф' — —, 2гф+ гф = О. Но по аакону сохранения кинетического момента где М вЂ” не зависящая от 8 постоянная, определяемая начальными условиями. Поэтому дд Ме - дг' Ме — д + г —, или г = — д, где г = б + —. 2гь Величина г' (г) называется эффективной потенциальной энерэией. 3 а м е ч а н и е. Полная энергия в полученной одномерной задаче Е = — +Р(г) Гь совпадает с полной энергией в исходной задаче гь 2 + ГЛ.
2. ИССЛЕДОВАНИЕ РРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ибо 2 2 + 2та 2 2 Б. Иатегрнрование уравнений движения. Полная энергия в полученной одномерной эадаче сохраняется. Следовательно, аависимость г от 8 определяется квадратурой 2 = у' 2 (Š— У (г)), ~ ИГ = ~ Ь/2 (Š— У (г)) Поскольку ф = М/га, то — = ., и уравнение орбиты Д р М)та )/2 (Š— )' (т)) в полярных координатах находится квадратурой: М)тт(Ь е(а = ((3(е — <('(( ' В.
Исследование орбит. Зафиксируем эначение постоянной момента М. Иэменение г со временем легко исследовать, нарисовав график эффективной потенциальной энергии У(г) (рис. ЗЦ. Пусть Š— эначение полной энергии. Вся орбита, соответствуннцая данным Е и М, лежит в области У (г) < Е. На границе этой области У = Е, т. е. г = О. При атом скорость движущейся точки, вообще говоря, айа нан г г неравна нулю, так как ч(~ О при МФ О. Неравенство:, У (г) ( Е ведает на плоско- гра) „сти одну или несколько кольцевых областей: таиной потенциальной аиертаи 0~( гшм ~( г~( гшах ~( оо ° Если Ос г ~п с' гш ~сот то движение огРаничено и пРоисходит внутри кольца между окружностями с Радиусами гш(п и гшах. Вид орбвты покаэан на рис.
32. Угол (Р меняется монотонно, а г колеблется между г м и г и периодически. Точки, где г = = гшм нааываются лериценвареьви, а где г = 㠄— апочентраии (если центр Земля — перигей и апогей, если Солнце — перигелвй и афелий, если Луна — периселений н апоселений). Каждый нэ лучей, ведущих иэ центра в апоцентр или в пери- центр, является осью симметрии орбиты. В общем случае орбита ке эамкнута: угол между последовательньгмя перицентром и апоцентром дается интегралом ошах Мйае)т ((т((( — ('(е( тшш Угол между двумя последовательными перицентр ами вдв ое больше, $8.
исследоВАние дВижения В центРАльном поле 37 Орбита эамкнута, если угол Ф соиэмерим с 2я, т. е. если Ф = 2я ~~, где т и и целые. Можно покаэать, что если угол Ф несоизмерим с 2я, то орбита наполняет кольцо всюду плотно (рис. 33). Если г„,~л =- г ел, т. е. Š— эначение аг в точке минимУма, то кольцо вырождается в окружность, которая и будет орбитой. Рие, 32. Орбита точка л центРальеои лоле Рае. 33.
Всюду ллотиан и коль- це орбита 3 а д а ч а. При каких а движение по круговой орбите в поле с потенциальной энергией П = г", — 2 ~ (а ( оо, устойчиво по Ляпунову? Ответ. Только при а = 2. При несколько больших менвмума 1г эначеннях Е кольцо г ~„ ( г ( г „ будет очень уэким, а орбита будет блиэка к окружности. В соответствующей одномерной эадаче г будет совершать малые колебания вблиэи точки минимума У. 3 а д а ч а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
