В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Решая зги уравнения при заданных начальных условиях (г, (О) = е?» (0) = = »р» (О) = О, г» (О) = — 1/800), получаем првведенвый выше ответ. Отброшенвйе малые второго порядка дают аффект пор»шка 1/800 от полученного (т. е. порядка десятков метров за один виток). Таким образом, через виток заглушка, ониска тридцатикилометровый зллипс за полтора часа, возвращается к космическому кораблю со стороны, противоположиои Земле, и проходит мимо на расстоянии нескольких десятков метров. ° ) Зта задача ваата из Увлекательной книги Вв В. Белецкого вОчеРки о двшкевии космических тел» (М.: Наука, 1972). 42 гл. и.
исследование уравнений дВижения Рааумеется, мы пренебреглв в атом расчете отличием орбиты от круговой, влиянием сил, отличных от силы тяготения, и т. п. Следующие еедачв дают другой вывод элливтичности орбит в поде тяготения — он основан на свособраеной двойственности между ваконами Гука и Ньютона в на функции Жуковского г + 1/г. 3 а д а ч а 1. Докавште, что эллипс Гука с центром в точке 0 плоскости комплексного переменного при возведении комплексных чисел в квадрат переходит в эллипс Ньютона (с фокусом в точке 0).
Р е ш е н и е. Если ( г ) = /! > 1, то г+ 1/г пробегает эллипс Гука с фокусамв +2. Повтому ь г = г' + !/гг+ 2 пробегает эллипс Ньютона. 3 а д а ч а 2. Докажите, что орбита движения точки в поле степени а кереходат при воаведении г в подходящую степень а в орбиту движения точки и = г" в поле степени А. где (а + 3) (А + 3) = 4, а = (а + 3)/2. В частности, при а = 1 (вакон Гука) получаем А = — 2 (яаков тяготения Ньютона), а. = 2.
Вместе с еадачей 1 это докаеывает аллинтичность орбит. Гиперболические в параболические орбиты можно получить так же. 3 а д а ч а 3. Докажите, что среди орбит движения в поле притяжения, пропорционального любой степени А расстояния до центра, имеются орбиты, получающиеся вв (не проходящих через 0) прямых на плоскости комплексного переменного при воеведевии комплексных чисел в степень гь. Р е ш е в и е. Нулевое поле имеет степень а при любом а, поэтому достаточно воспользоваться еадачей 2.
При А = — 2 потучаются параболические орбиты ю = (1 + !У)г. В общем случае получаются орбиты г = аес" (<р/а), ссотвьчствуюпше параболам— «нейтральные» орбиты поля степени А = 2/а — 3. При а= — 5 получается А = — 5 и а = — 1. Нейтральные орбитм— окружности, проходящие через нуль, в мы получаем теорему Ньютона: при движении е центральном поле, сила наторело ебритно пропорциональна пятой степени расстояния да центра, среди орбит имеются опружнсети, преходящие череа центр. Копформное преобравованяе и (г) перенодвт орбиты движения в поле с потенциалом (/ (г) =(Аю/бг(» в орбиты движения в поле с потенциалом У(ю) = — (дг/дю( г (см.
$45, Г). 2 9. Движение точки н трехмерном пространстве В этом параграфе определяется кинетический момент относительно оси и докааывается, что прн движении в осесимметричном поле ов сохраняется. А. Потенциальное поле. Рассмотрим движение в потенциальном поле р = — —, где Е/ = Е7 (з ), з' ~ Е . д(/ з Имеет место лакан сохранения внераии: — = О!где Е = — ть»+П(»)). АЕ 2 Б. Центральное поле. Закон сохранения момента кояичеспьва движения М = Ь, 4'). При движении в центральном ноле вектор лйГ не меняется: А Х О 5 э. движение точки В тРехмернОм пРОстРАнстВе 43 Всякое центральное поле потенциально (доказывается, как в двуэеериом случае), и — "" =[к,к[+[.,й[=О, так как У = — дО/дг, а вектор додэ' коллинеарен э ввиду центральности поля. С л е д с т в н е.
При движении в центральном тюле всякая орбита плоская, Доказательство. (М, г) = ([ э, й ], э ) = О, следовательно, к Щ [ М, а так как М = сопзэ, то вся орбита лежит в плоскости, перпендикулярной к М *). Итак, исследование орбит в центральном поле в пространстве сводится к плоской задаче, рааобранной в предыдущем параграфе. 3 а д а ч а. Исследовать дакжавпе в цевтраяьвом поле в и-мервом евклвяавом пространстве. В. Осесимметрнчное поле. О и р е д е л е н и е. Векторное поле в ~~ имеет осевую симметрию, если оно инвариантно относительно группы вращений пространства, оставляющих на месте каждую точку некоторой оси.
3 а д а ч а. Докажите, что если поле осескмметрвчпо я потевцпальво, то его яотавцкаяьвая акергпя ямеаэ ввд У = У (г, г), где г, ~р, а — цилккдрическяе коордкваты. 3 частяосэв, отсюда вытекает, по вектор воля лежит в паоскосэв, проходящей через ось г. Примером такого поля может служить поле тяготения, соаданное телом вращения. Пусть г — ориентированная ортом е, ось в трехмерном ориентированном евклидовом пространстве йч, Х' — вектор евклидова линейного пространства Кг, Π— точка на оси г, э г — О ~= Кг — радиус-вектор точки к ~ йе е, относительно О (рис.
37). р О яр е дел е ни е. Моментом Ма вектора ле, приложенного в точке э', относительно оси г называется проекция на зту ось момента вектора лг относительно какой-нибудь точки оси г: ~у Мг -— (е„[т, Г[). Рак Ээ. Момааэ аеаэара э' отио. Число М, не зависит от выбора точки О на осик. Действительно, рассмотрим точку О' на оси, тогда по свойству 'смегаанного проиаведения: М = (е„ ]э", й']) = (]е„ э"'], К) = (]е„ э.], .Р') = М,. 3 а м еч а ни е. М, зависит от выбора направления оси г: если изменить е, на — е„то Ма изменит знак. а) Случай эп = 0 оставляется читателю, ч4 ГЛ. 3.
ИССЛЖДОВАННЖ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ Т е о р ем а. При движении в лотвнЧиальном лоле с осевой симметрией вокруг оси г момент количества движения относительно оси х сохраняется. Д о к а э а т е л ь с т в о. М, = (е„(г, й)), М,= (ем(у,з'))+(в„[г, Р]) =О, так как р = Х', следовательно, г.
и р лежат в плоскости, проходящей через ось и, следовательно Ь', р! перпендикулярно в,.' 3 а м е ч а н н е. Доказательство сохраняет силу для вснкого силового поля, у которого вектор силы лз лежит в плоскости г не,. у И). Движение системы и точек В атом параграфе доказываются вакоиы сохрапеиия ввергни, импульса и иииесвчесиого момеита Пля систеьпа материальных точек в ач. А. Внутренние и виегание силы. Уравнениями Ньютона для движения системы и материальных точек с массамя т, и радиусами-векторами гг (-= Лз называются уравнения тгтг = хвг, г = х, 2,..., и. Вектор хвг называется силой, действующей на 3-ю точку. Силы Х'г определяются экспериментально. Наблюдения покавывают, что часто в системе иэ двух точек эти силы равны по величине, действуют вдоль прямой, соединяюсд ф щей точки, и противоположно направлены -мз-9/ (рис. 38).
Такие силы называются силами взаимо- в с. гв. силы ваазмо- двйствия. (Пример: силы всемирного тяготедеасчввя ния.) Если все силы, действующие на точки системы, являются силами вваимодействия, то система называется замкнутой. По онределенню, в аамкнутой системе сила, действующая на гхю точку, есть увг — ~ рц.
М ьвг Вектор Х'ы наэываетси силой, с которой у-я точка действует на $-ю. Так как силы Х'ы и Х'и противоположны (Р'ы — — — Х'н), то можно записать их в виде Х'ы — — ~,ге,н где~и = уп определяет величину силы, а еы — орт направления от гчй точки на у-ю. Если система не замкнута, то часто можно представить действующие на нее силы в виде л'а =Хрц+ в'Ь гл. э. исслвдовлнив тглвнвнии движвния ЗХ = [г,т/[. Кинепгическим моментом системы относительно точки О наэычается сумма кинетических моменгев точек системы: М = Яъ нтчг;[. Т е о р е и а. Скорость иаменения кинепического момента системы равна сумме моме~ипов внешних сил, действующих на точки системы.
Д о к а э а т е л ь с т в о. ь ь — [ри тр';)+ (~ [гч, т4рс). 4 1 с 1 Первое слагаемое равно нулю, а второе, согласно уравнениям Ньютона, равно Х [ги Гч[ = Х [ги ( Х .р';;+ Г~)] = Х [э и .р~1. Действительно, сумма моментов двух сил вэаимодействия равна нулю, ибо Х'ц = — Х'д, [э",, Х'ц[ + [гв Х'я) = [(л; — з ~), Х'и[ = О. Поэтому равна нулю сумма моментов всех сил вэаимодействня ~ [гч, ~ч~~ Ю~Д = О.
см ам ъ-~ [пи Х '[ Итак, В самом деле, (Ьи,)г = Е(т~з',), откуда (Ет,)й = Хт;г',. Мы можем теперь сформулировать теорему о количестве движения как теорему о движении центра инерции. Т е о р ем а. 4'ентр инерции системы движетсл так, как если бы все массы были сосредоточены в нем и все силы были приложены к нану. Доказательство. (~т;) э" =.Р, поэтому фтс) Р = оР \1 н С ч е д от в и е.
Если система аамкнута, то центр инерции ее движется равномерно и прямолинейно. В. Закон сохранения кинетического момента. О и р е д е л е н и е. Кинетический момент материальной пючки относительно пюиси О есть момент вектора импульса относительно точки О: 5 1г. НВИЖЕНИК СИСГНМЫ и ТОЧВК С л е д с т в и е 1. (Закон сохранения кинетического момента.) Если система замкнута, то И = сопзФ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
