В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 11
Текст из файла (страница 11)
с, Б. Простейпсие примеры. Н р я мер 1. Для свободной матврявльяой точка в бчс штс Ь=Т=— 2 св в декартовых координатах тс = ГС находиМ Е= 2 П»+ 4»+ д»). Здесь сбобщеяпыв скс~остя — ковпоявяты вектора скорости, обобсцввпяе импульсы рс = встс — компоненты вектора количества движения; урввар пеняя ссаграпжа ссвпадвсот с уравкеяяяня Ньютона — =О.Зкстрвиаля Ю являются пряяыыв линиями. И» прап»опта Гвмяльтсва следует, чюе ярямпс яясяюте* не шевьев кратчайшими (т.
в. »кстреиаляия давки 1''' ° с с, с'Е+ячеч). - ° чг. ~аСчсС.нЬм с, гл. 3. ВАэвлционнь«н пРинцип 3 е д е ч а. Докажите, ч«о этот экстремум есть иизвь«у«и. П р и не р 2. Рассмотрим движение в плескам центральном паве в полярных координатах д, = и, д, = «у. Из соотношения т' = е е„+ «уге находим кинетическую энергию Т =— = — (ге+ген и лагранжиан Ь (д, о) = Т (а„г)) — ХХ («Х), ХХ = ХХ (дД. дХ Обобщенные импульсы будут тг = д д«Х р = ттрн. р«=тГ, дХ, Первое уравнение Лагранжа р,= — принимает вид дд« дХ« тг = тгц' — —. дг Это уравнение мы уже получили в 5 8. дХ Так как д = «р не входит в Х, имеем — = О.
Поэтому второе дее уравнение Лагранжа будет р, = О, р = сопз$. Это — закон со- хранения кинетического момента, В общем случае, когда поле не центральное, ХХ = ХХ(г, «у), дХХ находим р = — —. д«з ' Н Это уравнение можно переписать в виде — (М,е,) = Д«, д« где Х«г = ([г, лг), е,), р' = — — . (Скорость изменения кинетичедьг дг * ского люмен«па сгпнасительне оси г равна моменту силы лг отно- сительна оси з.) Действительно, имеем дХг дХХ «[ХХ = — «[г + — «[«у = — (Р', «Хг) = — (Р', е,) «[и — г (Х', е ) «[«р, дг ди дХг поэтому — — — = г (лг, ее) = г ([е„Хг[, е,) = ([и, лг), е,). Разобранный пример подсказывает следующее обобщение за- кона сохранения кинетического ъ«омента. 0 п р е д е л е н и е.
Координата у«называется циклической, дб если она не входит в функцию Лагранжа: — = О. дч« Т е о р е м а. Обаб«ценный импульс, соатвегпствую«ций цикли- ческой каардинагпе, сахраняетст р« — — совзФ. Д о к а э а тел ь от в о. Согласно уравнению Лагранжа, дР«дХ вЂ” = — = О ч. т. д. $!а преоБРАЗОВАнне лежАндрА й 14. Преобразование Лежандра Преобразование Лежандра — вспомогательный математический прием, состоящий в переходе от функций на линейном пространстве к функциям на сопрюкенном пространстве.
Преобразование Лежандра сродни проективной двоиственности и тангенциальным координатам в алгебраической геометрии илн построению сопряженного банахова пространства в анзлнве. Оно часто встречается в физике (например, при определении термодинампческих величин). А. Определение.
Нусть у = / (х) — выпуклая функция, /" (х) ) О. Преобразованием Лежандра функции / называется новая функция я нового переменного р, которая строится следующим образом (рис. 43). Нарисуем на плоскости х, р график функции /. Пусть дано число р. )'(х) Рассьготрнм прямую у =- рх. Возьмем точку Р х = х (р), в которой кривая всего дальше от прямой по вертикали: функция у(р/ рх — / (х) = /р (р, х) в точке х (р) имеет максимум по х при фиксированном р; тогда я(р) = Р (р, х (р)). Точка х (р) определяется ив условия рве. аз. превера овен в вкстремума: дР/дх = О, т.
е. /' (х) = р. Ввиду выпуклости функции / (х) такая точка х (р) единствепна *). Е. Примеры. П р и м е р 1. Пусть /(х) = вв. Тогда х (р, х) = рв — х', .в (р) = р!2, Л(р) = '/врв. в1хв Р Прп мер 2. Пусть /(х) = 2 . Тогда е(р) = —, рз П р и м е р 3. Пусть / (х) = — . Тогда е (р) = —, где — -)- — = 1 (а" 1, ()>1). а р П р и мер 4. Пусть /(х) — выпуклая ломаная. Тогда д(р) — тоже выпуклая ломаная, причем вершинам /(х) соответствуют отрезки е(р), а отрезкам / (х) — вершины а(р), Например, угол, иаображеиный на рис.
44, У при преобразовании Лежандра переходит в отрезок. Х В. Инволютивность. Будем счн- / 2 /7в р р тать функцию / нужное число раз дифференцируемой, а /" (х) ) О. ЛЕГКО ПрОВЕрИтъ, Чта Првабраэа- Рве. Ра Првсерввеввнве Лев~андре пввание Лежандра переводит выпуклые функции в выпуклые. Поэтому его можно применить дважды.
*) Если существует. 3 а д а ч а. Покажите, что областью определения е может оказаться одна точка, отрезок или луч. если функция / определена на всей оск х. докажите, что если функция / определена на отрезке, то функция д определена иа всей оси и Гл. 3. ВАРилционный пгивг<ив Т е о р е м а.
Преобразование Леясандра инволютивно, т. е. вго квадрат равен тождественному преобразованию: если ~ при преобразовании Лежандра переходит в у, то преобразование Лежандра от у будет снова ~. Д о к а з а т е л ь с т в о. Чтобы сделать преобразовавие Лея<авдра функции у переменного р, мы должны, по определевию, рассмотреть новое кеаависимое перемевкое (обоавачим его через х), составить функцию 6(х р) =яр — у(р) найти точку р (х), в которой 6 имеет максимум: дб — = О, т. е. у' (р) = х, др и тогда преобразоваввем Лежандра у (р) будет функция от х, равная 6 (х, р (х)).
Докажем, что С(х, р (х)) = г' (х). О втой целью заметим, что С (х, р) = хр — у (р) имеет простой геометрический смысл: это ордиката касательной к графику 7(х), имею~~а< ' щей каклов р, при абсциссе х (рис. 45). Р Действительно, при фиксированном р фувкция 6 (х, р) есть линейная функция от х, причем дС/дх = р, и при х = х (р) имеем 6(х, р) = хр — д (р) = ~(х) по определек'<ю у (Р). Зафиксируем теперь х = х и будем ме/ нять р. Тогда зкачевия С (х, р) будут ординатами точек пересечения прямой х = хе ря зз ию, с касательными к графику ~ (х), имеющиость цяез ов я ми разный наклон р. Из выпуклости гра- фика следует, что все зти касательные лежат ниже кривой, а потому максимум 6 (х, р) при фиксировавком х(ре) равен ~ (х) (и достигается кри р = р (хе) = )' (хе)), ч.
т. д. С л е д с т в и е *). Пусть дано семейство прямых у = рх— — у (р). Тогда огибающая ест уравнение у = ~ (х), гдв ~— преобразование Лежандра <буняции у. Г. Неравенство Юнга. О яр е дел сии е. Две фувкции ~, у,являющиеся преобра. зовакиями Лежандра друг друга, вазываются двойственными по Юнгу. Но определению преобразования Лежандра, Р (х, р) = рх— — 1(х) ~(у(р) при любых х,р.
Отсюда вытекает неравенство Юнга рх ~() (х) + у (р). ° ) Легко усмотреть, что ете — теория «уразиеяия Кяереэ. 1 1ь. урАВнения ГАмильтонА ха ре Пример 1. Если У(х) = —, то д(р) = —, 2 * 2 ха рч иое неравенство рх~( — 2-+ 2 для всех х, р. а Р Пример 2. Еслиу(х)= —, то й(Р)=— получаем иеравеяство Юнга и мм получаем иавест— 1 — + — =1 и мы — ° а рх ~( — +— 1 1 для всех х)О, р ео, а)1, р)1,— + Д.
Случай многих переменных. Пусть теперь | (х) — выпуклая функция векторного переменного х = (х„..., х ) (т. е. квадратичная форма ~ — г(сс,йс) положительно определена). Тогда l д'У ( дхе преобразованием Лежандра называется функция д (рг) векторного пеРеменного 2г = (Рм..., Р„), опРеделеннаЯ аналогичными пРедьщущим равенствами Все предыдущие рассуждения, в том числе неравенство Юнга„ без изменений переносятся на этот случай.
3 а д а ч а. Пусть ): К" — К вЂ” выпуклая функция в линейном пространстве К". Обозначим через К"' сопряпгенное линей— ное пространство. Покажите, что предыдущие формулы задают вполне определенное д(,,1 отображение лг К"а -о К (при условии, что линейная форма с(1 ( пробегает все прост- бху х ранство К"', когда ж пробегает К ). 3 а д а ч а. Пусть ) — квадратичная форркс. 46. Преосраеооама: у(ж) =~,~ыхгху. Показать, что ее преоб- лежаклра нкалразование Лежандра есть снова квадратичная форма д ((э) =~~дгдзерм причем значения обеих форм в соответствующих точках совпадают (рис.
46): 1(ж(уг)) =А(2г), д(2г(х)) =у(х). й х5. Уравнения Гамильтона После преобравовавия Лежандра лаграижева система дифферевцвальивх ураевевий второго порядка переходит в аамечательио симметричную систему 2к ураввепий первого порядка — систему ураекений Гаиилъекона (веги канонических ураекений). ГЛ. 3. ВАРИАЦИОННЫИ ПРИНЦИП А. Эквивалентность уравнений Лагранжа и Гамильтова, Рассмотрим систему уравнений Лагранжа р = д1/дд, где р = д1/дд, заданную функцией Лагранжа Тл К" х К" х К -ъ- К, которую мы предположим выпуклой е) относительно второго аргумента д.
Т е о р е м а. Система уравнений Лагранжа гквиваяентна системс 2п уравнений первого порядка — уравнений Гамильтона: дН . дН уз = — ф =— да ' дв гдв Н (у, д, г) = узд — 1 (д, д, а) есть преобразование Лежандра функции Лагранжа, рассматриваемой как функция от д. Д о к а а а т е л ь с т в о. По определению, преобразование Лежандра Ь (д, д, г) по д есть функция Н(у) = рд — 1 (д), в которой д выражено через уз по формуле уз = д1/дд, и которая зависит егце от параметров д, й Эта функция Н называется функцией Гамильтона.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
