В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Кинетическая энергия дается формулой В. Система с голономными связями. Б т 27 мы определили систему материальных точек, стесненных голономными связями. Покажем, что зта система является натуральной. Действительно, рассмотрим конфигурационное многообразие М системы со связями как вложенное в Зп-мерное конфигурационное пространство системы свободных точек. Метрику в Зп-мерном » пространстве зададим квадратичной формой ~~,' лллтлл. Тогда соответствующая вложенному риманову многообразию М и потенциальной энергии У натуральная система совпадает с системой, определенной в $ 27 или с предельным случаем системы с потенциалом П + г)д~„ )л' -~- а, быстро растущим вне М. Г.
Рецепт решения задач со свяаями. 1. Найти конфигурационное многообразие и ввести в нем координаты д„..., дт (в окрестности каждой точки, вообще говоря, свои). 6 16. ЛАГРАнжевл динАмическАя сисгемА 79 Ряс. 66. Поверхность вра- щения Рзс. 67. Геоаезачгскзз за псзерхзсстз вращения Ясное представление о виде орбит проще получить, рассуждая немного по-другому.
Обозвачзм через а угол орбвты с меридианом. Имеем: гф = = ) а ) зш а, где ( ь ( — величина воктора скорости (рис. 66). Но по закову сохравеиия авергии Н = Ь = Т сохравягтся. Следовательно, ( а( = совах. Поэтому закон сохравевия р, принимает вид г 61в п = соивс (етеорема Клероз). Зто соотношение показывает, что движение происходит к области ) жв п ) с ° . 1, т.
е. г р г 6)п па. Кроме того, наклон орбиты к меридиану увеличивается при умевьжевии радиуса г. Достигнув ваимевыпего возможного г = ге жп ие, орбита отражается и возвращается з область с большим г (рис. 67). 3 а д а ч а. Докааать, что все геодезические ка варисозавиоп поверхности вращекия делятся ка три класса: мерпдизвы, замквутые кривые, и геадезическяе, всюду плотные в кольце г )~ с. 3 а д а ч а. Исследовать поведение геодезических иа поверхности тора ((г — В)т+ зт = рз). 2. Выразить кинетическую энергию Т = р — ттг, в виде квадратичной формы относительно обобщенных скоростей 1 %т Т = —, р пм (д) <';1'Р 3. Составить функцию Лагранжа А = Т вЂ” У((() и решать уравнение Лагранжа. П р п м е р. Рассмотрии двитгювие лтатериалькой точки массы 1 по поверхвости вращения в трехмерном пространстве.
Можно показать, что орбиты суть геодеаические ва поверхности. В цилиндрических координатах г, ф, з поверхность аадается (локалько) в виде г = г (з) илк з = з (г). Соответствевко кинетическая авергия имеет вид (рис. 66) 1 2 (Ее+уз+аз)= 2 ((1+г )У+г (т)фт) в каардпватах ф, з', 'з = — К1+ з„) гз+ гефт) в коордтшатах г, ф. Использовапо состяопювие Лт + бз = г'+ гтфз.) Фуякция Лагранжа Ь = Т. В обеих системах координат ф — циклическая коордиката.
Саответствузвций импульс сохраняется; р = гтф — пе что иное, как з-компонента момевта количества дзижекия. Так как система имеет две степени свободы, ававия циклической коордиваты ф достаточно, чтобы проинтегрировать задачу до ковца (см. следствие 3 1 15, стр. 64). 80 гл. 4. ЛАГРАнжеиА мехАникА нА многооВРАзиях Д. Неавтономные системы.
Лагранжева неавтономная система отличается от автономной, которую мы рассматривали до сих пор, дополнительной зависимостью функции Лагранжа от времени: Тл ТМ х К вЂ” К, Т. = Т, (а, (), г). В частности, в неавтономной натуральной системе от времени может аависеть как кинетическая, так и потенциальная энергия: Т: ТМхК вЂ” К, С," МхК- К, Т=Т(Ч, «г,(), (.г = (г'(«у, 8). Система и материальных точен, стесненных голонол«нзьии связяли, заеисяи(ими от времени, определяется при помощи меняющегося со временем подмногообраэия конфигурационного пространства свободной системы. Такое многообразие задается отображением которое при каждом фиксированном г («с К определяет вложение М-«-.йз".
Рецепт п. Г остается в силе для неавтономных систем. П р и м е р. Движение бусивки по вертикальной окружности радиуса г (рис. 68), вращающейся с угловой скоростью ю вокруг вертикальной оси, проходящей через центр О скружкости. Многообразие лг — окружлость. Обозначим через д угловую координату ва окружности, отсчитываемую от верхней точки. Пусть х, у, я — декартовы координаты з Вв с началом О и вертикальной осью я.
Пусть ~р — угол плоскости окружности с плоскостью яОя. По условию ф = а1г. Отображение и М х К Вз задается формулой «(О, г) = (ге«п О ссз юц гз(псе!и юц г соя С). « Из атой формулы (а проще — вз «прямоугольного бесконечно малого треугольника«) находим Втаявяа яа врамавяиаея аяртмвва««С гв Т = 2 (а«гвз(пад+г«)в), у= в«уг~ сеч.
Яа наше счастье функция Лагранжа Ь = Т вЂ” У оказалась не зависящей от г, хотя связь и зависит от времени. Кроме того, функция Лаграюка оказалась такой же, как в одномерной системе с кинетической звергией М Т« = фа, М я«га, 2 и с потенциальной звергяей Ш У = А с«и е — В зша О, А = «взт, В = — ю«гв. Вид фазового портрета зависит от соотнопюная между А и В.
При 2В < А (т. е. при таком медленном вращении окружности, что ювг < Е) ввжаее поло>вовке бусинки (О = я) устойчиво и характер движения в общем такой же. как в случае математического маятвика (ю = 0). $20. ТВОРВмл нйтВР При 2Л > А, т. е. при достаточно быстром вращении окружности, иижиее положение бусинки становится неустойчивым, зато появляются два устой- Ряс. 69. ЭЕЕехгнннан нстенлнвльяня енергня и Енноенн влсснсегь бусинки А чизых положевпя бусиики ка окружности, соз е = — ~ —— — — . Поведение бусявки при всевозмояэых начальных условиях ясно из вида фазовых кривых ва плоскости в, й (рис.
69). $ 20. Теорема Нетер Различвые заковы сохранения (импульса, момента и т.д.) являются частными случаями одной общей теоремы: всякой одкопарамстряческой группе диффеоморфвзмов конфигурационного мвогообразия легран>невой системы, сохраняющих фуакцию Лагранжа, соответствует первый ввтеграл уравнений движения. А. Формулировка теоремм. Пусть М вЂ” гладкое многообразие, Тл ТМ-э-К вЂ” гладкая числовая функция на его касательном расслоении ТМ. Пусть й: М-ь М вЂ” гладкое отобраяюние. О и р вдел ение. Лагранжева система (М, Ь) допускает отображение й, если для любого касательного вектора о б= ТМ В (Ь о) = 1 (о). П р и из р. Пусть М = ((х„, „хз)), 1 =-я" ° 2+ 2+вез)— ж 662 — П (хь, хз).
Система допускает сдвиг )л (хы хз, х ) (хь + г, х, х ) вдоль оси х и яе допускает, вообще говоря, сдвигов вдоль оси хз. Т е о р е м а Н й т е р. Если система (М, Ь) допускает одно- параметрическую группу диффеоморфигмов Ь': М -э- М, г е= К, йе = В, то соответствующая В система уравнений Лагранжа имеепь первый интеграл 1: ТМ -ь К.
В локальных координатах о на М интеграл 1 гаписываетсл в виде 1((( у) = —, вб оа (о) Б. Доказательство. Пусть сначала М = К" — координатное пространство. Пусть я1: К -~- М, а = ~р (6) — решение уравнении Лагранжа. Так как й сохраняет 1, то сдвиг решения, )гььчр: К- 82 Гл. е. лАГРАнжквА мкхАникл нА мнОГООБРАзиях М нри любом г также удовлетворяет уравнениям Лагранжа *). Рассмотрим отображение Ф: К х К-» Кмт е« = Ф (г, «) = = Ь' (~ («)) (рис. 70).
Будем обозначать производные по «точками, а по г штрихами. По условию ««)= О дб(Ф Ф) дб Ф.+ еб Ф (1) Ь'Ф4 У где частные производные А взяты в ЬЩ точке «« = Ф (г, «), у =- Ф (г, «). Рме. 70. К теореме Нлтер Как мы подчеркнули выше, при лю- бом фиксированном значении г отображение Ф ~е е. К -»- К удовлетворяет уравнению Лагранжа — — (Ф(г, «),Ф(г, «))~ = — (Ф(г,«),Ф(г, «)). Введем обозначение лс(г,«) = — (Ф(г,«), Ф(г,«)) и подставим д« дгт/д«в (1) вместо дЦдй. д Записывая о' в виде — „еу', находим де. 3 а м е ч а н и е.
Первый интеграл 1 = — а определен вы- д«) ше с помшцью локальных координат д. Оказывается, величина У (77) нс зависит от выбора координатной системы о. ,Действительно, 1 есть скорость изменения Х (77), когда вектор 77 6— : ТМ„меняется внутри ТМ„со скоростью — ~ Ь'х. Итак, 1 (в) есть корректно определенная в целом функция касательного вектора т« ~ ТМ„. Тем самым теорема Петер докааана и в случае, когда М вЂ” многообразие.
В. Примеры. П р и м е р 1. Рассмотрим систему материальных точек с массамн «к«7 хе Т = ~~» т; ~ — П(х), х; =хе,е,+хт,е,+ х;,ее, стесненную связями ««(х) =О. Предположим, что система допускает сдвиги вдоль оси е,: Ь'. х, х« + гел при всех л. *) Авторы некоторых учебников ошибочно утверждают, что верно и обРатное, т. е. если Ье пеРевоДит Решении в РешениЯ, то «»ее сохРаиает б. $20. творима нйгиг Иными словами, связи допускают движение системы как целого вдоль оси е„и потенциальная энергия при этом не меняется.
Из теоремы Нйхер заключаем: Если система допускает сдвиги вдоль оси е, то проекция ее цснтпра инерции на ось е движется прямолинейно и равномерно. в Деиствительно, — ~~ й х; = еы Согласно эамечению в конде ~, це пункта Б, сохраняется величина 'чЭ дЬ 1 = Эг —.ег = 7 тгхлы юэ т. е. первая компонента Рт вектора импульса. Для систем без свяэей мы это уже доказывали раньше. П р и и е р 2. Если сиапема допускает врал(ения вокруг оси е„ то сохраняелэся кинегяиягский мамент относительно втой оси М, = Х [[хи тэхэ[, ег). э Действительно, легко проверить, что если Ь' — поворот вокруг осн е в ! Ъ'3 дБ на угол г, то — ~ ей'хэ= [емхг[, откуда 1 =~ —, [е„х;] = = ~ [тэхи[еч,хэ[) = ~ ([хотэхэ[,еэ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
