В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 17
Текст из файла (страница 17)
— тх! называется силой инерции. Теперь принцип Даламбера — Лагранжа принимает такой вид: Т е о р е м а. Если к действующим в данный момент времени силам добавить силы инерции, то занимаемое движущейся точкой в данный момента времени положение ш станет положением равновесия. Действительно, уравнение Даламбера ( — тЖ+ Уе $) = О выра!кает, согласно предыдущей теореме, тот факт, что х есть положение равновесия системы с силами — таз+ !'. Совершенно аналогичные предложения справедливы и для системы точек: Если ю = (ю!) — положе ие равновесия, то сумма работ дейепюующих сил на виртуальном перемещении равна нулю. Если к действующим в данный момензп времени силам добавить силы инерции — тф! (!), то конфигурация х (ь), в которой система находится в этот момент, станет положением равновесия.
Итак, задача о движении приводится к задаче о равновесии под действием других сил. 33 гл. а лягРАнжевА мехАникА НА многоовРАэинх 3 а меча ни е 3. До сих пор мы не рассматривали случаи, когда связи зависят от времени. Все сказанное вьппе переносится на такие связи без изменений. П р и и е р. Рассмотрим бусинку, скользящую по стержню, наклоненному под углом а к вертикальной оси и вращающемуся равномерно, с угловой скоростью е, вокруг этой оси (весом пренебрежем). За координату д примем расстояние от точки О (рис. 73).
Кинетическая энергия и лаграня.иан: 1 и 1 и 4 .е = т = — то~= —,те~+ — тлтяег' 2 ()' и = дзтпа. Уравнение Лагранжа: тд = тенете з(па а. Сила реакции в каждый момент времени ортогональна виртуальным перемещениям(т. е. направлению стержня), но вовсе не ортогональна действительной траектории. 3 а и е ч а н и е 4. Из уравнения Даламбера — Лагранжа легко выводятся ааконы сохранения. Например, если среди виртуальных перемещений есть сдвиг вдоль оси х, 5,=е„ Рис.
тх втсиика, скситаяжая нс аражаюииится стеРжню то сумма работ сил реакции на этом перемещении равна нулю: Х (Ло е,) = Д', Юа, е,) = О. Будем теперь рассматривать силы реакции как внешние силы. Тогда замечаем, что сумма первых компонент внепших снл равна нулю. Значит, сохраняется первая компонента, Р„вектора количества движения. Этот же результат мы получили вьппе иэ теоремы Нбтер.
3 а меча н не 5. Подчеркнем еще раз, что голономность той или иной физической связи (с той или иной степенью точности) есть вопрос эксперимента. С математической точки зрения голономность связей есть постулат физического происхождения', его можно вводить в разных эквивалентных формах, например в виде принципа наименьшего действия (1) или принципа Даламбера — Лагранжа (2) — но при определении свявей речь всегда идет о новых, по сравнению с уравнениями Ньютона, экспериментальных фактах. 3 а м е ч а н и е 6.
Наша терминология несколько отличается от принятой в учебниках механики, где принцип Даламбера— Лагранжа распространяется на более широкий класс систем («неголономные системы с идеальными связямиэ). В этой книге мы не будем рассматривать неголономные системы. Замечу только, что примером неголономной системы является катящийся по плос- 5 2П ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА кости беэ скольжения шар. В касательном пространстве к конфигурационному многообразию неголономной системы в каждой точке фиксировано подпространство, которого должен касаться вектор скорости. 3 а м е ч а н'и е 7. Если система состоит иэ материальных точек, соединенных стержнями, шарнирами и т.
п., то моясет возникнуть соблазн говорить о силе реакции той или иной отдельной связи. Мы определили суммарную «силу реакции всех свявей» уйг для каждой материальной точки т;. Понятие силы реакции отдельной свяаи определить неаьал, как видно уже из простого примера балки, опирающейся на три колонны. Если попытаться определять силы реакции колонн асм .ага, Ла предельным переходом (считая колонны очень жесткими пружинами), то мы убедимся, что результат зависит от распределения жесткости. Задачи в задачниках подобраны ,'так, чтобы это затруднение не встречалось. 3 а д а ч а.
Стерисеиь веса Р, каклокеккый к поверхиости стола под углом 60', начинает падать без качалькой скорости (рис. 74). Найти силу реакции стола в начальный момент, считая стол: а) абсолютно гладким, 6) абсолютно шероховатым. (В первом случае голокомкал сааза удерииеает конец стержки ка плоскости стола, а ео втором — в давкой точке.) ГЛАВА 5 КОЛЕБАНИЯ Поскольку линейные уравнения легко решать и исследовать, теория линейных колебаний является самым разработанным отделом механики. Во многих нелинейных задачах линеаризация приводит к удовлетворительному приближенному решению. Даже когда это не так, исследование линеаризованной задачи часто является первым шагом при изучении соответствия двиькений нелинейной системы и ее линейной модели. ф 22. Линеаризация Здесь дано олродололяо малых лолобгллй.
А. Положешш равновесия. Оп р еде ление. Точка х называется положением равновесия системы если ж(г) вимо есть решение этой системы. Иными словами, Т (хо) =О, т. е. в точке юо векторное поле Т (сс) обращается в нуль. П р и и е р. Рассмотрим натуральную динамическую систему ч-~ сфункциейЛагранжа"Т(д,д) = Т вЂ” У, Т = — у~а;;®с;(~~О, П = П(д) д дЬ дЬ (2) Уравнение Лагранжа можно записать в виде системы 2п уравнений первого порядка вида (х).
Постараемся найти положения равновесия. Те о р ем а. Точка д = »о, ф = д тогда и только тогда будет положением равновесия системы (2), когда до = О, а точка~о»о — критическая точка потенциальной энергии, т. е. дгг! О (3) дч 1ъ Д о к а з а т е л ь с т в о. Запишем уравнения Лагранжа Н дТ дТ дУ дг да д» д» 5 зз. лнннлвизлпия Из (2) видно, что прн ф = 0 будет — = О, — = О.
Поатому дТ дТ ва ' вФ ы = дэ есть решение в случае (3) и только в этом случае, ч. т. д. Б. Устойчивость положений равновесия. Займемся теперь исследованием движений при начальных условиях, близких к положению равновесия. Т е о р е м а. Если точка ао есть строгий локальный минимум потвнииальной энергии П, то пололгвнив равновесия а = до устойчиво по Ляпунову. Доказательство.
Пусть 7У(аэ) = й. При достаточно малом е ) 0 содержащая а связная компонента множества (й: С (Ф) ~( Ь + е) будет сколь угодно малой окрестностью точки Фс (рис. 75). При этом связная компонента соответствующей области (г" и) ~~~+ ~)(ут вй дТ импульс, Е = Т + П вЂ” полная энергия) в фазовом пространстве тт, а будет сколь угодно малой окрестностью точки р=О, ~=й,.
Но область (ут, (у: Е (и+ е) инвариантна относительно фааового потока по закону сохранения энергии. Значит, ряяяоясскя при достаточно близких к (О, а ) начальных условиях р (0), а (0) вся фазовая траектория р (с), й(Е) близка к (О, ас), ч. т. д. 3 а д а ч а. Может лк положение равновесия о = им р = С быть аскмлтоткческк устойчквыму 3 а д а ч а. Доканжтс, по в ллаяижиясской скстеые с одной степенью свободы воложекке равновесия им кэ являющееся точкой строгого локального минимума потенциальной эксрглк, неустойчиво по Ляпунову.
Приведите пример бескокечко дкффсрскцкруеыой скствмы, где гто кс так. 3 а и е ч а н и е. Кажется правдоподобным, что в аналитичекой системе с и степенями свободы положение равновесия, не являющееся точкой минимума, неустойчиво, но это не докавано. В. Линеариэация дифференциального уравнения. Вернемся теперь к общей системе (1). При исследовании решений системы (1), близких к положению равновесия жс, часто пользуются ликеариваиивй. Предположим, что ж = 0 (общий случай приводится к этому сдвигом системы координат). Тогда первый член ряда Тейлора у' линейный: у (х) =Аж+Ел(ю), А = в ~э, Лг = 0(осэ), где линейный оператор А в координатах хы..., х„задается матрицей аы.
ду. (Ах)~ — — ~~~ а,гт; ам = — ' ° ! у 92 ГЛ. б. КОЛЕБАНИЯ Оп р еде л е ни е. Переход от системы (1) к системе +~= Ау (ж~й", тг~==ТВ~~) (4) называется линеариеацией системы (1). 3 а д а ч а. Докажите, что линеариаацня — корректно определенная операция: оператор А не зависит от системы координат. Преимущество лпнеаризованяой системы состоит в том, что она лвнейна и потому немедленно решается: Аи« у(1) = ел'р(0)«где е" = Н+ А1+ — +...
Зная решения линеариэованной системы (4), можно сказать коечто о решениях исходной системы (1). При достаточно малых х разница между линеаризованной и исходной системами Нг (х) мала по сравнению с ш. Поатому в течение долгого времени решения у (1), х (Ф) обеих систем с начальным условием тг (О) = ж (О) = =- ю остаются близкими.
Точнее, легко доказывается следующая Т е о р е и а. для любого Т ) 0 и для любого е ) 0 найдется б)0 такое, что если (ш (О) ! <6, то(ог (1) — тг (1) ~ < еб для всех 1 из интервала 0 С; 1 с. Т. Г. Линеаризация лаграигкевой системы. Обратимся снова к лагранжевой системе (2) и постараемся ее линеариэовать в окрестности положения равновесия а= др. Для упрощения формул выберем координаты так, чтобы а = О. Т е о р е м а. Чтобы линеаригоеать лагранжеву систему (2) в окуесгпности положения равновесия а = О, достаточно заменить 1 Ъ1 кинетическую энергию т = — т ам(д) (1( ее значением при д = =О, 1 Ч-1 а потенциальную энергию Н (а) — ее квадратичной частью 1 %1 Е«Н Н,= — ~рЬ д~, Ь,-= — 1 и«1 1 вове г 1 о=з Д о к а з а т е л ь с т в о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
