В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 13
Текст из файла (страница 13)
»о. М ке ув ве аулвеь в я«раув камеРу Р с. ы. теорема О вс«к- рещенки не пересекались, объем Р был бы бесконечен. Поэтому при некоторых В~О, (:РО, й >( у"и (-) у'С ~ О. Следовательно, уг В ( ) У ~ О. Пусть у" 'х = у, х (== «т', у ~ У. Тогда х ~ (), укх ~ О7 (и = к — 1), что и требовалось доказать. Д. Приложения теоремы Пуанкаре. П р и м е р 4. Пусть Р— окружность,  — поворот на угол сс.
Если а= 2к —, то ав — тождественное прссбравовевис, и теорема очевидна. Если же а несоизмеримо с ун, то теорема Пуанкаре уел и дает ух Чб» О, Ья: ( Вкк — в) (б (рис. 52). Отсюда легко вытекает у.т Т е о р е м а. Если г»~=2п ™, то леножс° ° ' У ство точек вида у~х всюду плотно «) на окружности ()с = 2, 2,...), 3 ад а ч а.
Докажите, что всякая орбита движения в центральном поле с Г = ге либо ваьпаута. либо всюду плоско заполняет кольцо между двумя окружностями. П р и м с р 2, Пусть Р— двумерный тор, Ее и Ие — Угловые координаты на кем (широта и долгота) (рис. 53). Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений на торе Рве.
»2. Вс«ЩУ влет ЯОЕ МВОЖЕСХЕО КЕ ОК р91«в«От« «) Множество А всюду плотно в В, если в кюццой окрестности каждой точки В есть точка А. $ да творима лнуннлчя Очевидно, бдт( = О, к соответствующее дввжевве Ед. "(цд, дР«) ОРд + ад«, ~Р« + а,д) сохраняет объем ар йрэ. Иэ теоремы Пуанкаре легко выводятся Т е о р е м а. Коли а lат иррационально, то «облдотка» тора я (бы грт) Вслддц плотна на торе. 3 а д а ч а. Докюквте, что если ю яррацвояальпо, то фигура Лпссажу (а = сое д, у = сов юд) всюду плотна в квадрате )а(~1, (у)~(. П р н мер 3. Пуст»Р — в-мерный тор Т", т. е.
прямое произведение») л окружностей: рг Рдю. ЭЗ. тсг Точка в-мерного тора задается и угловыми коордяпатэмв ~р = (цд, . ° ., дра)' Пусть а = (а,..., а„), у' — преобраэовавве, сохраняющее объем Едд 2"" Уа, др ф+ ид. 3 а д а ч а. Пря каких условвях на а всюду плотвы: а) траектория х'т, б) траектория Егц (д дк К првнадлежвт группе вещественных чисел К, й щ щ Š— группе целых чисел). Преобразования примеров $ — 3 тесно свяааны с механикой.
Но так как теорема Пуанкаре абстрактная, она имеет н не связанные с механикой приложения. П р н м е р 4. Рассмотрим первые цифры чисел 2": 1, 2, 4, 8, д, 3, 6, 4, 2, 5, $, 2, 4... 3 а д а ч а. Есть лв в этой последовательвосгн цифра др я какая цифРа встречается чащед 7 влн 8г И во сколько раву *) Прямое провэведепве множеств А, В,... ссгь множество наборов точек (а, Ь,...), а щ А, Ь дн В, ГЛАВА 4 ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА НА МНОГООБРАЗИЯХ В атой главе вводятся понятия дифференцируемого многообразия н касательного расслоения. Функция Лагранжа, заданная на касательном расслоении, определяет на многообразии лагранжеву «голономную систему>.
Частными случаями являются системы материальных точек, стесненных голономными связямн, например маятник или твердое тело. р 17. Голоноиные связи В отеле параграфе дано определение системы материальных точек, стесненной голономными связями. А. Пример. Пусть у — гладкая кривая на плоскости. Если в окрестности у имеется очень сильное силовое поле, направленное к кривой, то движущаяся точка будет все время находиться вблизи у.
В предельном случае бесконечно сильного поля точка Унс. 54. Снеек «ан бесконечно сальное поле Рас. 55 Патее1аилльнан меер гон вынуждена оставаться на кривой у. В атом случае говорят, что на систему наложена свяаь (рис. 54). Чтобы дать точную формулировку, введем в окрестности кривой у криволинейные координаты дх, ез. д, — вдоль кривой у, да — расстояние от кривой.
Рассмотрим систему с потенциальной энергией Ня = туда + 0 е (ды дз)~ аавнсщцей от параыетра тт (который будет затем стремиться к бесконечности) (рис. 55). Рассмотрим начальные условии на у: дх (0) = 7ы рх (0) = фы да (0) = О, 4. (0) = О. 1 гн голономныи связи Обозначим через д = гр (1, гг) изменение координаты д при движении с такими начальными условиями в поле Ук. Т е о р е м а. При Ф вЂ” ь оо сугцествует предел 11ш гр (г, гт') = ф (1). Првдельн в у7ункция д = ф (1) удовлетворяет уравнению Лвгранлса где Ье (ды 1г) = Т( ° — Уг ~ е(Т вЂ” кинетическая энергия движения вдоль у).
Таким образом, при Л~ — оо система уравнений Лагранжа для д„да порождает уравнение Лагранжа для д, = ф (1). Точно такой же результат получится, если рассмотреть вместо плоскости Зк-мерное пространство конфигураций и точек, составляющих механическую систему, с метрикой дг'- 3 т;дг'; (тг— 1=1 массы), вместо кривой у — подмногообразие Зя-мерного пространства, вместо дг — какие-нибудь координаты д на у, вместо дг — координаты да в направлении, перпендикулярном у. Если потенциальная энергия имеет вид П = Пе (д ) + ггд то при 1У-+.
оо движение на у определяется уравнениями Лагранжа с функцией Лагранжа г'а Т 1т — ' .„По!т ь Б. Определение системы со связями, Мы не будем доказывать сформулированную теорему *) и не будем ею пользоваться. Она нужна нам лишь для того, чтобы оправдать следующее О п р ед ел ение. Пусть у — т-мерная поверхность в Зпмерном конфигурационном пространстве точек т, ..., т„масс т„..., т„. Пусть д = (д„..., д ) — какие-нибудь координаты па у: т'г =. т', (д). Система, описываемая уравнениями В гб дб 1 % 3 ° и — — — Т = — Ктгт7,+ П(д) ж вф дд ' 2 называется системой и точек, стесненной Зп — т идеальнымч ноголомными связями.
Поверхность у называется кон(ригурационнмм пространством сисгпвми со связями. а) доказательство основмваетсв на том, что вследствне сохранения анергкн движущаяся точка не может удаллтьсв от 7 на рассгоанке, большее чем сФ о", что стремится к нулю прн Х оо. Определенае сввасй прн помощи такого предельного перехода предложено Р. Куравтом. См.: НвЬ~п Н., Нпзаг Р. Могюп набег а асговз сопггга1п1вх 1огсе у Сонно. оп Оге Рого авб АРР11еб Ма18.— 1957. — т'. 16, Хо.
1.— Р. 65 — 87. 72 Гл. ы лАГРАнжеВА мехАникА ИА мноГООБРАзиях Если поверхность у задается гс = Зк — т функционально независимыми уравнениями у> (г) = О,..., )з (г) = О, то говорят, что система стеснена связями у = О,..., уа = О. Гапонов>иую связь можно было бы определить и как предельный случай системы с болыпой потенциальной энергией. Значение этих связей для механики в том, что, как показывает эксперимент, многие механические системы с той или иной точностью относятся к атому классу. Кдеальные голономные связи в дальнейшем для краткости будем называть просто связями.
Другие связи в атой книге рассматриваться пе будут. ф 18. Дифференцируемые многообразия Копфигурациопяос пространство системы со свяаями является дпффереицируемым мпогообразием. В этом параграфе приведены простейшие сведения о дифферепцпруемых мвогообразиях. А. Определение дифференцируемого многообразия. На множестве М задана структура дифференцируемого многообразия, если М снаб>кено конечным или счетным набором карт, так что кап<лая точка изображена хотя бы на одной карте. Картой называется открытая область Г> в евклидовом координатном пространстве д = (д„..., д„) вместе со своим взаимно однозначным отображением гр на некоторое подмножество М, <р: У вЂ” >. грО'~ М. у> )г'г Если какая-нибудь точка М г>' имеет изображения на двух кар- О' тах с>, С' сразу, то то же должно Ф' быть справедливо для некоторых окрестностей >г, >г' этой точки на Р"".ЗЕ.
Со™ес" ' за~ Кан>дай ИЗ Карт (рно. 56). ТаКИМ образом, возникает отображение >р' >гр> у ->- у' части одной карты )г С С на часть другой карты Р'С О", Это — отображение области г' координатного евклидова пространства д на область У' координатного евклидова пространства д', и оно задается и функциями п переменных д' = д' (д), (д = д (д')). Карты с>, с>" называются совместными, если зти функции дифференцируемы е).
Атласом называется совокупность совместных друг с другом карт. Два атласа эквивалентны, если их объединение есть снова атлас. е> Под диффереицируемостью здесь понимается г-иратиая непрерывная дифферепцируемость; точиое зиачевие г (1 ~ г ~ оо) несущественно (можяо считать„иапример, что г = оо). 73 5 15. диФФеРенциРуемые мнОГООБРАзия Дифференцируемое многообразие есть класс эквивалентности атласов. Мы будем рассматривать только свлзвыс многообразия а). Тогда число и для всех карт одно и то же — оно называется размерностью многообразия. Окреппностью точки многообразия называется образ при отобран«ения «р« О'-ь М окрестности изображения этой точки на карте «л'. Мы будем предполагать, что у каждых двух разпых точек многообразия есть непересекающиеся окрестности. Е.
Примеры. П р в м е р 1. Евклидова пространство Пк есть мвогоойразпе, атлас которого состоит пз едвпствеввой карты. П р п м е р 2. Сфера 8« = ((*, у, я): л«+ р«+ «« = Ц имеет структуру мвогообразия, атлас которого состоит, напрвмер. пз двух карт (П«, ~р,, 1 = = 1, 2) в огереографической проекццк (рис.
57). Авалогпчиая коиструкцпя годится и для к-мерной сферы 8к= Ил* " ля„,): Х*', = Ц. П р и м е р 3. Рагсмстржк плоский маятник, Конфигурацпонвое пространство — окружность 8' — есть многообразие. Обычный атлас доставляется угловой коордвватой «р: К' 8«, (1, =- ( — и, п), (1« = (О, 2п) (рпс. 58). Рко. 55. Плосккй, сверк«««ккй к клоакой клосккй каятвккк Рко. 57. Атлас о(ерм П р и и е р 4. Конфвгурациоввое простраяство «сферического««жгематптичесвого маятника есль двумерная сфера 8«(рпс. 58).
П р и м е р 5. Коифигурациоввое пространство «плоского двоякого маях- явка» есть прямое произведевве двух окружностей, т. е, двумервый тор Т« = = 8«Х 8« (рис 58). П р и м е р 6. Ковфпгурациаввое пространство сферического двойного маятвкка есть прямое произведевие двух сфер йз х Ю«. Ркс. 5Е. 11окэкгуряцкоккоо про- ограко«яо трсуголъккка Рко. 59. ков(агурацкоккоо кроо«ракс«ко отрезка кк плоско««к П ример 7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
