В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Биенияг траектория з яонФигтрзвионном пространстве а Величина е = 2 мала вместе с а, поэтому д испытывает колебания частоты ю' 1 с медленно мениющейся аиплитудой о соз ш (рис. 82!. где о11 = 1, ыз = рг1 + 2а (рис. 80). Итак, два собственных колебания следующие (рис. 81): 1) () =О, з.е. оз = йб оба ыаятнпка движутся спхфаано с прежней частотой 1, пружина не работаог, 2) 1)1 = О, т. е. 11 = — о,: маятниии движутся в йротквофаае с увеличившейся благодаря действию пружины частотой тз) 1. РП, 5. КОЛЕБАНИЯ Я Я Черен время Т = — = — будет колебаться практически одкв втором 28 а маятвкк, черен 2Т вЂ” опять один первык и т. д. (ебвевияв) (рве, 88).
Рнс. 84. Свяванные мантнккя Рнс. 83. Биения ог, ег сэг г г г Ркс. 87. Предельныа случае мантннков, свяванных бесконечно жесткой нуужнкоя Рве. 88 За с оса собственных частот от жесткостИ пружины Рнс. 85. Погенцвальная внеутая сильно еаяаанныв юиннвксв П р и и е р 3. Исследовать собственные колебания двух равных моятнинов(жг+ жг, (1+ уж у = 4), соединенных пружиной с внераией 2 а(йь — уа) (рис. 84).
Ккн ведут себя собственные частоты при а -т О и при а оог Имеем Т - — ( )'у'+ ж )"') 1 2 111 222' ях 822 а () = жг) + иа) + (йг — да)2, 2 в 2 2 Поатому (рис. 88) -Г"'.':! '=! тг(1+ а — а — а нгг)2+ а!' в характеристическое уравнение имеет вид 1 ж1)1+ а Лгя1(~ — сг бет( — ЛА(= беа~ =О, — а ,4+ — Л )',~ еба — (Ьо + Ьга)Л + (со + сга) = О, 1 хь О НОВвденни сОБстВенных частот где а = тат Р)тт, Ье = тт1гтт1т (1т + )т), Ьт = тт11 + ттф, се = тттт)т)т, ст = тт)т + тт)т. Это — уравнение гиперболы иа шюскости а, А (рис. 86). При а 0 слабая пружлна) частоты стремятся к частотам свободных маятников (т~~ = Гга); при и оо (очень сильная пружина) одна иа частот стремится к са, а вторая — к собственной частоте т маятника иа двух масс на одном стержне (рис. 87): тт)т+ тт1т тат1а+ те)ат 3 а д а ч а.
Исследовать собственные колебания плоского двойного маятника (рис. 88). 3 а д а ч а. Найти вид траектории малых колебавий материальной точки на плоскости, находящейся в центре правильного треугольника и соединенной одинаковыми пружинами с вершинами (рис. 89).
Рнс. Ва. днойнейма- Рнс. ВЕ. Снснтнма с Сесненечнмм мнете- нтнан атеем ссестненнмх колебаний Р е тле н и е. Прв повороте па 120' система переходят в себя. Следовательно, все направления собственные, а обе собственные частоты одивако- '1 вы: У = 2 т~(а'+ ут). Значит, траектории — аллипсы (см. рис, 20). $24.
О поведении собственных частот Здесь докаааны теоремы Релея — Куравта — фишера о поведении собственных частот системы при увеличении жесткости и ври валоженни свнаи. А. Поведение собственных частот при изменении жеепгости. Рассмотрим совершающую малые колебания систему с кинетической и потенциальной энергиями Т = — (Аф,д) «О, У = — (Вй,д))О для всех д,()чьО. 1 1 О п р е д еул е н и е. Система с такой же кинетической энергией и потенциальной энергией У' называется более жесткой, если б" = -й-(В'д, д) « — (Во, О) = сг для всех д. 1ВО гл.
ь. калякания Мы хотим выяснить, как изменятся собственные частоты мри увеличения жесткости системы. 3 а д а ч а. Рассмотрите одномерный случай. Т е о р е м а 1. При увеличении жесткослш все собственные частоты увеличиваются, т. е. если ю, «( ют «(... ( ю„— собственные частоты инее жесткой системы, а ют «( юг «(... «( («юь — более жесткой, то ю, «( сот' ,..., о1„«( гок. Эта теорема имеет простой геометрический смысл. Не нарушая общности, можно считать, что А = Е, т.
е. что мы рассматриваем евклвдову структуру, заданную кинетической энергией 1 Т= 3 (с),с)).Каждой системе сопоставим эллипсоид: Э: (В1у, 1г) .= 1, Э': (В'1г, 1г) = 1. Очевидна Л е м м а 1. Если система П' жестче системы П, то соответствуюгций ей эллипсоид Э' лежит внутри Э.
Столь же очевидна Л е и м а 2. Главные полуоси эллипсоида обратны собственным частотам ю;: 1 ю~ = е,. Поэтому теорема 1 эквивалентна сле- дующему геометрическому утверждению гие. оо. и т т р (рис. 90). него елккпсоилг меиьме Т е о р е м а 2.
Если эллипсоид Э с полуосями а, «» аг « ... «) а„ содержит аглипсоид Э' с полуосями а~ )«ао )... ) а„, с тем же центром, то полуоси внутреннего ипсоида меньше: а, )«%, аг «)ат, ° ., ал «) гь',. П р и м е р. При увеличении жесткости а пружины, соединяющей маитвнки примера 3 1 33 потенциальная онертии растет, и по теореме 1 соб- аыг стеенпые частоты растут: — ' - - О. си Рассмотрим теверь случай, когда жесткость пружины строьп~тси к бесконечности: а со. Тогда е пределе маятники жестко связаны и получается система с одной степенью свободы; предельнаи собстненнаи частота †< <ю <ыт.
Б. Поведение собственных частот при наложении связи. Вернемся к общей системе с и степенями свободы, и пусть 1 .. 1 Т = 3 (о,1)), П = 3 (Ва,1т), о а= К" — кинетическая и потенциальная энергия системы, совершающей малые колебания. Пусть К" т С К" — и — 1-мерное подпространство в К" (рис. 91). Рассмотрим систему с и — 1 степенями свободы (д ~— ~ К '), у которой кинетическая и потенциальная энергии равны 5 24. О пОВедении сОБстВенных члстот 191 ограничениям Т и У на К" 1. Говорят, что эта система получена из исходной наложением линейной связи. Пусть исходная система имела и собственных частот ау, «( ( ьз ( ..
«( 1о„, а система со связью — и — 1 собственную частоту ьу «( ьа «( ° ° ° чч ауа-у. Т е о р е м а 3. Собственные частоты еи стелы со связью разделяют собппвенные частоты исходной системы (рнс. 92): Ь1 «( Ьт «( Ьг ~ Ь2 «( «( тоо-1 «( Суа-1 «( Ьн. Рас. гь Лансанаа саа а ау а12 ° а1л В1у 412 ~4-у Рнс. 92. Раааслсннс частот Рнс. Вг. Полуосн с«чапая раа- Леляан полусон аллннсонпа . ллипсоида — сечения Э' разделяют полуоси гллипсоида Э (рис.
93): -"' ат) »аз:Р' аа » )° ° - » )ао-1 » )ани » )ан. В. Экстремальные свойства собственных чисел. Т е о р е м а 5. У любого сечения аллипсоида Э с полуосями а, )» аз »)... » )а„й-мерным подпространалвом К» малая полуось меньше или равна а„л а„= щах гп»п й м (~ ~К~» .НК»11Э (верхняя грань достигается на подпространстве, натянутом но полуоси а, ») аз »)...
» а„). Д о к а з а т е л ь с т в о *). Рассмотрим подиространство К" +1, натЯнУтое на оси аа» а»+1 )»... )» а„. Его РазмеРность равна и — й + 1. Поэтому оно пересекается с К". Пусть зс — точка пересечения, лежащая на эллипсоиде Э. Тогда 1~ зс'з «( ат, по- «) Полезно представлять себе случан я = л, а = 2. В соответствии с леммой 2 эта теорема эквивалентна следующему геометрическом у утверждению. Т е о р е и а 4. Рассмотрим сечение п-мерного алли псоида Э = (д: (В»у, ту) = 1) с полуосяли ау » )аа )»....» а„гиперплвспоетью К" 1. Тогда полуоси и — 1-мерного $02 гл. б.
колквания скольку х е= К" а+г. Так как (( х () не меныпе длины малой полуоси эллипсоида Э () Кг, последняя не больше аг, ч. т. д. Доказательство теоремы 2. Меньшая полуось каждого й-мерного сечения внутреннего эллипсокда К" П Э' не больше меныпей полуоси К" П Э.
По теореме 5 аг — — <пах ш<п ))х«<(шах ппп ()х)(=аг, ч.т.д. <кг» ныкг(»э <ка» ныкг<»9 Доказательство теоремы 4. Неравенство ач( ( аг следует из теоремы 5, так как при вычислении аг максимум берется по более пшрокому множеству. Чтобы доказать неравенство аг )» агеы пересечем К" г с любым )с+ 1 -мерным подпространством Кз~г. Пересечение имеет размерность не меньше й. Малая полуось эллипсоида Э' П Кьы не меньше малой полуоси Э П К""г.
По теорев<е 5 аг = и<ах ппп ((х(()» <пах пип ((х<»») «из~в' г» -ка«»э <кг+гск"»' нека+где' шах ппп»<хЦ = аг+„ч. т. д. «иге<~в"» миг+где Теоремы 1 и 5 непосредственно вытекают из доказанных. Э а д а ч а. Докажите, что если, нс а<снял ко«вен<»паленой лнвргии систелги, увеличить ки»<етичсскую (напрнмер, сохранив пружины, увеличить массы), то каждая собапвснная частота уменьилип<ся 3 а д а ч а. Докавогге, что ври ортогональном проектировании аллипсоида, лежащего в одном подпростраистве евклидова пространства, иа другое подпросчравство все его полуоси умевьщаттся.
3 а д а ч а. Пусть квадратичная фариа А (з) ва евклндовом простравстве К" непрерывно двфферевпируемо зависит от параметра г. Покажите, что каждое собогвеивое число двфферевцвруемо зависит от е,, и найдите вроизводные. Ответ. Пусть»,,..., Лг — собстзевпые числа А (О). Кювдому собственному числу Л< кратности т< отвечает надпространство К '. Производные собстеенныв чисел А (е) в 0 ровны собственным числам сужений «дермы ИА < ч< В =- — ~ ва К бс е=о Б частности, если есе собснгеенные числа А (О) простые, то их нроивводные ровны диавоноллным влементон матрицы В е собственном базисе А (О). Из утеерждевия этой задачи следует, что прк увеличении формы ее собственные числа растут.
Мы получаем, таким обравом, новое доказательство теорем «и 2. 3 а д а ч а. Как меняется высота звучаввн колокола при появлении трепщвыг й 25. Параметрический резонанс Ест< параметры системы периодически меняется со времевем, то положение равновесия мотет сделатьсн неустойчивым, даже если ово и устойчиво прв канщом фикспроваввом значении параметра.
Благодаря такой иеустойчввости можно раскачиваться ка качелях. 5 55. пАРАметРический РезОнАнс А. Динамические системы, параметры которых меняются со временем периодически. П р и м е р 1. Качели, у которых длина аквивалентного математического маятника 1(1) меняется со временем периодически: 1(1 + Т) =- 1(8) (рис. 94). П р и м е р 2.
Маятник в поле с периодически меняющейся силой тяжести (например Луна) описывается уравнением Хилла д = — ь55 (5) д, ю (5+ Т) = сз (г). (1) П р и м е р 3. Манпник с периодически вертикально колеблющейся точкой подвеси также описывается уравнением вида (1). Для систем с периодически меняющимися параметрами правые частиуравненийдвижения — Рнс. 55. каче 5 периодические функции г. Уравнения движения можно записать в виде снстел5ы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка ю = ~ (ю, С), ~ (ю, г + Т) = )Г (ю, Г), ю ~:— К", (2) с периодическими правыми частями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
