В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Оператор векторного умножения на е линеен и кососимметрнчен. Операторы векторного умножения на всевозможные векторы трехмерного пространства е образуют линейное подиространство пространства всех кососимметрических операторов. Размерность этого надпространства равна 3. Поэтому надпространство, образованное векторными умножениями, совпадает с пространством всех кососимматрических операторов, ч. т. д.
Окончание доказательства теоремы. Согласно леммам 1, 2 д = Ад = (е, д1, ч. т. д. В декартовых координатах оператор А задается кососимметрнческой матрицей; обозначим ее элементы через ~е,,г,в. А= въ Π— «ч. Прн таком обозначении элементов вектор е = — е,ег + егев + + е в, будет собственным с собственным значением О. Применяя А к вектору д = д ет + д,вг + дгв„получаем непосредственной выкладкой Ад = (е, д1. Д. Переносная скорость. Случай чиппо вращательного движения.
Пусть теперь система К врашается (т = О), а точка в системе К движется (9 ф= 0). Из (2) находим (рнс. 106). д=ВЯ+В9=(е, д1+в'. Иначе говоря, доказана Т е о р е м а. Если подвижная система К вращается отпносительно О ч= к, то абсолютная скорость равна сумме относитыьной $ 27. силы инеРции. силА кОРиолисА 115. и переносной скоростей вращения: + ~я1 где и = д е= к — абсолютном скорость, и = В(г б= й — относительная скорость, С„=В(г =(ы, д) ~й — переносная скоростпь вращения Наконец, общий случай можно свести к двум предыдущим, рассматривая вспомогательную подвижную систему Кт, движущуюся поступательно относительно и и относительно которой К движется, вращаясь вокруг О б= Кы Можно также и из формулы (2) усмотреть, что + ив +по где и = д б= й — абсолютная скорость, и' = В(г' ~== й — относительная скорость, и„= В(г = [се, д — х) ~ й — переносная скорость вращения, ие = Р б= й — скоростьдвижения подвиж- Рве а ной системы координата.
3 а д а ч а. Покажите, что угловая скорость твердого тела не зависит от выбора начала координат подвижной системы К в теле. 3 а д а ч а. Покажите, что самое общее перемещение твердого. тела есть винтовое перемещение, т. е. произведение поворота иа. угол ~р вокруг некоторой оси и сдвига ка й вдоль нее.
3 а д а ч а. На столе лежат часы. Найти угловую скорость часовой стрелки в) относительно Земли, б) относительно пнерцивльной системы координат. У к а а а и и е. Если двиы три системы координат я, К„Кт, то угло-. вая скорость Кт относительно я равна сумме угловых скоростей К относительно Е п К относительно К,.
Ибо (Е + А ~г + ...) (Е + А тт + ...) = Е + (А + А ) г +... $ 2Ч. Силн инерции. Сила Кориолиса Уравнения движения в иеинерцивльпой системе координат отличаются. от уравнений двюкевия в инерцивльной системе дополнительными слагаемыми,называемыми силами инерции. Это позволяет экспериментально обнаруживать неинерцпальность (например, вращение Земли вокруг ее сои). А. Поступательно движущаяся система координат. Т е о р е м а. В системе координат К, движущейся поступательно относительно инерциальной й, движение механических сис— тем происходит так, как если бы система координат была инер— Циальной, но на каждую точку массы т действовала дополнительная соила инерциие Х' = — тр, где р — ускорение системы К. И6 Гл.
«. твк гдов телО Д о к а з а т е л ь с т в о. Если (в = д — и (1), то т(в =- тд— — тй. Влияние поступателького двпжекия системы коордииат сводится, таким образом, к появлению дополкителького одиород- ного силового котя — те)", где еà — ускорение Г начала координат, ч. т. д. ьд П р и ы е р 1.
Ракета прп старте имеет иаправлав- иое вверх ускорение е (рис. 107). В соответствии с атпч ш(у Г) система коордияаг К, свиеакпая с ракетой, ие пиерцпальяа, и наблюдатель, находящийся внутри, может обяарулкить появление силового поле — ти', и померить силы ииерции, иаприллер, пружаикыми веоалш. В атом случае сила ииерции иальгаается перегд«екал. П р и и е р 2.
При прыжке с вышке прыгун имеет ускорение д, иапраалоияое еппа. В соответствии с этим сумма спл ииерцип и веса раева нулю; пружинные весы покааыеают, что вгс любого предмета равен нулю, поатему такое состоякпо вааыаается нееееояоетыо. Точно так же при саободвом баллистическом полете спутника яаблюдаегся невесомость, таи как сила инерции протаеоположиа силе притяжевпя Землей. П р и и е р 3. Если точка подвеса маятиака движется с ускореяием И" (л), то ллаятиик движется так, яак есчп бы ускореипе силы тяжести д было паремеивым и раавмм и — и' (1). Б. Вращающаяся система коордииат.
Пусть В,: К вЂ” й — вращеиие системы иоордииат К относительно неподвижной системы коордияат )е. Будем обозначать через 9 (?) б= К радиус-вектор движущейся точки в подвижной системе координат, а через (? (л) = =- Вл(в (1) б= )с — в неподвижной. Вектор угловой скорости вращения в подвижной системе координат обозиачим, как в з 26. через ь?. Предполояим, что в системе координат )г движение точки (( подчиняется уравнению Ньютона тд = Х (е? я). Т е о р е м а.
Во вращающейся систелы координат движение происходит так, как если бы на каждую движущуякя яючку (в ллассы т дейсгпвовали три дополнительные «силы инерциилн сила инерции вращения — т [л?, 9), сила Кориолиса — 2т [л?, (в!, центробежная сила — т Н?, [л?, (в)1. Итак, я)Я=Р— т[Я, ٠— 2т[(?, ф — тф, [Я, 0Ц. Вр ((?, О) = Г (Ва, (ВВ). Первая иа трех сил инерции наблюдается лишь в случае керавномерного вращения; вторая и третья присутствуют и при равномерном вращении. Цектробелкяая сила (рис. 108) направлена всегда от мгновенной оси вращения ь?, и равна по величине [ ь? ['г, где г — расстояиив 1 27. силы инеРпия.
силА коРиолисА до этой оси. Эта сила не зависит от сяоростн относительного движения и депствует дике на покояп(неся в системе координат К тела. Сила Кориолиса зависит от скорости 1у В северном полушарии Земли опа отклоняет всякое движущееся по Зе[а,4 мле тело вправо. и падающее — па восток. 1? 1?„ч) Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы. Заг метим, по дла любого вектора Х с=. К имеем -Жа4 ВХ = В [11, Х[.
Депствптельно, согласно 9 26, .ВХ = [ш, а[ = [В(?, ВХ[. Это равно В [1ю Х[, таи как оператор В сохраняет метрику и ориентацию, а потому и векторное произведение. Из гт =. ВД заключаем, что 1? = В9 + Вл =- В ((л + [Я, (л[). Дифференцируя еще раз, находим ~ = В((~ 1 [(), ~]) -(- В((1 -)-1(?, Я + [(?, О[) = =В([а, а+[(,В)1+ О+[[,и+[(?.О[)= = В (Д + 2 [1), (;)1+ [1?, [1?, 911+ [Й, Щ), ч.
т. д. о — о4 = ту+ 2т[(), 1)1 (цевтробежкая сила учтена в Н). П р и и е р 1. Камель брошен (без начальной скорости) в шахту глубвпой 250 и па широте Деняиграда (й = 60'). Насколько ок отклонятся от вертякалп? Решаем уравневпе Я = а + 2 ((). 1)1 последовательвымя прпблшкепвямя, учвтывая, что Р ~«( 1. Положим (рвс. 109) ин (3 = ггг+(?а.
где (?т(0) =()т(0) = О, а ()г= (27(0)+ Для (?т получки тогда 21 ата 3 [н' 1 3 [ ' 1' 2 (). = 2[нг. а[+ 9 (1)т) (Мы еще раз воспользовались соотношением ВХ = В [1?, Х[; на этот раз .Х = Д + [1?, ()1.) Расслготрям подробнее влояппе вршценля Земли па лабораторные аксперпмевты. Так как Земля вращается практическв равномерно, можно счятать Й = О. Цевтробеяшая сила наибольшее значепве имеет па акваторе, Пар (7,3 10 ь)т 6,4.10а 3 где опа достигает — — веса. Однако в 9,8 1000 пределах лабораторлп она меняется мало, я потому для ее ваблюдеаия приходятся путешествовать. В соответствии со скааавным, в пределах лабораторяв вращекле Земли проявляется лишь в виде силы )(ориолпса: в системе координат (), свяааипой с Землей, с большой точностью гл.
в. чвкрдок ткло Отсюда видно, что камень отклоняется на Восток примерно на 21 27 1 — )Ь ((й(соей= †. 250 7 10 о ° — м=4 см. 3 3 2 3 а д а ч а. Насколько сила Кориолиса отклонит от падения обратно н жерло пущенный вертикально вверх в Ленинграде снаряд, если он поднялся ва 1 км7 П ример 2.
Маятник Фуко. Рассмотрим малые колебания математического маятника с учетом силы Кориолиса. Пусть оси е„, е„, е системы координат, снявавной с Землей, направлены: е, — ннерх, ек, ен — в гори" вовтальной плоскости (рис. ИО), В првближенив малых колебаний в = 0 (по сран- е,о Яи Рнс. 109. Отнлоневне подающею камна силой Бсрнолнса Рнс. НО.
Снстема коорвннат Лвя кссвеаовоння движения моятннна Фуко вению с е, у), помюму горилонтальная составляющая силы Кориолнса будет 2туй,ек — 2ногй,ен. Отсюда получаем уранневвя движения Г:--,— ' " и = — мок -(- 2уй„ у 2 я (йо=(й!61пяо, Где )м — широта) я Если положить к+ 1У = ю, то ю = е+ 1У, В = К + 1Уо и Дна УРан" некиа сводятся к одному комплексному Ы+ 12й,ю+ Фею = О.
Решаем егоо ю= е11, )Р+ 21йяХ+ Фв= О, Х= — 1й ~1 1/йв ) е Но й~~ «» Фв. Повтому у' йе + Фо = Ф + О (йо), откуда, пренебрегая йв, или, с той же точностью, ве(е „4ме +, е-ене) -ш Рве. 111. Трвонтовнк мвнтвинв Фуко При й, = 0 получаются обычные гарвюнические конебавин сферического маятника. Мы видим, что влияние силы Кориолиса приводит к вращению всей картины с угловой скоростыо — йя, где ( йо) = ) й ( в(п хе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
