В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 26
Текст из файла (страница 26)
3) на угол ф вокруг оси еа. При эхом ен переходит в еа, а ел остается на месте. 133 $ ю. волчок лА7РАнжя В результате всех трех вращений е„переходит в е„а е, в е, поэтому ев переходит в ег. Углы ср, ср„О называются углами Эйлера. Легко доказывается Т е о р е м а. Каждой тройке чисел ср, В, ср предыдущая кон струкция сопостаеляпп вращение трехмерного пространства В (ср, О, ср) с-= ЯО(3), переводящее репер (е„, ею е,) в репер (ес„ ею ег). При эвюм отображение (ср, О, ср) В (ср, 6, ср) задает ло- кальные координаты 0 "ср(2л, 0(ср(2л, 0(О~л в конфигурасрионном пространстве волчка ЯО(3). Подобно географической долготе, ср и ср можно считать углами шос1 2л; при О = О или 6 = л отображение (ср, 8, ср) — В имеет особенность типа полюса. Б.
Вычисление функции Лагранжа. Выразим функцию Лаг- ранжа через координаты ср, О, ср и их производные. Потенциальная энергия, очевидно, равна В = Щ гусст = туге = тус созВ, где г — высота центра тяжести над О (рис. т25). Сосчитаем кинетическую энергию. Здесь полезна маленькая хитрость: рассмотрим частный случай, когда ср = ср = О. Л е м м а.,Угловая скоросспь волчка выражается через произ- водные углов Эйлера по формуле ю=Вес+(срзспО)е, + (ср+ срсозВ)ез, если ср=ф=О.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим скорость точки волчка, аанимающей в момент времени с положение г . Через время йс эта точка займет положение (с точностью до (~й)г) В(р+йр, В+йВ, р+йф)В-(р, В,ф)г, где йср = ср с?с, сЮ = 8 с?с, ссср = фйс. Следовательно, с той же точностью вектор перемещения есть сумма трех слагаемых В (ср + йср, 8, ср)В с (ср, 6, ср)г — и = (ее, гМ, В (ср, 6 + сЮ, ср)В с (ср, 8, ср)г — г = (юе, к)й, В (ср, 6, ф + ссср?В 1(ср, 6 ф)к — г = (юе г)йс (угловые скорости ю, юе и юе определены этими формулами). Поэтому скорость точки г есть в = (юе + юе + юе, т).
Итак, угловая скорость тела есть где слагаемые определены предыдущими формулами. ГЛ, З. ТВЕРДОЕ 'ТЕЛО Остается разложить по е«, ез, ез векторы езз, ав и о«с. До снх пор мы не пользовались тем, что «р = ф = О. Если «р = ф = О, то В(р+ Ьр,Е,ф)В-«(ф, Е,ф) есть просто вращение вокруг оси е, на угол Йр, так что аз — Фе,. Далее, В («р, 6+ «16, ф)в з («р, 6, ф) есть в случае «р = ф = О просто вращение вокруг оси еи = е = е«на угол ««6, так что аз= ее«. Наконец, В (ф, 8, ф + «1«р)В «(«р, Е, ф) есть вращение на угол «рф вокруг осн ез, поэтому езс — фаз. Окончательно, при «р = ф = О получаем а = фе, + ее, + фе .
Но очевидно при ф = ф = О е, = е,сов 8 + е, в«п 6. Итак, компоненты угловой скорости по осям иьврцин е, ез, ез суть , = 8, а, = р взп е, а, = ф + ф сов е, д. Поскольку Т= ~ (1«аз«+ 1,а, +1з«оз), кинетическая энергия з з з з прн ф = ф = О дается формулой Т = — (Ез+ ф~в«пзЕ) + — (ф+ ф сове)з. Но кинетическая энергия от «р и ф аависеть не может: это циклические координаты, и не меняющим Т выбором начала отсчета «р и ф мы всегда можем сделать ф = О, ф = О. Итак, полученная формула для кинетической энергии справедлива при всех «р, ф.
Мы получаем, таким образом, функцию Лагранжа В=+(Ез+ фзв1пзе)+ 2' (ф+ феосе)' — л«усове. Г. Исследование движения. Циклическим координатам «р, ф соответствуют первые интегралы — =М,=ф(1,в«пзе+1зсовзЕ)+ ф1,сове, дЬ д«р дА = «)з з = ф1з сов 6 + фйз дф $30. ВОЛЧОК ЛАГРАНЖА Т е о р е и а. Наклон 6 оси волчка к вертикали лиияется со временем так же, как в одномерной системе с энерэией Е'= 2 0'+ П.ае(0), эде эффективная потенииольная энереия дается формулой се= 2г, .
е + тФсоэ6 (м,— м, ер Д о к а а а т е л ь с т в о. В соответствии с общей теорией выраэим ф и ф через это и М,. Получим полную энергию системы в виде Е= — 0'+ — +ту1соэ0+ 1а э (М, м, е)э 2 21э 21~ э1оэ Е М, — Мэ соэ Е 11 в1ос Е э Постоянный по 6 член — =Š— Е на уравнение для 0 не влияет 2~э Теорема доказана. Чтобы изучить полученную одномерную систему, удобно сде- лать замену соэ 6 = и ( — 1 «( и ч 1). Обоэначая, кроме того, Мс Ма 2Е' 2шв3 — =а, — =Ь, — =а, — =р)О, г, мы можем переписать эакон сохранения энергии Е' в виде йэ = ) (и), где 1 (и) = (сс — ()и)(1 — иэ) — (а — Ьи)с, и эакон иэменения азимута ~р в виде а — Аи т — ис Заметим, что ~ (и) — полинам третьей степени, ~ (+ о) = + о а ~ (~ 1) = — (а+ Ь)э -О, если только а ~ ~ Ь.
С другой стороны, действительному движению отвечают лишь такие постоянные а, Ь, а, р, при которых 1 (и) ~ )О при некоторых — 1 ~ (и(1. Итак, ~ (и) имеет ровно два вещественных корня и, иэ на отреаке — 1 ( и ( 1 (и один при и ) 1, рис. 127). Следовательно, наклон оси волчка 6 меняется периодически между двумя предельными значениями 0„6э (рис. 128).
Это периодическое иэменение наклона наэывается нутаиией. Рассмотрим теперь движение оси волчка по азимуту. Точка пересечения оси с единичной сферой движется в кольце между параллелями О, и ес. При этом изменение азимута оси определяется Гл. 6. 'твердое тело уравнением и — ов — „с Если корень и' уравнения а = Ьи лежит вне (и„из), то угол ,р меняется монотонно и ось чертит на единичной сфере кривую типа синусоиды (рис. 128, а).
Если корень и' уравнения а = Ьи лежит внутри (и„из), то скорости изменения 1р на параллелях 0, и 62 противоположны, и ось чертит на сфере кривую с петлями (рис. 128, 6). Если же корень и' уравнения а = Ьи лежит на краю (скажем, и' = из), то ось чертит кривую с остриями (ркс. 128, е). а! Рнс. 127. Грааля Егньпнн Г (н> Рнс. 128. След осн волчка нл единичной сеере Последний случай, хотя и исключительный, наблюдается всякий раз, когда мы отпускаем ось запущенного с наклоном 82 волчка без начальной скорости: волчок сперва падает, но потом вновь поднимается.
Азимутальное двюкение оси волчка называется преиессией. Окончательное движение волчка состоит из вращения вокруг собственной оси, нутации и прецессии. Каждое из трех движений имеет свою частоту. Если частоты несоизмеримы, то волчок никогда не возвращается в начальное состояние, хотя и подходит к нему сколь угодно близко. е 81. Спящий волчок и быстрып волчок Полученные в 1 30 формуды снодяг решение уравкеюш двпжеипя волчка к эллиптическим ннндрнтурзм. Однако качественные выводы о двлженнп обычно проще получать, пе обращаясь я квадратурам. В вгом параграфе исследуется устойчивость вергнянльно стоящего волчка и даны прпблнжепные формулы для двп>веияя быстро запущенного волчка. А.
Спящий волчок. Рассмотривг сперва частное решение уравнений движения, при котором ось волчка все время вертикальна (8 = О) и утловая скорость постоянна (еспящию> волчок). В атом случае, очевидно, М, = М, = гзо>з (рис. 129). 3 а д а ч н. Показать, что сгвцноаврное вращение вокруг вертпявля всегда неустойчиво по Ляпунову. 5 з1. спящий ВолчОк и выстРыи ВОлчОк АЗУ Мы рассмотрим движение оси волчка, а не самого волчка. Будет ли ось волчка устойчиво оставаться вблизи вертикали, т. е.
будет ли О оставаться малымт Разлонппи эффективную потенциальную энергию системы (М вЂ” Мз соз О)з Огас 21 яза + тф СОЗО в ряд по степеням О. Находим е4 1ЗЕ11— з з 4 Яз 2Т Оз + ' .. — тя) — а-+ - . = 1 в С+Аде+..., А= Рвс 129. Сяяа1ва волчок Если А ь О, положение равновесия О = О одномерной системы устойчиво, а если А ( О,— неустойчиво. Итак, условие устой11иво— сти имеет вид з 4мс)11 сез 1 ~з Б. Быстрый волчок. Волчок называется быстрым, если кинетическая энергия его вращения велика по сравнению с потенциальной: — 1доз ь тра. 1 3 Из соображений подобия ясно, что увеличение угловой скорости в Лт раз в точности эквивалентно уыеньшеяню веса в Хз раз.
Т е о р е и а. Если, сохраняя начальное положение волчка, увеличить в Х раг угловую скорость, то тпрасятория волчка будет в точности такой жс, как если бы угловая скорость осталась прежней, а ускорение силы тяжести у умсньш лось в Л" раз. При этом в случае большей угловой скорости траектория, рагумсспия, проходится в Л' раз быстрее*). *) Обоакачим чеРег кг 11, й) положеиие волчка в момент вРемени при иачальком условии фж ТЪО(З) и ускореяии силы тя1кести В. Тогда теорема утверждает, что рг (1, )Уа) = рн, (жс, з). Иогда трение уменыпает скорость спящего волчка ниже этого предела, он просыпается.
3 а д а ч а. Докажите, что яри е1~~ 1 ось сяящего волчка ус4тВИ1 11 з тойчява и относительно таких возмущений, которые меняют аиачеяяя М„ Мз, а ие только 8. ГЛ. З. ТВЕРДОЕ ТЕЛО У~в. Сгктт = 1 Доказательство. В отсутствие силы тяжести эффективная потенциальная эиэргия сводится к (М,— И, О)з эФФ 2У1 эиР В Ркс. 1ЗО.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
