В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 27
Текст из файла (страница 27)
ЗФЕэкаквкэя пстскцвэлькэя нирхкя волчка Эта иэотрицатэльиал функции имеет нулевой минимум при угле В = О, опрэделэвиоы условием Мх = Мз соз Вз (рис. 130). Итак, угол наклона Вз оси волчка к вертикали — устойчивый стационарный: при малом отклонении начального каплана О от Оз будут происходить периодические колсбэивя О около Ор (иутацил). Частоту этих колебаний легко определить по об1цэй формуле: частота малых колебаний в одномерной системе с виергией асз — +у(х), у(хэ)=тшу(х! определяется формулой (5 22, 1) Цк ( ыэ а Энергия одномерной састемн, описыва1о1цэй колебания наклона оси волчка, есть 1д 2 + эФФ' Ври О = В„+ х находим М, — Мз соз В = М, ( О, — (Оз+ х)) = = М,*э(пЕ,+О(хз) Мэз х Мп Вэ ~з'"з У~ФФ= 2( .
зб +о(х ) — 2у х +."~ откуда получаем длл частоты кутации выражение тзез ыктт = у 1 М вЂ” Мз соз В Из формулы ф = ' ., видно, что при 6 = О„азимут оси также не меняется со временем: ось неподвижна. Азимутальное Таким образом, мы можем исследовать случай у-ьО, и применять полученные результаты для научения случая в -ь оо. Рассмотрим сперва случай у = О, т. е. движение симметричного волчка в отсутствие силы тяжести. Сравним два описания этого движения: по Лагранжу (2 30, Г) и по Пуансо 6 29, В). Рассмотрим вначале уравнение Лагранжа для изменения угла наклона оси волчка Э. Л е м и а. В отсулитпвис силы тяжести угол О, для которою 1й = Мз соэ Оэ, ллзлстсл Устойчивым положением Равновесиа уравнения движения оси волчка. Частпота малых колебаний 8 около много поло- жения равновесия равна е м.
спящин волчок н выстуыи волчок 1ОО движение оси при малом отклонении О от О монсно было бы также изучить с помощью этой формулы, но мы поступим иначе. Движение волчка в отсутствие силы тяжести можно рассматривать как движение по Пуансо. Следовательно, ось волчка равномерно вращается вокруг вектора кинетического момента, сохраняю- ж щего свое положение в простран- г стае, Ш Итак, ось волчка описывает на ,)) сфере окружность, центр которой соответствует вектору кинетического момента (рис. з31). и 3 а м е ч а и и е.
Таким обрааом, то движеинс оси волчка, которое по унс. еаь сравнение опвсанввдевтенне Лагранжу иавывается нутаоизй, в опи- волчке сс легсавту н г~о пуансо сании движения Пуавсо иазываетсн кргузссивй. Разумеется, полученная выше формула для частоты малой нутации сг„у, = 1вюе)1, согласуется с формулой частоты прецессии ю = М)1, в движении по Пуансо: когда амплитуда нутации стремится в нулю, 1зюе — М. В. Волчок в слабом поле. Перейдем теперь к случаю, когда сила веса не отсутствуег, ио очень мала (при атом зкаченияйМ„ Мв фиксированы). В этом случае к аффективной потенциальной энергии добавляется слагаемое лгй( соз О, малое вместе с производными. Покажем, что зто слагаемое мало меняет частоту нутацяи.
тев(лв Л е и м а. Пусть Фуикчил ) (х) имеет Фз) минимум нри х = О и тс лоровснов разложв- хе кив)(х) =А 2 +..., А)О. Пусть Яуикчил дд)Л) Л (х) имеет в О тсйлор озонов разложение Ь (х) = В+ Сч+ ... Тогда нри достаточно малом с функзил ) (х) = ) (х) + ей (х) хв л имеет минимум в близкой ко точкс (рис. (32) ввс. тат. Псреммценвв нввнмума прн малом взнененвн гунн..=- — '„'+О(=). пвв При этом )е (х ) = А + 0 (с). Дейстнительио, имеем )е (х) = Ах + С с + 0(сх) + 0 (хз), и результат получается примеисиием и )е (х) теоремы о неявкой фуикции. Согласно лемме аффективная потенциальная энергия при малых и имеет близкую к О, точку минимума О, причем в этой точке 1) мало отличается от 1)" (О,).
Следовательйо, частота малой нутации около Ос близка к полученному при й = О значению: Ищ с'нут = сгв- ух= г, Гл. 3. т'веРдОе тело в в Рэе. 133. Онреаеленае заплат~ам кутенка Рис. 134. Даамеаае оса золтаа Мы уже внаем из 1 ЗВ,Г, что при наших начальных услоэиях ось аолчна чертит на сфере кривую с остриями.
Применим лемму к нахождению точки минимума Вв жйектиэной потенциальной энергии. Положим (рпс. 133) 6 = Вз + х, соз В = сы Ве — х 31п Вр +... Тогда получим, как эмше, тейлорозские раааожения по х узвз Гт ЕЕ~ = 31 хз+..., 1аггсозВ=жг3созее — хгвг~зшее+... применяя лемму к 1 = гтсеэ)з 3, в= е, ь = ж3соз (Вр+ х), находим, что минимум эффьнтиэной потезщиальной энергии П достигается при угле наклона ттт33ш Вз В =Ве+х, В+О(гзд 3 3 Г. Быстро напущенный волчок. Рассмотрим теперь специальные начальные условия, когда мы отпускаем ось волчка без начального толчка иа положения с наклоном Ве к вертикали.
Т е о р е м а. Если в начальный момент ось волчка неподвижна (ф = В = 0) и волчок быстро вразцаанся вокруг своей оси (вз — ь ъ оо), наклоненном к вертикали под углом 83 (Мз = вг3 сог Ве) ° тО аеиннтзтиЧССКи ПРи Вз- ОО1 1) частпота нутации пропорциональна угловой скорости; 2) амп пипуда нутации обратно пропорциональна квадрату угловой скорости; 3) частпота прецессии обратно пропорциональна угловой скорости; 4) справедливы асимптотические формулы (при вз -т оо) ~а гФФ ° юг'~ ватт вз~ аэтт 31п Ве, варек у т ' Ь; з 3 ( здесь Г'(в ) д(о.), если 11ш — = 1) . е В Для доказательства перейдем к случаю, когда начальная угловая скорость фиксирована, но у- О.
Истолковывая натек полученные формулы с помощью подобия (см. пункт Б), получим сформулированную теорему. 1 Зз. СПЯП)ИИ ВОЛЧОК И ВЫСтЭЫИ ВОЛЧОК 14$ Итак, наклон оси волчка О будет колебатьсн около Вз (рис. 134). Но в начальный момент В = Ве, а 0 = О. Значит, В, соответствует наивысшему положению оси волчка.
Итак, при малых у амплитуда нутации асимптотически равна Егт1 яп Ве 'в„-зз- з з а (а-О). Езыз Теперь найдем прецесспонное двшкею1е оси. Иэ общей формулы М, — Мз соз 0 Е,И зО при М, = Мз соз Ор. В = В + х, находам М, — Мз сов В = ЛХззз1п Ое+ поэтому Мз Ф Е з(пО з+ Но з колеблегсн от О до йгз гармоипческп (с точностью до О (вз)). Поэтому среднее эа период иутаций значение скорости прецессии асикптотически равно Мз юу) Тг- . — — (а-0) ° Ег з)п Ве ь' Езмз 3 а д а ч а, Доказать. по и (1) — <р (О) 1(п1 1пп = 1. тд! Езеч ЧАСТЫП ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА Гамнльтонова механика — это геометрия в фазовом пространстве. Фаэовое пространство имеет структуру симллектического многообразия.
На снмплектическом многообразии действует группа симплектнческих диффеоморфиэмов. Основные понятия и теоремы гамильтоновой механики (даже если они и формулируются в терминах локальных симплектических координат) инвариантны относительно этой группы (и относительно более широкой группы преобразований, затрагивающих также и время). Гамильтонова механическая система задается четномерным многообразием (вфаэовым пространствомэ), симплектнческой структурой на нем (аинтегральным инварнантом Пуанкареэ) и функцией на нем (эфункцией Гамильтснаэ).
Каждая однопараметрическая группа снмплектических диффеоморфнзмов фазового пространства, сохраняющих функцию Гамильтона, связана с первым интегралом уравнений движения. Лагранжева механика включается в гамильтонову как частный случай (фаэовое пространство в этом случае есть кокасателъное расслоение конфигурационного, а функция Гамильтона — преобразование Лежандра функции Лагранжа).
Гамильтонова точка зрения позволяет исследовать до конца ряд задач механики, не поддающихся решению иными средствами (например, задачу о притяжении двумя неподвижными центрами и задачу о геодезических на трехосном эллипсонде). Еще большее значение гамильтонова точка зрения имеет для приближенных методов теории возмущений (небесная механика), для понимания общего характера движения в сложных механических системах (эргодическая теория, статистическая механика) и в связи с другими разделами математической физики (оптика, квантоваи механика и т. п.).
ГЛАВА 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ Дифференциальные внешние формы возникают при обобщении на многомерный случай таких понятий, как работа поля на пути и поток жидкости череа поверхность. Гамильтонову механику нелъзя понять беэ дифференциальных форм.
Нужные нам сведения о дифференциальных формах — это внешнее умнов~ение, внешнее дифференцирование, интегрирование и формула Стокса. $ 32 Внедпния ФОРмы $ 32. Внешние формы 1фз Здесь определены внешние аигебраическне формы. А. 1-формы. Пусть К" — п-мерное вещественное линейное пространство *). Векторы этого пространства будем обозначать через $, т), ... О п р е д е л е н и е. Формой степени 1 (или, короче, 1-(рормой) называется линейная функция от вектора, еп К" -«К, ш (ЛДд + ЛДт) = Лдод ($1) + Хвго (фт), д(гЛт, Ла 6= К, Ц, Ет е= К Напомню основные факты об 1-формах, известные из линейной алгебры.
Множество всех 1-форм превращается в вещественное линейное пространство, если определить сумму форм формулой р:1аип) (шд+ ше) й) =,(~)+ шт(2), сд®=ЯП а умножение на число — формулой 14тераггмсмгв) (Лдо) ($) = Лдо (с) сваи — 1 ЕОРка от Пространство 1-форм на К" саля и-мерно и на- веремещеваа эывается также сопряженным пространством, (К") *. Пусть в К" выбрана линейная система координат, хд,..., х„. Каждая координата, например хд, сама является 1-формой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
