В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Оюза. ез, О, В ориентированном трехмерном евклидовом пространстве каждому вектору А соответствуют 1-форма ю~л и 2-форма од~а, определяемые условиямн юл (й) = (А, $), юл ($, д)) = (А, $, т)), д/2, т) д:== йз. Соответствие между векторными полями и формами не зависит от системы координат, но лишь от евклидовой структуры и ориентации. Поэтому каждому векторному полю 4 на нашем многообразии М соответствуют дифференциальная 1-форма а~л на д(Х и дифференциальная 2-форма «дл на )(Х. Формулы перехода от полей к формам и обратно имеют в каждой системе координат свой специальный внд. Пусть в координатах хд, хз, хз, описанных выше, векторное поле имеет вид А = Аде, + А,ез + Азиз (компоненты А, — гладкие функции на многообрааии йХ).
Соответствующая 1-форм» юл разлагается по базису дхд, а соответствующая 2-форма юззл — по базису Нхд /д, Ихя 3 а д а ч а 15. Зная компоиеиты векторкого полн А, найти рааложевия 1-формы Фдл и 2-фордды Фзл. Р е ш е и и е. Имеем Флд (ед) = (А, ед) = Ад. В то же время (адддхд + + азахз + азАмз) (ер = адлхд (ед) = ад/ т' Гд Отсюда иаходим а, = А, )/Е„. тзк что Фл = Ад(/ ЕдИхд + Ад~ Езд)хз + Аз(/Езлхз. Точно так же имеем Фз (е, ез) = (А,'ед, ез) = А,. В то же время 1 (идахз Л Ахз+атлхзЛ Ахд+ивлхд Л Лхд) (ез.
ез) =ид $/Ед Ез Отдтода ид = Ад)/ЕзЕз, т. е. ФА — — Ад)/ЕзЕдАхд Л Ихз + А ар Езндд)хз Л дхд + Аз)/ЕдЕдлхд Л д)хз. гл. т. диФФЙРенциАльные Фогмы Ь яастностн, в декартовых, цвлнндрнчесннх н сфервческвх коордвватах в Иа векторному пвпо А=А„Е„+А„Е„+Апет=л,с„+А Е +А,Е,=АВЕа+А Е +А»Е» отвечает 1-форма ы~л = Ахйх+ Авйу+ Адйх = А„йг+ гАейе+ А,йх = = А йВ + В соа О А, йе + ВА»йз н 2-форма Фаад = Ахйу Д йт + А,йх Д йх + Агйх Д йу = = гАгйе Д йх + А йх Д йг+ гА йг Д йе = = Ва соа ОА йр Д йО + ВА йО Д йВ + В сое ОА,йВ Д й р. Примером векторного поля на многообразии М является градиент функции /: М-э К. Напомню, что градиентом функции называется векторное поле исай/, соответствующее дифференциалу: щае~=гЧ, т. е. о1(5)=(йтай/, 5).
ч'з. 3 а д а ч а 16. Найти компоненты градиента функции в ба»кое ег, ет, еа. д/ д/ д/ Р е ш е н к е. Имеем й1 = — йхг+ — йхх+ — йха. Согласно пре- дх1 дха дха дыдущей задаче д1 1 д/ Огай1= = — е,+ — — ох+ 1/Вг дхг ~/у" дхт у"В дх В частности, з декартовых, цнлнндрнческвх н сфернческкх коордннатах д/ д1 д1 д/ 1 д1 д1 агай1= — е + — е + — е = — е + — — е + — е дх х ду и дх х дг г г де Е дх х д1 д/ т д1 — е + — — е+ — — е дВ и В»о»О де е В дО Е' О 35. Интегрирование дифференциальных форм Здесь определены понятия цепи, граввцы цеш~ н внтеграла фюрмы поцепв.
Интеграл дифференциальной формы есть многомерное обобщение таких понятвй, как поток жидкости через поверхносп Ф влн работа силы нв пути. А. Интеграл 1-формы по пути. Начг1 нем с интегрирования 1-формы шг на многообразии М. Пусть у: 10 ( 8 «( 1) — ~- а М вЂ” гладкое отображение (пнуть интегрирования»). Интеграл формы ш' на пути у определяется как предел интегРас.
ЫЕ. Иатегрщювв ае раЛЬНЫХ СУММ. КажДая ИНтЕГРаЛЬНаЯ СУМ- ьсоркн по птга ма составляется из аначений формы ш" на касательных векторах $, (рис. 146): и ) ог' = 1Нп ~~~ шг (в,). т $ 34. интеГРировАние диФФеРенциАльных Форм 159 Касательные векторы Г, строятся следующим образом. Отрезок Оч, 1 (1 точками 1, делится на части 44;: 14 ~(1 ( 1~,.
Отрезок 444 можно рассматривать как касательный вектор Ле к оси 1 в точке 1ы Его образ в касательном пространстве к М в точке у (44) и есть 1,= (у~ц(Л,.)~ТМ„„Р Прн стремлении наибольшего из отрезков 41; к нулю интегральные суммы имеют предел. Он и называется интегралом 1-формы юг по пути у. Замысел определения интеграла Й-формы по й-мерной поверхности аналогичен. Поверхность интегрирования разбивается на малые криволинейные й-мерные параллелепипеды (рис. 147); Рис. 147.
Интегрирсввние 2-асины не псверннссти Рпс. 448. Ингесриреввнне 4-фер- ий в ь-иернси пространстве эти параллелепипеды заменяются параллелепипедами в касательном пространстве, сумма значений формы на параллечепнпедах касательного пространства стремится к интегралу при измельчении разбиения. Рассмотрим вначале частный случай, Б. Интеграл й-формы в й-мерном ориентированном евклидовом пространстве К". Пусть х„..., х„— ориентирующая система координат в К». Тогда всякая й-форма в Кэ пропорциональна фоРме 41хг Д... /~ Ихэ, т. е.
имеет виД ю" = сР (х) дхг /~... ... /~ свхэ, где «р(х) — гладкая функция. Пусть Э вЂ” выпуклый ограниченный эшогогранник в Ке (рис. 148). По определению, интегралом формы юэ по П нааывается интеграл функции чс ~юэ = ~ср(х)дх,... 4(хю в и где интеграл справа понимается как предел обычных римановых интегральных сумм. Такое определение является реализацией намеченного выше замысла, так как в рассматриваемом случае касательное пространство к многообразнго отождествляется с многообразием. 3 н д н ч н 1.
Деиэжите, что ~Ф ээвисит от ФЭ линейно. 3 э д а ч а 2. Деиэжиге, что если рнэбить Р нн лэа выпуклых многогранника, Р, и Рв, те ~Ф" = ~со" + ~ыэ. в л, в, »60 ГЛ. 7. ДИФФЕРЕНЦНАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В общем случае ()с-форма в и-мерном пространстве) отождествить элементы разбиения с касательными параллелепипедами не так просто; ниже мы сведем этот случай к рассмотренному. В. Поведение дифференциальных форм при отобрюкениях. 'Пусть »: М вЂ” ь»г' — дифференцируемое отображение гладкого многообразия М в гладкое многообра! зие К н »о — дифференциальная Й- форма на )г' (рис. »49).
Тогда на М также возникает определенная )с-форма; она обознача- ется через уов и определяется со- отношением Рвс. !49. ФоРма ва я мвлуввруот форму но Ж 0»в)('= ° 'бв) = в (У З ° ° * 'ЛЛо) при любых касательных векторах 3„..., Ео !=, :ТМ . Здесь )о есть дифференциал отображения ). Иными словами, значение формы )ов на векторах 3»,..., ло равно значению формы в на образах этих векторов. П р л ы е р.
Если р = у (х», х») = х»+ хо в в = »)у, то 1»в = 2х»!Ь, + 2х»лх». 3 о д а ч о 3. Доквла»то, что у«в ость й-форма во М. 3 о д о ч о 4. Докажите, что отобрвжовво у«сохровяот опорапвв вод форма«»в! ( ()чв! + )чо32) ) и» (в!) + Л У» (в») (* (в, /~ в») = ((*в,) /!, (Х'в»). 3 а д о ч о 5. пусть л ! ь и — двффоровцвруеыоо отображоввс. Докажвте, что ()Г)» = а«!*. 3 о д о ч а б.
Пусть П! в П» — дво коыпактвых выпуклых мвогогрощп»- ко в орвовтироваввоы Ь-моравы простравство Ев в ( ! ))! П» — двффсревцврусмос отобрвжевпе, осуществляющее диффеоьюрфноо»), сохраввющсе орвоятоцлю огсбраженво ввутроввоств Э! во внутренность П». Тогда для .любой двффоровцкольвой х-формы вв в Ю» )(«в =)в. щ оа 1.::::'.) д(уг'"' р ) З(х . Ф(Р(х))бх!"-бхо= 1Ф(У)бу,-- !)У ° ! ~е Г.
Интегрирование ус-формы на я-мерном многообразии. Пусть »о — дифференциальная )с-форма на и-мерном многообразии М. «) То есть воаиыво-одвоовачвос я воавыво-двффероицвруоыоо. У к в о а пв е. Это — теорема о оомево переменкой в кратном квтстрале: «зь интвггиговлнив дивввгвнцилльных воем 161 Пусть Р— ограниченный выпуклый )о-мерный многогранник в )с-мерном евклидовом пространстве К" (рис. 150).
Роль «пути интегрирования» будет играть й-мерный кусок «) а в М, представ- лающий собой тройку а = (Р, уз Ор), состоящую из Щ~ 1) выпуклого многогранника Р С К~з (Ф л" 2) дифференцнруемого отображения гко. зю. с г ряыа ~: Р -о- М, «озорный коля«яр 3) ориентации К", обозначаемой Ор. О п р еде л ение. Интегралом ж-формы в по )с-мерно»«у куску о называется интеграл соответствующей формы по многограннику ) о) мо ~г«оь 3 а д е ч е 7. Доквжзте, по квтегрел еавнснт от формы лянейно: ) оовг + )«вз Х«) вг + Хз ') «1« й-мерный кусок, отличающийся от о лишь выбором ориентации Ор, называется противоположным а и обозначается — о или — 1 о (рнс. 151).
3 а д а ч а 8. Докажите, что прн нзыенеакн орнентацан интеграл меняет знак: = — ~в. Гоо. зы. К ззязое Д. Цепи. Множество 1(Р) не обязательно является гладким подмногообразиемМ. Оно может иметь «самопересечения», любые «складки» и вырождаться даже в точку. Однако уже в одномерном случае ясно, что неудобно ограничиваться контурами интегрирования, состоящими из одного куска: полезны также контуры, составленные из нескольких кусков, которые могут проходигься в ту или иную сторону по нескольку раз. Аналогичное понятие в многомерном случае называется цепью.
О и р е д е л е н и е. Цепь размерности )«на мноеообразии М состоит нз конечного набора )с-мерных ориентированных кусков аы..., ог в М и целых чисел т„..., т„, называемых кратностями (кратностн могут быть положительными, отрицательными или нулями). Цепь обозначается ск =т,о, +... +т,а,. *) Кусок о называют обычно оиязуллрним л-меркам коли«дрем. 162 ГЧ.
7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ При этом вводятся естественные отождествления т а + и а = (т, + т,) а, т,а, + т,а, = тзаз + тга„Оа = О, с„+ О = с„. 3 а д а ч а 9. Докажите, что множество всех»-мерных цепей н многообазии М станоаится коммутатннной группой, если определить сложение цепей рмулой (т о +... + т о ) + (ю а1 +... + гнгнт,.) = = ~~ю~+...+ р„+~~~~+ ...+ ~„ю„,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
