В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Римакова структура на многообрааии устанавливает иаоморфиам между пространствами касательных векторов и 1-форм. Симплектическая структура также устанавливает подобный иаоморфизм. О и р е д е л е н и е. Сопоставим вектору 5, касательному к симплектическому многообразию (М'", гоа) в точке ю, 1-форму ге~~ на ТМ.
по формуле сеа (т~) = ш (т), ь) т Ч с= ™ ° 3 а д а ч а. Допевать, по) соответствие Ь ьч Ф~~ есть паоморфнам линейных 2а-мерных пространств векторов н 1-форм. П р в м е р. В Каа = ((р, дЦ будем отождествлять векторы н 1-формы в соответствии с евклидовой структурой (х, х) = ра+ ча. Тогда соответствие йь.+ ыг ведает преобрааовавне Ке" Ка". Ъ 3 а д а ч а. Вычнслвть матрвцу атого преобрааовавня в банное р, ч Ожвеюл. ( ) . Мы будем обозначать череа 1 построенный выше иаоморфизм 1: Т*М вЂ” ~- ТМ„. Пусть теперь Н вЂ” функция на симплектическом многообраэин Мв'.
Тогда ИН есть дифференциальная 1-форма на М, и еуь соответствует в каждой точке неноторый касательный к М вектор. Мы получаем таким образом на М векторное поле 1 аН. О и р е д е л е н и е. Векторное поле 1 8(Н называется гамильтоновым векторным полем, Н вЂ” 1бункцией Гамильтона. П р и м е р. Если Маа = Каа = ((и, дЦ, то мы получаем поле фавовой. скорости канонических уравневкй Гамвльтона дН Ф=!оН(х) <=: и= — Е еч 38.
Гамнльтоновы фавовые ~~~~~~ и их интегральные иквариапття Теорема Лпувнлля утверждает, что фазовый поток сохраняет объемы. Пуанкаре нашел целый ряд двфферевцнальных форм, сохраняеягх гампльтоновым фааовым потоком. А. Гамильтоновы фазовые потоки сохраняют симплектичесиую структуру. Пусть (Мт", ва) — симплектнческое многообрааие„ Н: Ма" -ь  — функцнн. Предположим, что соответствующее Н гамильтоново векторное поле 1 ИН задает однопараметрическукь группу диффеоморфнзмов р': М'" -ь Мв', — а"ю =ИН( ). гл. з. симплектические многооБРАзия Группа у' нааывается гамильтоновмм фиговым потоком с ункцией Гамильтона Н.
Т е о р е м а. Гамильтонов фазовый полиж сохраняет сикллекгническую структуру: (ьл)* ю' = ы'. В случае и = 1, Мг" = Ке зта теорема оаначает, что фазовый поток ф сохраняет площади (теорема Лиувилля). Для доказательства теоремы полезно ввести следующие обозначения (рис. 167), Пусть М вЂ” произвольное многообрааие, с — й-цепь в М, у':М е-М вЂ” однопараметрическое семейство дифференцируа' емых отображеннй. Построим ус У й+ 1-цепь Ус в М, назы- С ваемую следом цепи с при дс Уе~)~~ «и «, 0(~( .-е Пусть (Р, 7', Ор) — один с из кусков цепи с. В цепи Ус д 2 И ему будет соответствовать Рие.
«67. След цели л»и еоеииолии ведение отрезка 0 ( 8 ( т на Р, отображение ~': Р' -е М выражается через г: Р -е- М по формуле г' (1, х) = = у7(х), и ориентация Ор' пространства В"'г, содержащего Р', задается репером е„ е„ ..., ею где е, — орт оси г, а е, . ..., ео — ориентирующий репер Р. Манаго сказать,! что Ус — зто цепь, которую с заметает при Рокотании уе, О ( 8 ( т. Граница цепи Хс из «торцов», образо- ванных начальным и конечным положениями с, и «боковой поверх- ности», заметенной границей с.
Легко проверить, что при указанном выборе ориентаций д (Усе) = у'с» — с, — Хдс„. (1) Л е м м а. Пусть у — 1-цепь в симплектическом многообразии (Мв', юо). Пусть у' — фазовый поток на М с функцией Гамилыяона Н. Тогда — юг = — ') ИН. Р ат т з т Д ок а з а тел ьс т в о. Достаточно рассмотреть цепь у из одного куска (: (О, 1) — ~- М. Введем обозначения Г' (в, 4 = Уг~(з), ~ = д~'lдз, Ч = дГ'lд8г — — ТМг<„п. По определению интеграла »е ) = Ц»о(1 Ч)дИ ° зт о» $ ЗЗ. ГАИИЛЬТОНОВЫ ЮАЗОВЫК ПОТОКИ Ко по определению фазового потока т) есть вектор гамильтонова поля с функцией Гамильтона Н (в точке ~' (г, с)).
По определению. гамильтонова поля оР(з), $) = гсН (б). Итак, ~ юз= — ') ( ) г)Н)Ж. Лемма доказана. С л е д с т в и е. Если пень у гамкпута (ду = 0), то ) оР = О Действительно,)сзН = ) Н= О. дг Доказательство теоремы. Рассмотриьг любую. 2-цепь е. Имеем ~„(ьр'з ~ „зз ~ ~ ~ Рс ~ з ~ з вс д ес Втс с гдс Вес с (1 — ввиду замкнутости оР, 2 — формула Стокса, 3 — формула (1), 4 — предыдущее следствие, у = дс). Итак, интегралы формы- оР по любой цепи с и по ее образу утс одинаковы, что и требовалось доказать.
3 а д а ч а. Всякая ли однопараметрическая группа диффеоморфиамов Мз", сохраняющих симплектнческую структуру, является гакнльтоновымфааовым потовому Указание. См. 140. Б. Интегральные инварианты. Пусть д: М -э- М вЂ” дифферен-- цируемое отображение. О п р е д е л е н и е.
Дифференциальная к-форма ю называется интегральным инвариантом отобразкення у, если интегралы ю по любой к-мерной цепи е и по ее образу при отображении у одинаковы. ~ю=~ . вс с П р и м е р. Если М = КЗ, а юс = др Ц Вв — алезюнт площади, то еР' является интегральным иввариавтом всякого отображения в с якобианом С 3 а д а ч а.
Докажите, что форма юь является интегральным инваривнтом отображения в тогда и только тогда, когда всюз = еР. 3 а д а ч а. докажете, что если формы еР и юЗ вЂ” интегральные инварианты отображения е, то форма еР /~ юз — также интегральный инвариант В. Теорему пункта А можно сформулировать так: Т е о р е м а. Задающая еимплектичеекую структуру форма юз является интегральиым инвариантом гамильтоноеа фаговогт погпока.
Рассмотрим теперь внешние степени формы юз, ( ')'= 'л '. (')'= 'л 'л '. ". 180 гл. г. симплкктичкскне многооБРАзия С лед от в не. Каждая из фарм (еР)в, (еР)в,... являгтся -интегральным инвариантом гамильтонова фазового потока. 3 в дача. Пусть равмерность снмвлекткчсского многосбравкн [Мвс, ив) равна 2к. Покажите, что (из)" = 0 нрн а > к, а (ыв)" — невыроюденнвн 2к-форма нв Мвв. Определим элемент объема на Мв" прн помощи (оР)". Тогда гамильтонов фазовый поток сохраняет объемы, и мы получаем из предыдущего следствия теорему Лиувилля. П р и и е р. Расс»~стуки координатное симплектическое пространство Мв" = К»" = ((у», гг)), «Р = др Д Ыу = Здр~ Д ад;.
В атом случае форма (оР)» пропорциональна форме ер" = Х др. Л .Ддр»»Лс)уаЛ. Лбу'». "ч-.са» Интеграл формы юв~ равен сумме ориентированных объемов проекций на координатные плоскости (рь..., р;„, ди,..., д; ), Отображение у: К~ -+. Кв" называется каноническим, если оно имеет еР интегральным инвариантом.
Каждая иа форм еР, ьв,..., сР" является интегральным инвариантом всякого канонического отображения. Следовательно, при каноничсскам отображении сохраняется сумма ориентированных площадей проекций на координатные и ~оскости (р„,..., Р;„, Фд, . ° ., %»)э 1 ~1)г ~( и. В частности, канонические отображения сохраняют объемы. Гамильтонов фазовый поток, заданный уравнениями 2» = дН . дН с = — —, д = — состоит из канонических отображений у .
ду' др рассмотренные выше интегральные инварианты называют также абсолютными. О и р е д е л е н и е. Дифференциальная й-форма ю называется относительным интегральным инвариантом отображение К: М вЂ” ~М, если для всякой замкнутой й-цепи с. Т е о р е м а. Пусгпь ю — относительный интегральный инвариант отображения у, тогда йо — абсолютный интегральный инвариант у.
Доказательство. Пусть с — й+ 1-цепь, Тогда )аю= ) ю= ) 03= ) ю — ) аю с гс ззс ггс зс (1 и 4 — формула Стокса, 2 — определение относительного инварианта, 3 — определение границы). 5 аэ. АлгеБРА лв ВектОРных полей П р к ы е р. Вансничееасе стсбрааеение В: мть Взз имеем сжнееиныльным иитеера.еьнмм ииеариантом $-Ясрмв ы'=рбу Х р, АВК е 1 Действительно, всякая занккутая цепь с в Кз" является границей некоторой цепи о, и мы находам )из= ~ м'= ) од= ) Амз=~вмз= ) м'=)мз ае В да Вга Ва а да е ($ и б — определение а, 2 — определение В, 3 и 5 — формула Стокса, 4— капоиачиость В я выкладка Ам = И (р Ио) = Ар /~ Ао = ыз).
3 а д а ч а. Пусть Ама — абсслвпкый ивтсгрэльпый инвариант отображевяя в: М М. Вытекает лв иэ этого, по мв — отпсситсльяый ввтсгральпый иивзряаату Ответ. Пет„если в М есть й-ысркые замкнутые цска, вс язляхацясся границами. В.
Закон сохранения энергии. Т е о р е м а. Функция Н является первым интсгралогегавильтонова фазового потока с функцией Гамильтона Н. Д о к а а а т е л ь с т в о. Производная Н по направлению вектора т) равна значению ИН на векторе т). По определению гамильтонова поля з) = 1 ЙН находим ИН (т)) = юз (з), 1 ОН) = юз (1), П) = О. 3 а д а ч а. Докажите, что 4-форма аВ является витегрзльпым якаариактом фазового потока с функцией Гамальтсва Н.
й 39. Алгебра Лв векторных полей Каждой паре векторных полей яа многообразии ссвсставлястся повсе векторное поле, называемое их скобкой Пуассона. Скобка Пуассона превразцает ляпейкос пространство бсскопечпо дкффсрекцируемых векторных полей па многообразии з алгебру Ли. А. Алгебра Лв. Примером алгебры Лв является трехмерное Ориентированное евклидова линейное пространство, снабженное операцией векторного умножения. Векторное произведение биливейно, кососимметрично н удовлетворяет тождеству Якоби ((А„В)1 С( + ([В, С(, А!+ ИС„А) В] = О.
О п р е д е л е н не, Алгеброй Ли называется линейное пространство Ь вместе с билинейной кососимметрнчной операцией В Х Ь -1- 1, удовлетворяющей тождеству Якоби. Операция обычно обозначается квадратными скобками и нааывается ковлсутатороле. 3 а д а ч а. Докажите, что множество и Х л-ызтриц стапозктс я алгеброй Ли, если определить коммутатор как (А, В) = А — ВА. 182 Гл. г. симплвзгхичксБик мнОГООБРАзия Б. Векторные поля и дифференциальные операторы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
