В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Таким образом, гамнльтоновы поля образуют идеал в алгебре Лв локально гамяльтоновых полей. ф 41. Симплектическая Геометрия Евклидова структура в лянейном пространстве задается свмметрвчес кой бвлявейвой формой, а свмплектяческая — кососвмметрвческой. Геометрвя свмллектяческого пространства освежающе непохожа ва евклвдову, хотя в имеет много сходных черт. А. Симплектическое линейное пространство. Пусть Ктп — четномериое линейное пространство. О и р е д е л е н и е.
Симплектической линейной структурой в Ка" называется невырождеиная **) билинейная кососимметрическая 2-форма, заданная в К*". Эта форма называется кососкаллрным произведением и обозначается 13, Ч) = — 1з), с/. Пространство К'" вместе с симплектической структурой (,) называется симплектинеским линейным пространствам. «) А не с точностью до постоянной. ««) 2-форма (, ) в Кхп невырождена, если ((тп Ч! = 0 Нз)) ю (с = О). 192 гл.
8. симплвктичнскик многоовРАзия П р им е р. Пусть (йд,..., р„; дм..., д„) — координатные функции в Кг", и шт — форма = Рт /~ Ь + ° - ° + Рс Л Ч ° Поскольку зта форма невырождена и кососимметрична, ее можно принять за кососкалярное произведение: д, т)! = шт ($, ц). Таким образом, координатное пространство Кг" = ((у, ([)) получает симплектическую структуру. Эта структура называется стандартной. В стандартной симплектической структуре кососкалярное произведение двух векторов $, ц равно сумме ориентированных площадей проекций параллелограмма ($, т)) на п координатных плоскостей (рс, Дс).
Два вектора $, т[ в симплектическом пространстве называются кососртогснальными (л -~- т)), если их кососкалярное произведение равно нулю. 3 а д я ч а. Докажите, что $ -с- $: кажзиа ссмязр себе кзсооржосонзлся. Множество всех векторов, косоортогональных данному вектору ц, называется косоортогснальным дополнением к т). 3 г д а ч а.
Докажите, что косоортоговальвое дополнение к Ч есть ья — 1-мервгя гиперплоскость, содержащая Ч. У к а в а в и е. Если бы все векторы были кссоортоговальвы Ч, то форма [,) была бы вырождевиой. Б. Симплектический базис. Евклидова структура при подходящем выборе базиса (он должен быть ортонормирован) задается скалярным произведением специального стандартного вида. Точно так же и симплектичеекая структура принимает стандартный вид, указанный выше, в надлежащем базисе.
3 а д а ч а. Найти кососкаляркые произввдеиия балиевых векторов в .с (1 = 1, ..., я) в приведеввом выше примере. Решевие. Иг определения р,(,г,+...+р„/~дя следуют соотвозпевия [с . с ) = [с, в ) = [сц. с ) = О, [сял с ) = 1. (1) Вернемси теперь к общему симплектическому пространству. О и р е д е л е и и е. Симплсктичсским базисом называются 2п векторов ср., ег, (1 = 1,..., и), кососкалярные произведения которых имеют вид (1). Иными словами, каждый базисный вектор кссоортогоналвн всем базисным всюпорам, кремс одного, с ним сопряженного; апроизвсдсниг сопряженных векторов равно 1.
Т е о р ем а. В каждом симплсктичгском пространспсвс сри[гствуст симплсктический базис. Болгг того, за псрвый вектор базиса можно взять любой нснуаевой всктор е. Эта теорема вполне аналогична соответствующей теореме евклидовой геометрии и доказывается почти так же. $ гк снмплвктичвская гводгвтрия Поскольку вектор е не нулевой, существует ему не косоортогональный вектор у (форма Ц невырождена). Выбрав длину этого вектора, можно добиться того, что его кососкалярное произведение с е станет равным единице. В случае и = 1 теорема докавана. Если же и д1, рассмотрим косоортогональное дополнение Р (рис. 174) к паре векторов е, у'.
Р есть пересечение косоортогональных дополнений к е и у'. Зтн два 2п — 1-мерные подпространства не совпадают, так как е не лежит в косоортогональном дополнении к у', поэтому их пересечение г Р имеет четную размерность 2п — 2. Покажем, что Р есть симплектическое подпространство в Ка", т. е. что кососкалярное про- р наведение (,] на Р невырождено.
Действительно, если бы вектор Ц ~=х Р был косоортогонален всему гм пространству .Р, то, будучи косоортогонален арпяашаааое дотакже к е и к у', этот вектор д был бы косоортогонален Ка", что противоречит невырон'денности Ц на Кг". Итак, Рг"-г — сиашлектическое. Теперь, если добавить к симплектическому базису в Рг"-а векторы е и у', мы получим свмплектический базис в Ка", и доказательство теоремы завершается индукцией по раамерности и.
С л е д с т в и е. Все с мплектические кростраиства одинаковой размерности изоморсднм. Если принять векторы симплектического базиса за координатные орты, то мы получим систему координат р;, йи в которой Ц принимает стандартный вид р, /~, дд + ... + р„ /~ д„. Такая система координат называется симплектической. В. Симплектичеекая группа.
С евклидовой структурой связана ортогональная группа линейных отображений, сохраняющих евклидову структуру. В симплектическом пространстве аналогичную роль играет симплектическая группа. Оп р ед елен и е. Линейное преобразование Я: К'"- Каа симплектического пространства К"' в себя называется силжлектическим, если оно сохраняет кососкалярное произведение: Множество всех симплектических преобразований Ка" называется симплектической группой и обозначается Бр(2л). Что произведение двух спмплектических преобразований симплектическое — очевидно.
Чтобы оправдать термин симплектическая группа, нужно только доказать, что симплектическое преобразование невырождено, тогда ясно, что обратное также симплектнчно. Задача. Докая;ята, что группа Яр(2) паоморфпа группе вещественных матриц второго порядка с определителем 1 и гомеоморфпа трехмарвой ввутревностя барапкв. гл. в. симпляктичвскик многоовкезия Т е о р е м а.
Преобразование о: Кг" -в. Кв" стандартного симплектического пространства (р, д) сам плектическое тогда и только тогда, когда оно линейное и каноническое, т'. е, сохраняет дифференциальную Ъ-форму ю' = йр. Л йув+ ° + с(ра/~ 4~к. Д о к а з а т е л ь с т в о. При естественном отождествлении касательного пространства к Кв" и Кви 2-форма ю' переходит в Ц. С л ед с т в и е. Определивпель любого симплектического преобразования равен единице.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Мы уже знаем ($ 38, Б), что канонические преобразования сохраняют внешние степени формы юг. Но ее и-я внешняя степень есть (с точностью до постоянного мнон<втеля) элемент объема в КЯ". Значит, симплектическне преобразования Я стандартного Кг" = ((р, д)) сохраняют элемент объема, так что йе( Я = 1. Но поскольку всякая снмплектическая линейная структура записывается в стандартном виде в симплектической системе координат, определитель симплектического преобразования любого снмплектнческого пространства равен единице, чм.д. Т е о р е м а. Линейное преобразование о': КЯ" -+ Кг" симплектично тогда и только тогда, когда оно переводит некоторый (и тогда любой) симплектический базис в симплеюпический.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Кососкалярное произведение любых двух линейных комбинаций базисных векторов выражается через кососкалярные произведения базисных векторов. Если преобразование не меняет кососкалярные произведения базисных векторов, то оно не меняет и кососкалярные произведения любых векторов, ч.т.д. Г. Плоскости в симплектическом пространстве. В евклидовом пространстве все плоскости равноправны: каждую из них можно перевести в любую другую движением. Рассмотрим с этом точки зрения линейное симплектическое пространство.
3 а д а ч а. Допикпте, что ненулевой вектор спмплвктаческсгс прострекотав можно персвеств в любой другой нспулеесй вектор сямплектпческпм прсобрагспаппем. 3 а д а ч а. Докяпопе, что кв всякую двумерную плоскость симплектвческого пространства два, и д 1, можно получить мг давкой 2-плоскостп спмплекввчесавм прссбраэсваппем.
У к а в а в в е. Рассмотрите плоскости (рд, рв) к (рм Ев). О п р е д е л е н н е. к-мерная плоскость симплектического пространства называется нулевой *), если она себе косоортогональна, в) Нулевые плоскости называют также ивоюрокаими, а прп к = ив лавракжввмки. е и, симплжктичвскля гномвтгня $95 т. е. кососкалнрное произведение любых двух векторов плоскости равно нулю.
П р и и е р. Коордяяатяая ялоскость (рю..., рг) в сявялеятячеок<й оисгеме координат р, в нулевая (докааяте!) 3 а д а ч а. Доягжяго, что любую яея улевую двумерную плоскость можяо перевостя в любую другую яеяулевую сямялеячяческяк яреобргговгвяем. При вычислениях в симплектнческой геометрии бывает полезно ввести в симплектическом пространстве еще какую-нибудь евклидову структуру. Мы зафиксируем симплектическую систему координат уе, д и введем евклндову структуру с помощью координатного скалярного произведения.
(югж) = ~~р';+ ~, где ю =- Хр!ерг+ а!ее,. Сиыплектический базис ер, еч в этой евклидовой структуре ортонормирован. Кососкалярйое йроизведение, как всякая билинейная форма, выраясается через скалярное в виде В.Ч!=(11. )) (2! где: Х: Кг"- Кг" — некоторый оператор.
Из кососимметричности кососкалярного произведения следует, что оператор 1 кососимметричен. 3 а д г ч а. Сосчитать матрицу оператора 1 в сямплектячосяоя багясо РР 9~" 10 — Е1 Ответ. ~ 1!, где Š— единичная матрица порцяпп и. ' ~3 О1* Таким образом, при и = $ (на плоскости р, 9) 1 есть просто поворот на 90', а в общем случае 1 есть поворот на 90' в каждой из п плоскостей рг, д,. 3 а д а ч а.
Доказать, что оператор 1 сплплепюпчеепий я что Хг = — Е~„. Хотя евклидова структура н оператор 1 связаны с симплектическим пространством неинвариантно, они часто бывают удобны. Из (2) непосредственно вытекает Т е о р е м а. Плоскость и силе лени!нивского пространсгпва нулевая тогда и только тогда, когда плоскость Хи ортогональна и. Заметим, что размерности плоскостей и и 1п совпадают, так как 1 невырожден. Отсюда С л е д с т в и е. Раглерносгпь нулевой плоскости в Кг" не превосходит п. Действительно, две )с-мерные плоскости и и Хп в Кг" не могут быть ортогональнымн, если й Р п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
