В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Напротив, два корня равных анаков при столкновении, вообще говоря, покидают единичную окружность. Теория М. Г. Крейна выходит аа рамки этой книги, но адесь будут сформулированы основные реаультаты в виде аадач. 3 а д а ч а. Пусть Л, Л вЂ” простые (кратности И собственные числа свмплептячеспого преобрлноваппя 8 я 1 А ( = $. Домажпте, что соответствующая Л, Л двумерная ввварнаатвая плоскость я ненулевая. У к а л а в в е. Пусть $1, бх — помплексвые собственные векторы 8 с собственными авачеввямл Л, Л .
Тогда, если Л Лз + 7, вевторы $„Ц косоортоговальвьн К„йх) = О. Пусть $ — вещественный вектор ян плоскости я,, 1щ Л ) О, ! Л ~ = П Собствеввое число Л ванывается~ пололзп1лсльямм, если (8ь, б!:р О. 3 а д а ч а. Докажите, что лто определевяе ворревтво, т. е. ве ааввсвт ог выборе вектора 4 + О в влоскоств я . У в а э а в и е. Если бы плоскость я содержала два косортснояальвых веполлквеараых вектора, ова была бы нулевой.
Точно так же й-краткое собственное число Л, ~ Л ~ = 1, зяапоспрздзлзпмоз, если кнадратвчная форма (8нз, ц нвакоопределена ва соответствующем Л, Л внварвантном 2А-марком подярострапогне. 20л $43. симплектический АтлАс 3 а д а ч а. Докажете, что для сильной устойчивости 8 необходимо и достаточво, чтобы все собственные числа Х лежали ва едиакчкой окружвоств и были авакоопредолеввыми. У к а э а в и е. Квадратичная форма [8[)„Ц вваариавтва отвосвтсльио 8. 5 43. Симплектический атлас В атом параграфе докааыаастся теорема Дарбу, согласно которой каждое симплектическое мвогообрааио имеет локальвыо координаты р, а, в котопьых свмплектвчоская структура ааписываотся простейшим обрааом: в = Фр Л ай. А. Симплектические координаты. Напомню, что в определении многообрааия участвует условие совместности карт атласа.
Это условие на отображения фщгфт перехода с одной карты на другую. Отображения фдфт — ато отображения областей координатного пространства. О п р е д е л е н и е. Атласмногообрааия Лгт нааывается симилвктичсским, если в координатном пространстве Кт" = ((у, дЦ введена стандартная симплектичесиая структура оР = с[у Л ду„ и переход с одной карты на другую осуществляется каноническим (т.
е. сохраняющим оР) преобрааованием*) ф фн 3 а д а ч а. Покажите, что симплектический атлас определяет симплектичоскую структуру ва М"'. Справедливо также и обратное предложение: каждое симплектическое многообрааие имеет симплектический атлас. Это вытекает иа следуклцей теоремы. Б. Теорема Дарбу. Т е о р е м а. Пуста оР— нгвырожденная гамкнутая диффсренг[иальная 2-форма в окрестности точки гс пространппва Ка". Тогда в некоторой окрвстпности точки х можно выбрать такую систему локальных координат (р„..., р„; дм..., д„), что форма примет стандартный вид '= Х др Лс[у.
Эта теорема поаволяет немедленно распространить на все симплектические многообрааия любое утверждение локального характера, инвариантное относительно канонических преобразований и докааанное для стандартного фааового пространства (К ю'= д ЛМ. *) Аналогично определякася, например, комплексно-аналитические мвогообрааия: в координатном простравстне должна быть комплексиая структура, а переход с одной карты ва другую должон бьггь комплексно-авалв-' тичосиим. 202 гл. 8. симплектичкскпк многоовглзня В. Построение координат т>> и д,. В качестве первой координаты р, возьмем линейную непостоянную функцию (можно было бы взять любую дифференцируемую функп»ю, дифференциал которой отличенот нуля в точке х).
Будем для простоты считать, что р (х) = О. Обозначим через Р> = Ыр> гамнлътоново поле, соответствующее функции р, (рис. 179). Заметим, что .Р, (х) ~= О. Поэтому через точку х можно провести гнперплоскость >Ув"->, не содержащую вектор .Р (х) (вместо 7~т-> Жв"-> можно было бы взять любую поверхнор1 с т стъ, трансверсальную Р, (х)). гп-г У ЗЮ л Рассмотрим гамильтонов поток Р, с функ- > цней Гамильтона р,.
Рассмотрим время с,нужное, чтобы дойти от Ф до точки а = Р~>у (д Е= Е= >ч) под действием потока Р>, как функцию р точки а. По обычным теоремам теории обык- новенных дифференциальных уравнений зта в>к. ыв. пвв>рвв- функция определена и дифференцируема в ок" е "„,',р~ю';,"в рестностн точки х ~ Кв". Обозначим ее через д. Заметим, что д = 0 на >ч' и что производная функции д по направлению поля.Р, равна 1. Итак, скобка Пуассона построенных Функций д> и р, равна 1: (ры р.) = — 1. Г. Построение симплектических координат индукцией по гв. Если и = 1, то построение закончено.
Пусть п ) 1. Мы будем предполагать, что теорема Дарбу для Кв"-в уже доказана. Рассмотрим множество М, заданное уравнениями р, = д, = О. Дифференциалы с>р> и соу> з точке х линейно независимы, так как юз (1 ар„р ду>) = (д„р>) — = 1. Итак, по теореме о неявной функции в окрестности точки х множество М яв естся многообразием размерности 2н — 2; мы будем обозначать его Мв"-в. Л ем и а. Симплектическоя структура о>во Кв" гадает в некоторой окрестности точки х на Мв"-в симплектическую структуру.
Д о к а з а тел ъ с т в о. Нуждается в доказательстве лишь невырожденность юв на ТМ . Рассмотрим линейное симплектическое пространство ТК'". Векторы .Р, (х), (е> (х) гамилътоновых полей с функциями Гамильтона р> и д> принадлежат ТК~.
Пусть з чк ТМ . Проиаводные р> и дд по направлению с равны нулю. Значит, с(р> ($) = юз (5, Р>) =- О, в(у> (с) =- о>в (й, (е>) = 0 Итак, ТМ есть косоортогональное дополнение к .Р, (х), (е> (х), Согласно $ 41, Б форма оР на ТМ невыро>кдена. Лемма доказана. $43. Снмплекгкческнй АтлАс 203 По предположению индукции на симплектическом многообрааии (М' -', одд 1м) в окрестности точки ж существуют симплектические координаты. Обозначим их рд, дд (д = 2,..., и).
Продолжим функции рд,..., д„на окрестность точки ж в К"' следующим образом. Каждую точку х окрестности точки ю в К'" можно единственным образом представить в виде х = Рдд"ддзо, где чо Е= Е= ЛР" ', а з и с — малые числа. Значения координат рд,..., д„ в точке х положим равными их значениям в точке то (рис. 179). Построенные 2п функций рд,..., р„; дд,..., д образуют в окрестности точки ю в К'" локальную координатную систему. Д. Докааательство симплектичности построенных координат. Обозначим череа Р'„(д„'- (д =- 1,..., и) гамильтоновы потоки с функциями Гамильтона рд, дд, а череа.Рд, (Лд — соответствующие векторные поля.
Сосчитаем скобки Пуассона функций р,... ..., д„. Мы уже видели в пункте В, что (уп р ) вв 1. Следовательно, потоки Рд и Я коммУтиРУют: Рдф = Ярд~. Вспоминая определение функций рд,..., д„, видим, что каясдая из них инвариантна относительно потоков Рд ди чд. Итак, скобки Пуассона р и д со всеми 2п — 2 функциями р;, дд (д ) 1) равны нулю. Отображение Р~Дд коммутирует поэтому со всеми 2п — 2 потоками Р;, уд (д ) 1). Следовательно, оно оставляет на месте каждое из 2п — 2 векторных полей Юд„(Лд (д ) 1). Отображение Рд(д, сохраняет симплектическую структуру одд, так как потоки Рд и (дд гамильтоновы.
ПоэтомУ аначениЯ в точках х =. Рдд,дды~ Е= Кд" и до Е= М'"-д формы одд на векторах любых двух нз 2п — 2 полей Х"д, (ед (д) 1) одинаковы. По эти значения равны значениям скобок Пуассона соответствующих функций Гамильтона. Итак, значения скобки Пуассона любых двух из 2п — 2 координат рд, д; (д ) 1) в точках х и ео одинокова, если г = РЯдто. Функции р, и дд являются первыми интегралами каждого иа 2п — 2 потоков Р;', Я (д) 1). Поэтому каждое из 2п — 2 полей Лд„Дд (1) 1) касается многообразия уровня р, = од = О. Но это многообрааие есть ЛР" з.
Поэтому каждое иэ 2п — 2 полей Лдд,9д (д ) 1) касается Мд"-з.'Следовательно, зти поля являются гамильтоновыми полями на симплектнческом многообразии (ЛР" г, одд 1м), и соответствующие функции Гамильтона равны рд ~м, дд ~м (д ) 1). Итак, скобка Пуассона во всем пространстве (Кд", ыз) любых двух из 2п — 2 координат ри дд (д) 1), рассматриваемая на ЛР" з, совпадает со скобкой Пуассона зтих координат в симплекдпическом пространстве (Мд д, юд !м).
Но по предположению индукции координаты на М' д (рд 1м, уд !и, 'д ) 1) симплектические. Поэтому во всем пространстве Кд" Гл. а симплектические мноГООБРАэия скобки Пуассона построенных координат имеют стандартные екачения (ро рт) ек (рп ф) ии (дп дт) ие 01 (до рх) = 1, Такой же вид имеют скобки Пуассоне координат дт, д в К"", если еР = ~Ыр~ /~ Идо Но билинейная форма юа определяется своими аначеннями на парах баансных векторов. Следовательно, скобки Пуассона координатных функций определяют вид еР одноаначно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
