В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Рассмотрим несколько подробнее п-мерные нулевые плоскости в координатном симплектнческом пространстве К'". Примером такой плоскости служит координатная р-плоскость. Всего пмерных ьоординатных плоскостей в Кг" = ((р, д)) имеется С~. Гл. 3. снмплявтнчкскне мвогооврлзня 3 а д а ч а. Докаеать, что среди Сае„в-мерных координатных плоскостей нулевых ровно 2в. А именно, каждому ие 2в раебиеввй мншкества (1,..., и) на две части (?г, .;, 1«) (й,...,? «) соответствует нулевая координатвая Пасглсотв Рт ~, ~ Рт Я) О) При научении проиаводящих функций канонических преобравований нам потребуется Т е о р е м а.
Велкал и-мернал нулевал плоскость я е симплектнческом координатном пространстве 11т" траневерсалъна *) хо- тя бы одной из 2" координагиных нулевых плее- р костей. б' Д о к а в а т е л ь с т в о. Пусть Р— нулевая плоскость р,..., р„(рис. 175). Рассмотрим пересечение Рве. $ 75. По. строевое воорле- т=я()Р.
ветвоа плоскоо~в „'в Рв ПУсть РавмеРность т Равна й, О ((с ( и. Как совести в всякое Й-мерное подпространство и-мерного про- странства Р, плоскость т трансверсальна хотя бы одной и — Й-мерной координатной плоскости в Р, скажем плоскости (рн,..., р, „); т + т) = Р, т ( ( т) = О. Построим нулевую и-мерную координатную плоскость а = (ря,..., р;„„, уь,..., у«), Ч = а ( ) Р, и докажем, что наша плоскость н трансверсальна оч н(>а=О. Д ействительно, имеем т С н1 я-~-н 'т-~- яз > (т + т)) (я П а) -«Р ~ (н ( ( о).
т)С-а, а а-«т) .о Но Р— и-мерная нулевая плоскость. Повтому всякий вектор, косоортогональный Р, принадлежит Р (см. следствие выше). Итак, (я П а) С Р. Окончательно, и П о = (я () Р) Й (а (> Р) = т () т) = О, что и требовалось докавать. 3 а д а ч а. Пусть нт, нт — две «-мерные плоскости в симплеитвческом Кьв. Всегда ли можно перевести вд в лт сикплевтияесвим преобраеовавием? Сколько существует классов плоскостей, ие переводимых друг в друга? Ошеем.
~ 2 ~+1, если «~в; ~ 3 >+1, если «ьл. е) Два подпространства?ч и Ц линейного пространства Ь траисверсальвы, если Е~+ Ье = Ь. Две и-мерные плоскости в К трансверсальны тогда и только тогда, когда они пересекаютси лишь в точке О. 297 $42. ПАРАмнтРнчкскнп РнэОБАнс Д. Симплектнческап структура н комплексная структура. Поскольку Еэ = — Е, мы можем ввести в наше пространство Кэч наряду с енмплектнческой структурой [,) н евклидовой структурой (,) еще н комплексную структуру, определяя умножение на ( = = [/ — 2 как действие 1.
Пространство Кач отождествляется при этом с комплексным пространством С" (если угодно, координатным пРостРанстиом с кооРдинатами гг = Р„+ йЕ„). Линейные преобраэоиания Кь", сохраняиицне еаклидову структуру, обраэуют ортоеонольную группу 0(2п), сохраняющие комплексную структуру — кемплексную линейную группу (Д(п, С). 3 а д а ч а. Докажите, что ертееенальные и одновременно еимиьектичеекие преебраеееания кемплекены, комплексные и ертееанальные еимплектичны, а еимилектичеекие и комплексные артаеанальны, гак что пересечения двух иа трех групп раэиы пераеечепию всех трех: 0(2и) () Яр(2и) = Яр(2и) () 0П(и, 0) = 0П(и, С) П 0(2и). Это пересечение иаэыэаегся унитарной еруипоя ()(и).
Унитарные преобраэовапня сохраняют эрмитоэо скалярное проиэведенне (й, т)) + ( [б, т)[; скалярное н кососкалярное проиэиедения в Кя*' — это его иещестиепная н мнимая части. й 42. Параметрический реионанс и системах со многими степенями слободы При иселедоиаиии кслебательаых систем с периодически меняющимися иараметраыи (см. т 25) мы выясиили, по параметрический реэоиаис ээкисит от поаедеиия собстэеяиых чисел некоторого лииайиого преобраэоааиия (еотоображеяия эа периоде). Зависимость состоит и том, что лоложеаэя рааиоиесия системы с периодически меияющамися параметрами уогойчаао, если собстэеииые числа отображеиия эа период по модулю меиьше едиаиды, и неустойчиво, если хотя бы одно из ссбстэеяиых чисел по модулю болыие едиикцы Отображеиие эа период, яслучеииое иэ системы урааиеяий Гамильтона с периодическими коэффициеатами, является симплекгячесиаы.
Исследоааиив параметрического реэоиаиса и системах с одной стеиеиью свободы, проэедеииое и $25, опиралось яа аиялиэ поаедеяия ссбстэеииых чяесл симлектячесиих прсобрааоааиий плоскости. В иастоящем параграфе проведен аиалогичпый аналиа псэедеаия ссбстэеииых чисел лиаейиых сималеытаческах прэобраэоээиий фяэокого простраисгаа любого числа иэмереяай. Реэультаты этого аиэлиэа (принадлежащего М. Г. Крейиу) применяются при исслсдоааиии условий иоэиакиоаеиия параметрического реэоиаиса и механических системах со ыиогима степеиями свободы.
А. Симплектические матрицы. Рассмотрим линейное преобрааоаанне симплектнческого пространства Ю: К' -ь Кя". Пусть Ры..., р„; д„..., д„— снмплектнческая система координат. В этой системе координат преобраэование эадается матрицей Я. Т е о р е м а. Чтобы преобрововоние было симплектическим, необходимо и достаточно, чтобы его матрица Я в симплелтпиче- гл. 8. симплвктячвскнк 81ногоовглзия ской сиоиеме координат (р, 1Е) удовлетворяла соотношению Ь'ХЪ' =- Х, 10 — Е1 где Х = (, О), а б' — матрица, транспонироеанная к Е.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Условие симплектичности ((ЕЗ, Ет)) = = (ь, 4 для всех $, Ч) с помощью оператора 1 записывается через скалярное произведение в виде (Хб(),ЕЧ)=(ХВ Ч) ~В Ч или еще (Ь'ХЕУ, Ч) = (1$, н)) УЬ, ч), что и требовалось доказать. Б. Симметрия спектра симплектического преобрааования. Т е о р е м а.
Характеристический полипом симпаектического преобразования р (Л) = Йе1 ( Ю вЂ” ЛЕ ( возвратный *), т. е. р (Л) = — Лннр (1ЕЛ). Д о к а э а т е л ь с т в о. Мы будем пользоваться тем, что беС Е = бе$ Х =- 1, Хг =- — Е и беФ А' = бе1 А. По предыдущей теореме Е = — — 18' 'Х. Поэтому р (Л) = бей (б — ЛЕ) .=- Йе1( — ЕЗ' 'Х вЂ” ЛЕ) = бе1( — б' т + ЛЕ) = = де1 ( — Е + ЛЬ) =- Лг" бе1 ~Š— Х Е) = Лн"р ( х ) что и требовалось доказать. С л е д с т в и е.
Если Л вЂ” собственное число симплектическоео преобразования, то 1/Л вЂ” также собст- Е " венное число. С другой стороны, характеристический полипом веществен; поэтому, если Л вЂ” комплексное собственное число, то Л вЂ” собственное число, притом не совпадающее с Л. Рнн. Ые. Рннннннмнннн ОтСЮда ВЫтЕКаст, Чта ВСЕ Карин Л Ха- Рннврн. РаКтЕРИСтИЧЕСКОГО ПОЛИНОМа Лвжат СИМ- еностненннн ннннг ннн- ноннннн метрично относительно вещественной оси и относительно единичной окружности (рис. 176).
Они разбиваются на четверки Л, Л, 1, = ((Л! Ф1, 1шЛФО) и пары, лежащие на вещественной оси: Л=Л, — == — з,-т ') Воннрнтным ингынаетси поливом а гн'+ анхм т+... + ам с симмнтри шими коаффиииевтнми: ан = аан ан = а 1 42.пАРАметРичжскик РезОБАнс $99 или на единичной окружности: 1 — 1 ).== 7 =— г у у Нетрудно сообразить, что кратности всех четырех точек четверки (или обеих точек пары) одинаковы. В. Устойчивость. О и р е д е л е н и е. Преобразование Я называется успуойчивмм, если 1~с ) О 36 > О: ! ж ) ~ 6 =+ ~ Екав ) ( е, УЛу ) О.
3 а д а ч а. Докажите, что если котл би одно ив собственник чисел симклектическоео преоброэованил о лежит не на единичной окружности, то Ь' неустойчиво. У в а к а я я е . Ввиду доваэкввой сямметрвв, если хоть одно як собственных чисел лежку ве ва едвввчвой ояружвостя, существует собсгвевяое число вве едвввчяого круга ) л ) ) 1; в соответствующем ввварипвтяом подпространстве о — «растяжеяке с поворотомэ. 3 а д а ч а. Докажите, что если все собственуьне числа ликейкоео преобравованил равлични и лежат ка единичной окружности, то преобравование устойчист У в п и а в в е.
Пврейтя и собственному базису. О и р е д е л е н и е. Симплектическое преобрааование 8 называется сильно устойчивым, если всякое достаточно бливкое к нему а) симплектическое преобрааование Я устойчиво, В у 25 мы установили, что 8: Вх — н Кк сильно устойчиво, если )ьг,х = баси, Х, Ф Ц. Т е о р е м а. Если все 2п собственных числа симплектического преобразования Я различны и лежат на единичной окружноспьи, то преобразование Я сильно устойчива. Д о к а в а т ел ь от в о.
Заключим 2п собственных чисел р« в 2п непересекающихся окрестностей, симметричных относительно единичной окружности и вещественной оси (рис. 177). 2п корней характеристического полинома зависят от элементов ма*рицы Я непрерывно. Следовательно, если матрица Яр достаточно близка к 8, то в кая,"дой иа 2п окржугностей 2п точек р. лежит ровно одно собственное число р.ь матрнцьг 8,. Но если бы какая-либо иа точек Хр не лежала на единичной окружности, а, например, вне, то по теореме стр. 198 в той же окрестности лежала бы еще одна точка Х~, ) Х, ) .,1, и общее число корней было бы больше 2п, что невовможно. Итак, все корни Я лежат на единичной окружности и рааличны: вначит, Я устойчиво, что и требовалось докавать.
Можно сказать, что собственное число симплектического прерр ь „ у д у ру 'у«...ь р...ч~ р, р „у ваввом йиквсе отличаются от клементов матрицы о е том же баэвсо мевьще чем ва достаточно малое число е. Гл 8. симппектические многооБРАзия столкнувшись с другим собственным числом (рис. 178); при этом одновременно сталкиваются комплексно-сопряженные числа, и иа двух пар корней на окружности получается одна четверка (или пара вещественных Л).
Иа ребультатов 2 25 следует, что условия воаникновения параметрического реаонанса в линейной канонической системе с периодически меняющейся функцией Гамильтона состоят как раа в том, что соответствующее симплектическое преобравование фавового пространства перестает быть устойчивыы. Иа докааанной Ряс. 177. Понздзяяе простых ссбстзсяных чисел прп малом нхменеяпп спмплсятячссного пре.
обрлзснляня Ряс. 17». Поведение нратнмх ссбстззннпх чпсзл пра малом язмененяя сямплентячзсного преобразования теоремы видно, что ато может случаться лишь при столкновении собственных чисел на единичной окружности. В действительности, нак ааметил М. Г. Крейн, не всякое такое столкновение опасно. Окааывается, собственные числа Л, ~ Х ~ = 1, делятся на два класса: положительные и отрицательные. При столкновении двух корней одинакового знака корни епроходят друг сквоаь друга» и не могут сойти с единичной окружности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
