В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Итак, доказана Т е о р е м а. Если функция Гамильтона Н = Н (у, д) не зависит от времени, то фаэовые траектории канонических уравНений (1), лежащие на поверхности Мт ~: Н (у, д) = Ь, являются экстремалями интеграла ) у ад в классе кривых, лежащих на Ми и соединяющих надпространства д = дз и д = дп Рассмотрим теперь проекцию экстремали, лежащей на поверхности Ме"-8: Н (у, д) = Ь, на д-пространство. Эта кривая соединяет точки д, и дп Пусть, далее, у — другая кривая, соединяющая точки д и д (рис. 189). Эта кривая у является проекцией некоторой кривой 7 на поверхности Мз г. А именно вы- р берем на 7 параметр т, а ~( т ~ Ь, З 1 у(а) = дз, у (Ь) =дд. Тогда в каждой Нр,в =Ь и точке д кривой у определен вектор ско- //ьв/= в рости д = — у (т), н соответствующип вч уэ у '~1 импульс у = дЕ/дд. Если параметр т подобран так, что Н (у, д) = Ь, то мы Рис.188.
принцип моего юи получаем кривую у: д =- т (т), у = ч = дЕ/дд на поверхности М' т. Применяя предыдущую теорему к кривым т на Мз"-', получаем С л ед с та и е. Среди всех кривых д = у (т), соединяющих две точки дз и дт на плоскости д и параметризованн х так, что функция Гамилыпона имеет фиксированное значение 216 ГЛ. 9.
КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ Н (дХ|дд,о) = й, траекторией уравнений динамики (х) явллапся гкстремаль интеграла «укороченного действия» ~ д4 ()«() т т т Это и есть принцип наименьшего действия Мопертюи (Эйлеров Легран»ко — Якоби) *). Важно отметить, что отрезок а ~ т ( Ь, параметризующий кривую у, не фиксирован и может быть равным у сравниваемых кривых. Зато одинаковой должна быть энергия (функция Гамильтона). Заметим также, что принцип определяет форму траектории, но не время: для определения времени нужно воспольаоваться постоянной энергии.
Особенно простую форму доказанный принцип принимает в случае, когда система представляет движение по инерции по гладкому многообразию. Т е о р е м а. Материальная точка, вынужденная оставаться на гладком римановом многообразии, движется по геодезической линии (т. е.
по гкстремали длины ) <Ь). Д о к а и а т е л ь с т в о. Действительно, в нашем случае Н=Т=Т= — ( — ~, —,п=2Т=( — ) . Следовательно, чтобы обеспечить фиксированное значение Н = а, в» параметр и надо выбирать пропорциональным длине: ат = —. У' 2А Интеграл укороченного действия тогда равен ~ — дс)т = ~ р'2»» «)г = )ГБ ~йг, поэтому экстремали суть геодезические нашего многообразия, что и требовалось доказать. В случае, когда имеется также потенциальная энергия, траек- тории уравнений динамики тоже являются геодезическими неко- торой римановой метрики.
ПустыЬ» — римавоиа метрика на конфигурационном простран- стве, задающая кинетическую энергию (так что Т = — ~ — 1 ) . Пусть а — постоянная. Т е о р е м а. Зададим в области конфигурационного простран- ства, где Н (и) ~ »», риманову метрику формулой ар = у' и — У (д) аг. «) «Почти ио всех учебниках, даже в лучших, этот врющик представлен тгк, что его иельэн понять». (Я к о б и К. Лекции по динамике, 1842 — 1843.— МЛ Лл ОНЗИ, 1936). Не решаюсь нарушать традицию.
з 4». следствия из теОРемы ОВ интегРАльном инВАРиАнте 217 1 г'еа1» Тогда траектории система с кинетической энергией Т = — 11— = э~а«) ° потениигь«»ной энергией 0 (а) и полной энергией Ь будут геодезическими линиями метрики г(р. Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, в нашем случае Т = Т вЂ” Н, Н = Т + У, —.. а = 2Т = ~ — „~ ~ = 2 (Ь вЂ” Щ.
СледодЕ . Гза1в вательно, чтобы обеспечить фиксированное аначевиеН = Ь, парааа метр т надо выбрать пропорциональным длине: дт = уг2 (А — О') Интеграл укороченного действия тогда будет равен — дат =~ у'2(Ь вЂ” Н)аз = )г2 ~др. По прияципу Мопертюи траектории суть геодезические метрики «гр, что и требовалось доказать. 3 а меча ни е 1. Метрика ар получается из «1з «растяжением», зависящим от точки а, но не зависящим от направления.
Поэтому углы в метрике г(р совпадают с углами в метрике ггз. На гравице области У ( Ь метрика др имеет особенносты чем ближе мы подходим к гравице, тем меньше становится р — длина. В частности, длина любой кривой, лежащей на самой границе (У = Ь) равна нулю. 3 а м е ч а н и е 2. Если начальная и конечная точки геодезической у достаточно близки, то экстремум длины есть минимум. Это оправдывает название «принцип наименьшего действиям Что в общем случае экстремум действия не обязательно минимум, видно из рассмотрения геодезических на единичной сфере Рие. 191. Периодвчеевое дви- жение двойного иаачиива Рис. Ггз. Н и»- и«давая геодеаиче- ееаа (рис.
190). Каждая дуга мернзиана является геодезической„но минимальны лишь те иэ них, которые короче Рл дуга гт'Ю'М короче дуги меридиана ЬгЯМ. 3 а м е ч а н и е 3. Если Ь больше максимума У на конфигурационяом пространстве, то метрика др не имеет особенностей. Поэтому мы можем применить топологические теоремы о геодеаических на римановых многообразиях к научению механических задач. 218 гл.
з. кАЯОнический Фо Рмхлизм Так, например, рассмотрим тор Т» с некоторой римановой метрикой. Среди всех аамкнутых кривых на Т», делающих т оборотов по параллели и и по мерндиану, существует кривая кратчайшей длины (рис. 19Ц. Эта кривая — замкнутая геодезическая (докааательство см. в книгах по вариационному исчислению в целом или «теории Морса»). С другой стороны, тор Т' является конфигурационным пространством нлоского двойного маятника.
Отсюда вытекает Т е о р е м а. Для любых»)злых т, п существует периодическое движение двойного маятника, при котором одно звено делает т оборотов га время, за которое второе звено делает п оборотов. Более того, такие периодические даня»ения существуют при любом достаточно большом значении постоянной энергии Ь (Ь должно быть больше потенциальной энергии в верхнем положении). В качестве еще одного примера рассмотрим твердое тело, закрепленное в неподвижной точке и находящееся в вроизвольвом потенциальном поле. Конфигурационное пространство (ЯО(3)) не одвосвязво: на нем существуют нестягиваемые кривые.
Из предыдущих рассуждений вытекает Т е о р е м а. Каково бы ни было потенциальное силовое поле, существует по крайней мере одно периодическое движение тела. Более того, сущгсгпгуют такие псриодичгские дгижгния, для которых поспюянна энергии Ь сколь угодно велика. й 46. Принцип Гюйгенса Основные понятия гамза»тоновой мвхгнвкв (импульсы р, функция Гамильтона Н, форма р од — Нвц уравнение Гамильтона — Явебв, о котором будет идти речь ниже) во»вввлв прв перенесении ва обзцив варвацяоввые принципы (в, в частности, ва принцип стационарного действия Гамильтона, б ) Л о» = 0) некоторых весьма простых в «стествеввых понятий геометряческой оптики, управляемой частным варвацвоввыы прввцвпом — принципом Ферма.
А. Волновые фронты. Рассмотрим коротко г) основные понятия геометрической оптики. Согласно экстремальному принципу Ферма, сост распространяется из точки»)«г точку а» за кратчайшее грел»л. При этом скорость света может зависеть как от точки»у («неоднородная среда»), так н от направления луча («неизотропная сред໠— например, кристаллы). Свойства среды можно описать, задав в касательном пространстве в каждой точке 9 поверхность («инднкатрису»). Для этого отложим по каждому направлению вектор скорости распространения света в данной точке по данному направлению (рис.
192). *) Мы ве буден здесь гнаться га строгостью в будем счвтатгч что зсе опргд«лвтехв отзвчвы от нуля, в т. и. От полузврвствчгсввх рассуждвввй »того пуввга дока»атезьсгва дальнейших теорем не гаввсят. гл. 9. каноничвскии формализм 1д) — любым гладким мкогообразием, а распростраиекие света— распространением любого возмущевия, передающегося «локальяо». Принцип Гюйгепса приводит к двум описаниям процесса распространения.
Во-первых, мы можем следить эа лучами, т. е. кратчайшими путями распростраяевия света. В этом случае локальиый характер распространения задается вектором скорости д. Если направление луча известно, то величина вектора скорости задается свойствами среды (ивдикатрисой). С другой стороны, мы можем следить за волновым фронтом. Предположим, что в простракстве (у) задана римаяова метрика. Тогда можно говорить о скорости движения волнового фронта. Рассмотрим, например, распространение света в среде, заполияющей обычное евклидово пространство. Тогда движение волнового фронта можно характеризовать перпендикулярным фронту вектором 19, который строится следуюп1им образом.
Для каждой точки де определим функцию о«,(д) как онтическую длину пути от у до у, т. е. яаимеяьшее время распростракекия света от до до у. Множество уровня (йч Юв. (д) = Ц есть пе что иное, как волновой фронт Фв. (1) (рис. 195). Градиент функции Я (в смысле мрвадлевав руса уечваеЮ адлевае вт/ФУ у«ювдлт ив Рнс. 199.
Сопряваенная вн- перплосно ось Рнс. 195. Пвправленве лтча в ваправленне явсеенвя в»опта упомянутой выше метрики) перпендикулярен волновому фронту и характеризует движение волнового фронта. При этом, чем боль- ше градиент, тем медленнее движется фронт. Поэтому Гамильтон назвал вектор дЯ у= да вектором нормальной медлительноппи фронпаа. Направление луча ф и каправлеяие движения фронта 1о в неиэотропной среде яе совпадают. Однако ови свяэакы друг с другом простым соотношением, легко выводящимся из прияципа Гюйгепса. Напомшо, что свойства среды в каждой точке характеризуются поверхностью векторов скорости света — икдикатрисой. 5 46.
поинцип гюйгепсл даМФмив ейвеевао ((волгла 0 п р е д е л е и и е. Направление гиперплоскости, касающейся индикатрисы в точке и, называется еопрлженным к направлению е (рис. 196). Т е о р е м а. Направление волнового фронта Ф, (() в точке дг сопряжено направлению луча, (). Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим (рис. 197) точки дч луча ас(гы 0 ~( т (. Пусть е очень мало. Тогда фронт Ф (е) отличается от индикатрисы точки до умноженной на е, лишь малыми порядка 0(з'). По принципу Гюйг енса, зтот Ф,М фронт Фч,, (е) касается фРонта Фч. (8) в точке д,. ИнУака аа у НапРейлевие Переходя к пределу при пгвчкааг е -+- О, получаем сформулированную теорему.
в уч При изменении вспомогательной метрики, с помощью ф (е) которой мы определили век- %-в тор р, будет меняться поня- «витт(йу Ж тне скорости движения фронРис. 197. Ссирлжсвлссть иалравлеыиа луча и Висита направление вектора 1о. Однако дифференциальная форма у сну = 08 на пространство ((() = Кз определена не зависящим от вспомогательной метрики обрааом; ее значение зависит лишь от выбранного фронт» (или луча). На гиперплоскостн, сопряженной вектору скорости луча, вта форма равна О, а ее значение на векторе скорости равно 1 в). Б. Оптико-механическая аналогия.
Вернемся теперь к механике. Здесь траектории движения также являются зкстремалями вариацяонного принципа, и можно строить механику как геометрическую оптику многомерного пространства. Именно так и поступил Гамильтон; мы не будем проводить зто построение во всех деталях, а только перечислим те оптические понятия, которые привели Гамильтона к основным механическим понятиям. Оптика Механика Оптическая среда Расширенное конфигурационное пространство ((Оч)), Принцев Ферма Приицип Гамильтона 6) Е лг = О Лу Траскторви ч (г) Ивдииатриса Лаграижиаи Е Нормальная медлительность Импульс р Фронта р Выражеиив р чврса сиоросгь луча ф Прссбразсиаиис Лежандра 1-форма р ач 1-фсрыа р ВЧ вЂ” Наг с) Таким образом, векторы р, соответствующие иссиозысжиыи фронтам, проходящим чврсз даииутс точку, ис произвольны, ис подчинсвы одному условию: доцусгииыс значения р зацслииюги прсстраистис (р) гиисрисвсрхвость, двойственную ивдзиагрисс скоростей 222 Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
