В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Каждый из трех эллипсов хд —— з) Задача о геодезвчесявх ка зллвпсопде в блпзвзя задача об зллвпсоидадьпом бильярде нашли прпмевевве в ряде ведазвах фвзвческях работ, связанных с лазерными устройствами. 233 $«п мвтод якови — РАмнльтонА = О,те — — О,л = 0 есть замкнутая геодезическая. Геодеаическая, выходящая иэ точек болыяого эллипса (с полуосями а, Ь) по направлению, близкому к направлению эллипса(рис. 206), касается поочередно двух замкнутых ливий пересечения зллнпсоида с одно- полостным гиперболоидом нашего семейства Х = сопзс *).
Эта геодезическая либо замкнута, либо заполняет кольцо между линиями пересечения всюду плотно. По мере увеличения наклона геодезическоп, гиперболоиды сжимаются к области «внутри» гиперболы, пересекающей наш эллипсоид в его четырех «точках округления». В предельном случае мы получаем геодезические, проходящие через точки округления (рис. 207). Интересно отметить, что все геодезические, выходящие из точки округления, снова собираются вместе в противоположной точке округления и все они имеют между двумя точками округления одинаковую длину. Однако только одна из этих геодезических Рвс.
ест. Гзсв<овчееекз, вмхс камее кз точек окрттлекля ввс. зоэ. геовее с е ел вя ле, касевмкеся аз»хеопс«тесто твя«736ол<е<ее замкнута: это средний эллипс с полуосями а, с. Если идти вдоль любой другой геодезической, проходящей через точку округления, в любую сторону, то мы будем асимптотически приближаться к этому эллипсу. Наконец, еще более екруто» пересекающие больвюй эллипс геодезические (рис. 208) касаются поочередно двух ливий пересечения нашего эллипсоида с двуяолоствым гиперболоидом *е). Ови ааполняют, вообще говоря, всюду плотно кольцо между этими линиями. Среди таких геодезических выделяется малый эллипс с полуосями Ь, с.
Об эллиптических координатах см. также добавление $4. «Главная трудность при интегрировании данных дифференциальных уравнений состоит во введении удобных переменных, для разыскания которых нет никакого правила. Поэтому мы должны идти обратным путем и, найдя какую-либо замечательную подстановку, разыскивать задачи, в которых она может быть с успе- «) Эта лквкк пересечеввя софокусвых поверхкостей являются также «инизми кривизны елляпсокде.
««) Являющихся также линиями кривизны. ГЛ. 9. КАПОНИЧЕСКИИ ФОРМАЛИЗМ хом применена» (Я к о б и К. Лекции по динамике.— Мл ОНТИ, 1936). Таблица задач, допускающих разделение переменных в сферических, эллиптических и параболических координатах, имеется в $48 «Механики» Ландау и Лифшица (М.: Физматгиз, (988).
4 48. Производявцве функции В»том параграфе строится аппарат производящих функций для несвободных в»вола««свих преобразований. А. Производящая функция 8» (Р, и). Пусть яв йв" — ~ К'"— каноническое преобразование, я (вв, и) = (.Р, О). По определению канонического преобразования. дифференциальная в-форма наКв~: тв дп — РНΠ— сИ является полным дифференциалом пекоторой функции 8 (Р, д). Каноническое преобразование свободное, если за 2п независимых координат можно принять «в, О. В зтом случае функция 8, выраженная через координаты д и О, называется производящей функцией ов ((г, (д). знан этУ единствепнУю фУпкцию, можно найти все 2п функций, задающих преобразование, из соотношений ддв(о, 12) Р дд (О, ()) ($) ао ' а(в Однако далеко не все канонические преобразования — свободные.
Например, в случае тоя.дественного преобразования д и О =- =д зависимы. Позтому тождественное преобрааование нельзя задать производящей функцией 8 (и, О). Однако можно перейти к производящей функции иного вида посредством преобразования Ленвандра. Пусть, например, за неаависимые локальные координаты з Ввя моя«но принять .Р, д (т. е. отличен от нуля определитель беС ' = «)еС вЂ” ) . Тогд(Р, о) дР) д(р, о) ав /.
да имеем Р <М вЂ” -Р в1 = — в(8, тв г((г + О. г(Р = «( (РО ( Величина .Р(д + о', выраженная через (Р, д), называется также производящей (рункцизй 8 (.Р, д) = РО + 8 Ь, Ы. Для атой фуикпии находим ддв(Р д) л д8«(Р д) (2) Р= д' в Π—— дР ° Обратно, если 8» (.Р, и) — произвольная функция, для которой отличен от нуля определитель ЙеС ' ~, то в окрестпод'дв(Р Ч) а 48. пгоизводящие <оунйщии 235 дда(Р, в) ~ сти точки ~ре — — ' ~, До) можно РааРешить пеРвУю группу уравнений (2) относительно,Р и получить функции Р ( р, д) (где Р (ухе, де) = .Ре). После этого вторая группа уравнений (2) определяет 9 (р, д), и отображение (р, д) (.Р, (д) — каноническое (докажите!).
3 а д а ч а. Найтп производящую фунипкю Я пчя тождественного отобрансения Р = р, и = и. Овнам. Рт. 3 а и е ч а н и е. Проиавонящан фуинцин Юа (Р, у) удобна еще н потому, что в формулах (2) нет минусов, и их легко вспомнить, если помнить, что произвоннщан функция тонщественного преобразования есть РЧ. Б. 2" производтпцих функций. К сожалению, переменные Р, д также не всегда могут быть выбраны за локальные координаты. Однако всегда моною выбрать некоторый набор и новых координат Р. =- (Р,„..., Р,), (~, =- (();,, ..., (~) „) так, что вместе со старыми д мы получим 2п независимых координат.
Здесь (г„..., гг) (у„..., у„г) — любое разбиение множества (г, ..., и) на две непересекающиеся части, так что всего имеется 2" случаев. Т е о р е м а. Пуапь д: К'" -+. Ка" — каноническое преобразование, заданное функциями Р (у, д), 9 (р, д). В окреппности каждой точки (Ре, Де) можно пРинлть за независимив кооРдинаты в Каа по лсеньшвй мере один из 2" наборов функций (Ры (зн д): д(Ро Яр а) д (Ри 9 ) д(р ° р.
д) д(ри р.) В окрест ости такой точки можно восстановить каноническое преобразование д по функции Я (.Рм 9р д) =(.Ро 9е) + ~рг(д — РИ(д из соотношений — Ф= — Р ддв д8а дЯа дд ' дР ' ! д(). (3) Обратно, воли Яа (Ри ®ь д) — любая функция, для которой отличен от нуля определитель((е! — ~ (ль = .Р;, (д)), то сода8а дна в„, отношения (3) задают каноническое преобразование в окрестности пмвгки лта~ до. Доказательство этой теоремы почти такое же, как проведенное вьппе в частяом случае Й = п.
Нужно лишь проверить, что для одного из 2" наборов (Ри 9н д) отличен от О определитель д(.Р,, Д,.) д(р;. р-) ГЛ. Э. КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ Рассмотрим дифференциал нашего преобразования З в точке (р, й ). Отоиществляя касательные пространства к Кзз с К"", мы можем считать ев снмплектическвм преобразованяем Тм Кз" Кз". Рассмотрим иоординатную р-плоскость Р в Кзэ (рис. 209). Это нулевая л-мерная плоскость,и ее обраа ЗР— тоне нулевая плоскость.
Спроектируем плоскость ЬР на координатную плоскость о = — ((Р„аЗЦ параллельно остальным координатным осям, т. е. по направлению нулевой л-мерной координатной плоскоств о =- ЦР.. д;)). Обозначим через Т: ЗР о оператор проектирования. З(~ Р (),) Условие йе( ~ Ц: 0 озвачаот незырожденность Тйй Р— о. Опе- з(РР Р,) ратор 8 невырожден. Ноатому для невырождеияоспз ТЗ необходимо и доста- точно, чтобы проектироеание Т: ЯР о не вырождалось. Р Ипымн словами, пулевая плоскость НР должна быть 8 йр трансверсальпой нулевой координатной плоскости о.
Но мы докааали з "з 4(, что хотя бы одна иа 2" нулевых координатных плоскостей трансверсальяа ЬР. Значит, один нз наших 2" определителез отличен от нуля, что и требовалось доказать. а 3 а д а ч а. Доказать, что приведенная система 2з видов производящих функций ьппппэальна: существуют канонические преобразования, для которых отличен он нуля е' лишь один из 2э определителей *). В. Бесконечно малые канонические преобразования.
Рассмотрим теперь каноническое преобразование, близкое к тождественному. Его производящую функцию можно взять близкой к производящей функции тождества .Рд. Рассмотрим семейство канонических преобразований уз1 дифференцируемо зависнщих от параметра е, так что производяп(ая функция имеет вид Рд+е8(Р,д;е); р=Р+г з, (з=д+е —. (4) Бесконечно малым каноническом преобразованием называется класс зввивалентности семейств «з; два семейства у, и й, зквивалеитны, если они отличаются малымн вьппе первого порядка, ! Уз — й ! =- О (е'), е — ь О. 'л е о р е м а. Бесконечно малое каноническое преобразование удовлетворяет дифференциальным уравнениям Гамильтона вр ) дн вО ) дн Вг ~з з до з Вз ~з з др с функцией Гамильтона гз (йз, д) .= Я (р, д, О). Доказательство получается иэ формул (4): .зз -ь р при е — ь О. С л е д с т в и е.
Однопарамгтрическая группа преобразований фазового пространства Кэ" удовлетворяет каноническим уравнениям Гамильтона тогда и только тогда, когда преобразования канонические. ° ) Число видов пронаводящих функций в разных учебниках колеблется от 4 до 4". С оз. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ 237 Функцию Гамильтона Н называют в связи с этой теоремой епроиаводящей функцией канонического бесконечно малого преобразованияо. Заметим, что, в отличие от производящих функций о", функция Н есть функция точки фазового пространства, инвариантно связанная с преобразованием.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
