В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 50
Текст из файла (страница 50)
С л е д с т в и е 2. Если чостопол независимы, то каждая траекторич равномерно распределена на торе Т". Это означает, что доля времени, которое траектория проводит в области Р, пропорциональна мере Р. Точнее, пусть Р— измеримая (по Жордану) область на Т".
Обозначим через тл (Т) количество времени, которое отрезок О «» 1«» Т траектории 1р(1) находится внутри Р. (Мы предполагаем, что множество таких моментов времени, которые движужая точка проводит в области, измеримо.) Тогда то К) шез В 11ш т т (2л) Д о к а а а т е л ь с т в о. Применим теорему к характеристической функции 1 мнол1ества Р (1 интегрируема по Риману, так т как область Р измерима по Жордану). Тогда ~ ~(1р(1)) с)г = тл (Т), о а ~ = (2н) " шез Р, и следствие непосредственно вытекает из теоремы. С л е д с т в н е. В носледовательностн 1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5, 1, 2,...
188 — 187 первых цифр чисел 2" число т встречается чаще, чем 8 в 1 8 1 8 раз. 8 — 88 Теорема об усреднении неявно встречается уже в работах Лапласа, Лагранжа и Гаусса по небесной механике; она является одной из первых чэргодических теореме. Строгое доказательство дали лишь в 1909 г.
П. Воль, В. Серпинский н Г. Вейль в связи с задачей Лагранжа о среднем движении перигелия Земли. Ниже воспроиаведено докааательство Г. Вейля. В. Доказательство теоремы об усреднении. Л е м м а 1. Теорема верна для вкспонент,1 =вы" в1, м бра". $ дд. ъ'срнднннин 253 Д о к а э а т е л ь с т в о. Если/с = О, то/ = / = /* = 1 и теорема очевидна. Если ))с ~= О, то / = О. С другой стороны, т ець ы)т 1 е)оп т.+нд) д(( ець, р ) е д(н, ы) о Поэтому временное среднее ,ць, ч.) цд, и)т д(в, ы) т что и требовалось докааать. Л е м м а 2.
Теорема верна для тригонометрических полиномов — /„вцн, в). !в)<к Д о к а з а те л ь с та о. И временное и пространственное среднее аависят от / линейно„поэтому совпадают по лемме 1, ч. т. д. Л е и м а 3. Пуппь / — вещественная непрерывная (или хотя бы интегрируемая по Риману) у/)ункция. Тоеда для любого е > О сущеппвуют два тригонометрических гг г' 6~ полинома Р, Р таких, что Рд (/ < Рв, (Р,— Р,)бр<" е. (2я) т" Докаэательство. Пусть сначала / непрерывна. По теореме Вейерпдтрасса ее можно приблиаить тригонометрическим полиномом Р, ) / — Р ( ( е/2. гна гдг.
яннрннсй ~нанн атннннн У трнгонощетрнчнеПолиномы Рд Р е/2> Рд Р + е/2 низщ ннниионннн Р1 н уд искомые. Если же / раарывна, но ннтегрируема по Риману, то существуют две непрерывные функции /д, /н, так что /д ч.. / ( /„ (2п) ) (/д — /д) Йр ( е/3 (рис. 222 соответствует характеристической функции отрезка). Аппроксимируи / и / полнномами Р, ч. /д (/н С Рю (2п) ") (Рн — /д) )()р < е/3, (2п) ~ (/)в — Р,) Нд() ( е/3, получим требуемое. Лемма 3 докааана. Теперь легко окончить док а а а тельство теоремы. Пусть е ~ О. Тогда по лемме 3 существуют тригонометрические полиномы Р С /( Р„(2п) ) (Р— Рд) с(др ( е.
При любом Т имеем тогда ГЛ. 10. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВОЗМУЩЕНИИ По лемме 2, при Т) Т (е), 1Р1 т ~ Рг(грЯ)г(в~ Се (1 1'2) о Далее, Рв< 7 < Р н Р, — Р, < е. Поэтому Р, — 7 < е, Г'— — Рг < е; следовательно, при Т ) Тв (е) т ~ т ~~«р(г))й2 ~~<2е о что н требовалось докааать. 3 а д а ч а. Двумерный осциллятор с кинетической энергией т = 1 = — ав + — дв и потенциальной энергией б' = 2 х + у' совершает 2 2 колебания с амплитудами а = 1, тв а„= П Найти временное среднее киаг яетичеспой энергии.
бР а ав 3 а дача*). Пусть ыв иезаеисимы, аг) О. Вычислять аг аг в ив в Пв1 — вгй ~ а е в ю ,~, 1 В=1 Рвс. 222. К ввввчо о срвдвви движении пороговиов ыгав+ ивхв+ агав Ответ. и , где а1, ав, ав — углы треугольника со сторонами аь (рис. 223). Если же одно из чисел аь больгпе суммы двух других, твк что треугольника заставать нельзя, то искомая средняя угловая скорость есть юг. Т. Выроивдення. До сих пор мы рассматривали случай, когда частоты ш независимы.
Целочисленный вектор гс й Х" называется еоолвношением между чеетопгами, если (й, ш) = 9. 3 а д а ч а. Докзяште, что множество всех соотнолиний между данными частотами т образует подвруппу Г реиилиси Ен. о) Двграюк показал, что к подобной задаче свсдктои исследование среднего дзвжеиия перигслиев планет. Решение этой задачи можно найти з работах Г.
Вейля. Зксцеитриситет орбиты Земли меняется квк модуль аивлогичиой суммы. С измеиеяием эксцеитриситега свяввяы, по-видимому, ледкековые периоды. оо) Докажите, что число г не зависит ст выбора независимых векторов ин Но мы видели в 2 49, что такая подгруппа состоит ив всех целочисленных линейных комбинаций г независимых векторов ге1, 'в < г ~< и.
Мы скажем, что между частотами имеется г (незйеиеимыл) соотношений оо). 255 $5!. Рсгнднвнив 3 а дача. Доквжпто, что ламикание тРаектоРии (вр(8) = врв+ юг) (на Тн) представляет гобой твр ралмерноети и — г, если между частотами ев имеетея г кеэаеиеичых соотношений; в этом случае движение на Ти г— условно-перивдичеекое. е и — г вювавиеимыми частотами. Вернемся теперь к интегрируемой гамильтоновой системе, ааданной в переменных действие — угол Х,5у уравнениями Х =О, ф =го(Х), где ю(Х) =— дй Каждый и-мерный тор Х =- сопке в 2п-мерном фазовом пространстве инвариантен, н двиявенне на нем условно-периодично. О п р е д е л е н н е.
Система называется невыролсденной, если отличен от О определитель дю двд дет — = е)еч — — . дг дхе 3 а д а ч а . Докажпто, что если еиетел~а иевырвждена, то е любой окрестности любой точки илгеются уелвв)ю-перивдичеегие движения е п чаепютами, а также с любым меныиим числом частот. У н а и а н и е. Вместо переменных Т молгзо за локальные координаты принять сами частоты ю. В пространстве наборов частот множества точек ю с любым чксзом г соотнопюнкй (О ~ г < и) всюду плотны. С л е д с т в и е. Если система невыролсдена, то инвариантные торы Г = сопвбопределены однозначно, независ мо от выбора координат действие — угол Х, ву„в построении которых имеется всегда некоторый произвол а).
Действительно, торы Х =- сопл( можно определить как замыкания фазовых траекторий, соответствукнцих независимым ю. Замечу кстати, что при болыпинстве значений Г частоты ел будут независимы. 3 а д а ч а. Докажите, что лебеэова л~ера мнежеапва внех Т, для которых частоты и (Г) в невирожденнвй еиетеме эавиеимы, равна О. у к а а а н н е. Сначала докажите, что плчя (кс ви ча О, (ю, 55) = О) = О.
Напротив того, в вырожденной системе можно построить такие системы переменных действие — угол, что торы Г = сопел в одной и в другой системе будут равными. Это объясняется тем, что замыкания траекторий вырожденной системы — торы размерности й ( и, и их молено по-разному соединять в и-мерные торы. П р и м е р 1. Плоский гармонический осциллятор х = — м; и = 2, й = 1.
Разделение переменных в декартовых и в полярных координатах приводит к разным переменным действие— Угол и равным торам. в) Напрлмер, всегда допустимы замены л' =- Т, вр' = ер -)- я (Т) нлн л* лв ЧЪ где'-' лл + лв лэ' % гув — %. 256 ГЛ. 10. ВВЕДЕИИЕ В ТЕОРИЮ ВОЗМУЩЕНИЙ П р ни е р 2. Кеплерово плоское движение~У = — — «, и = г 1« 2, й = $. Здесь также разделение переменных в полярных и в эллиптических координатах приводит к равным л. З 52.
егсреднепне возмущений Здесь докааана аднабатнтеская нвварнантность переменной действня в системе с одной степенью свободы. А. Системы, близкие к интегрируемым. Ыы рассмотрели вьппе довольно много интегрируемых систем (одномерные задачи, задача двух тел, малые колебания, случаи Эйлера и Лагранжа движения твердого тела с закрепленной точкой и т. д.).
Мы изучили характер фазовых траекторий в этих системах: они оказались <обмотками торов», заполняющими всюду плотно инварнантные торы в фазовом пространстве; каждая траектория распределена на этом торе равномерно. Не следует думать что такая ситуация типична для задач общего вида. В действительности свойства траекторий в многомерных системах могут быть весьма раанообрааными и совсем не похожими на свойства условно-периодических движений. В частности, замыкание траектории системы с п степенями свободы может заполнять в 2п-мерном фааовом пространстве сложные множества размерности больше п; траектория может даже быть всюду плотной и равномерно распределенной на всем 2п — 1-мерном многообразии, заданном уравнением П = й е).
Термин «неинтегрируемые» в применении к этим системам оправдан, так как они не допускают однозначных первых интегралов, не зависящих от Н. Исследование таких сложных систем еще далеко от завершения; оно составляет задачу «зргодической теории». Один из подходов к неинтегрируемым системам — изучение систем, близких к интегрируемым. Например, задача о движении планет вокруг Солнца близка к интегрируемой задаче о движении невзаимодействующнх точек вокруг неподвижного центра; упомянем еще задачу о движении слегка несимметричного тяжелого волчка и задачу о нелинейных колебаниях вблизи положения равновесия (близкая интегрируемая аадача — линейная).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
