В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 54
Текст из файла (страница 54)
В ревультате нашей деятельности в каждой точке втой геодезической возникнет касательная плоскость, содер- жащая направление геодезической. Эта плоскость зависит от шага Ь нашей конструкции. При Ь -ь О полученное семейство касатель- ных плоскостей стремится (как монсно сосчитать) к определенному пределу. В результате вдоль нашей геодезической воаникает поле каса- тельных двумерных плоскостей, содержащих направление геоде- внческой и определенное внутренним образом самой метрикой многообразия.
Теперь параллельное перенесение нашего вектора вдоль геоде- зической определяется как в двумерном случае: зтот вектор дол- жен при перенесении оставаться в предписанных плоскостях, сохранять свою длину и свой угол с направлением геодезической. Параллельное перенесение вдоль любой кривой определяется с помощью аппроксимации теодезическими ломаными, как в дву- мерном случае, 3 а д а ч а.
Докейквте, что параллельное перенесенке векторов кв одной точки ркыанова ккоюобраввя в друтую вдоль фвкскрованного пути является линейным наометрвчсскны оператором ка касателыюго пространства в пер- вой точке в касательное пространство во второй точке. 3 а д а ч а. Перевестк параллельно вдоль лкакк , = О, д = 1 <О ~ т ~( т) пространства Лобачевского с метрикой Нее = Аейй + Ыйй~ + дуй уй любой вектор. Отвею. Векторы направлеввй осей я н у поворачиваются в натянутой на вкх плоскости на угол т в направлении от оск у к оск йн а вектор направлеккя ей переносится параллельно себе к в смысле евклидовой лктрвкк. Д. Тензор кривизны. Рассмотрим теперь, как и в двумерном случае, параллельное перенесение по маленькому замкнутому пути, начинающемуся и кончающемуся в одной точке риманова многообразия.
Параллельное перенесение вдоль такого пути возвращает век торы в исходное касательное пространство. Полученное отображение касательного пространства в себя является малым поворотом (ортогональным преобразованием, близким к тождественному). В двумерном случае ыы характернйовалн атот поворот одним числом— углом поворота ~р. В многомерном случае роль числа <р играет кососиннетрнческий оператор.
Аныенно,каждый ортогональный оператор А, блнаквй ктождественному, единственным образом вапясывается в виде Ф Фй А=с =Е+Ф+, +..., тде Ф вЂ” малый кососнннетрнческвй оператор. 272 довлвлвние 1 3 а д а ч а. Вычислить Ф, если А — поворот плоскости на малый угол ф. В отличие от двумерного случая, функция пути Ф не является, вообще говоря, адавтивнов (так как ортогональная группа и-мерного пространства прн л ) 2 не коммутативна).
Тем не ыенее мы можем построить при помощи Ф форму кривизны, опясывагсщую «бесконечно малый поворот при обносе бесконечно малого параллелограмма» таким же способом, как в двумерном случае, т. е. при помощи формулы (2). Итак, пусть б, т) иэ Т̄— касательные к риманову многообразию М в точке х векторы. Построим на М малый криволинейный параллелограмм Пе. (Стороны параллелограмма Пе получаются иэ векторов ей, е») касательного пространства при координатном отел«дествлевии окрестности нуля в ТМ„с окрестностью точки х ка М). Рассмотрим параллельное перенесение вдоль сторон параллелограмма П, (обход начинаем с б). Результатом перенесения будет ортогональное преобразование пространства ТМ„, близкое к тождественному.
Оно отличается от тождественного преобразования на величину порядка е' и имеет вид Ае ($, т)) = Е + зеьз + о (з'), где ьз — кососимметрический оператор, аависящий от $ и от т). Итак, мы можем определить функцию ьз от пары векторов б, т) касательного пространства в точке х со значениями в пространстве кососимметрических операторов на ТМ„формулой Ае (ен»)) — Е »З(б,т)) = Пш 3 а д а ч а.
Докажите, что фуниция () является дифференциальной 2-формой (со аначеннями в кососимметрических операторах на ТМ„) и не вависвт от выбора коорднкат, с помощью которых мы отождествляли ТМ„и М. Форма ьз называется тензором кривизны риманова многообразия.
Таким образом, тенэор кривизны описывает инфинитезимальный поворот касательного пространства при параллельном перенесении вокруг бесконечно малого параллелограмма. Е. Кривизна по двумерному направлению. Рассмотрим двумерную плоскость Ь в касательном пространстве к риманову многообразию в какой-либо его точке.
Выпустим из этой точки геодеаические по всевоэмонгным направлениям иэ плоскости Ь. Эти геодезические обраауют вблизи напюй точки гладкую поверхность. Построеннан поверхность вложена в риманово многообразие и получает из него риманову метрику. Кривизной риманова многообразия М в направлении 2-плоскости Ь в касателънаи проппранапве к М в точке х нааывается риманова кринизна описанной выше поверхности в точке х. РИМАНОВА КРИВИЗНА 273 3 а д а ч а. Найти крввиевы трехмерной сферы радиуса й и пространства Лобачевского по всевозможвым двумерным ваправлевиям.
Ояыею. Л з, — 1. Вообще говоря, кривизны риманова многообразия по разным двумерным направлениям в одной точке различны. Их зависимость от направления описывается приведенной виже формулой (3). Т е о р е м а. Кривизна риманова многообразия по двумерному направлению, определенному парой ортогональных векторов $, т) длины 1, выразхаелюл через тензор кривизны П по формуле К = (П (ь. Ч) в~ ")7 где угловые скобки означают скалярное произведение, задави)ее риманову метрику. Доказательство получается сраввевием определений тевзора кривизны и кривиапы по двумерному направлению.
Мы ве останавливаемся ва его аккуратвом проведении. Нри звславви мозкпо првюзть формулу (3) еа определение кривизны К. Ж. Ковариантное двфференцирование. С параллельным перенесением вдоль кривых на рнмановом многообрааии свявано своеобразное дифференциальное исчисление — так называемое ковариантное дифференцирование, или риманова связность. Определяется это дифференцирование следующим образом.
Пусть 5 — вектор, касательный к риманову многообразию М в точке х, а и — векторное поле, заданное на М в окрестности точки х. Ковариантная проиаводная поля п по направлению вектора $ определяется с помощью какой-либо кривой, выходящей из точки х со скоростью $. При двия1ении по втой кривой в течение небольшого интервала времени 1 мы окажемся в новой точке х (1). Воаьмем вектор поля и в этой точке х (1) и параллельно перенесем его вдоль кривой назад в исходную точку х.
Мы получим вависящий от 1 вектор в касательном пространстве к М в исходной точке х. При 1 = О это вектор и (х), а при других 1 он ивменяется в соответствии с непараллельностью векторов поля и вдоль нашей кривой направления $. Рассмотрим производную полученного вектора по 1 при 1 = О. Эта производная является вектором касательного пространства УМ„.
Опа называется ковариантной производной полл и по $ и обозначается через )7бс. Легко проверить, что вектор 71п не аависит от выбора кривой, участвовавшей в определении, но лишь от вектора $ и поля и. 3 а д а ч а 1. Доказать следующие свойства ковариавтвого дифферекцировавия: 1) )71о есть билипейвая функция й и в. 2) %'а(о = (Ей))в + Г (х) рзе, где" 1 — гладкая функция, й à — производная функции Г по паправлеавю вектора й иа ТМх. довявленне 1 3) Ьй <е, ао> <<7йе, ьс (х)>+ <е (х), тйж>.
4) П < >щ — <7 <„>е = (ю, е) (х) (гДе ьре ) — — А,ь — ь, б ). 3 а д а ч а 2. Докааать, что тевэор крпвпаны выражается через коварв- автвые проваводвые следующим обравом: а(У„Ч,)й,= Рй<>чС+Пчр й+Р,„й)У, где а, Ч, ь — любые векторные поля, аначенвя которых в рассматриваемой точке равны $а. Че Фо. 3 а д а ч а 3. Докааать, что тенаор крввваны удовлетворяет следующнм тождествам: П(й.ч) ~+П(Ч, фй+П(~.~) Ч =О.
<<) ($, Ч) а, р> = <Й (а,,") т, Ч>. 3 сдача 4. Пусть рвманова метрвка задается в локальной системе координат х„,..., х„свмметрнчной матрлцей хм: оаь = Еу<уЬ"дхр Обовначэм через еь,..., е„коордлнатвые векторные полн (так что пронв- водная по направленшо е; есть д< = д/ах<). ьогда коварнантные пронаводные можно вычислять с помощью формул вадачп $ и следующих формул: уе е ~~ <<е» ц= ч ' (з,.у)+а,.уя — э,у,,)х, где (у<а) — матрица, обратная к (Хы).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
