В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 57
Текст из файла (страница 57)
И. Дополнительные главы теории обыкновенвых дифференш«альных уравнений.— М.: Наука, Итб. доБАвлении $ Рве. 23К ториеесниз бвльири с рессеиеивщеа иртслаа син- коа Рассмотрим для простоты систему всего из двух частиц на плоскости и заменим квадратный ящик с отражением от стенок плоским тором ((л, у) шое1е1 1). Тогда мы можем считать неподвижной одну из частиц (пользуясь сохранением импульсов); другую же частицу можно считать точкой. Мы приходим, таким образом, к модельной задаче о движении точки по торическому бильярду с круглой стенкой в середине, от которой точка отражается по законуеугол падения равен углу отраженияе (рис. 235).
Для исследования этой снстемы рассмотрим еще аналогичный бильярд, ограниченный снаружи плоской выпуклой кривой (скажем, движение точки внутри эллипса). Движение на таком бильярде можно рассматривать как предельный случай геодезического потока на поверхности эллипсоида. Предельный переход состоит в уменьшении малой оси еллипсоида до нуля.
В результате геодезические на эллипсоиде переходят в бильярдные траектории на эллипсе. Мы обнаруживаем при атом, что эллипс рааумно считать двусторонним и считать, что при каждом отражении геодезическая переходит с одной стороны эллипса на другую. Вернемся теперь к нашему торическому бильярду. Движения на нем тоже моншо рассматривать как предельный случай геодевического потока на гладкой поверхности. Эта поверхность получается, если рассмотреть тор с дырой как двустороннюю поверхность и придать ей некоторую толщину, слегка сгладив острое ребро. В результате получается поверхность с топологией кренделя (сферы с двумя ручками).
Вели при раздувании эллипса в эллипсоид получается поверхность положительной кривизны, то при раздувании тора с дырой возникает поверхность отрицательной кривизны (в обоих случаях кривизна сосредоточена вблизи края, но раздувание можно провести так, чтобы знак кривизны не менялся). Итак, движение в пав|ем торическом бильярде мохсно рассматривать как предельный случай двинсения по геодезическим на поверхности отрицательной кривизны. Теперь для доказательства гипотезы Больцмана (в рассматриваемом простейшем случае) достаточно проверить, что анализ стохастических свойств геодезических потоков на поверхностях отрицательной кривизны сохраннет силу в указанном предельном случае.
При подробном проведении доказательства оно оказывается весьма сложным (С и н а й Я. Г. Динамические системы с упругими отражениями 0 УМН. — 1970. — 'Г. 25, ещ 2. — С. 141 †1; Синай Я. Г., Чернов Н. И. // 'УМН. — 1987. — Т.
42, ж 8). гиодкзв'чкскик лквоинвлвиАнтных мктгин 283 Добавление 2 ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛЕВОИНВАРИАНТНЫХ МЕТРИК НА ГРУППАХ ЛИ И ГИДРОДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ Эйлерово движение твердого тела можно описать как движение по геодезическим на группе вращений трехмерного евклидова пространства, снабженной левоиивариантной римановой метрикой. Значительная часть теории Эйлера связана лишь с этой инвариантностью и потому переносится на случай других групп. Среди примеров, охватываемых такой обобщенной теорией Эйлера, движение твердого тела в многомерном пространстве и, что особенно интересно, гидродинамика идеальной (несжимаемой и невяэкой) жидкости. В последнем случае в качестве группы выступает группа диффеоморфизмов области течения, сохраняющих элемент объема.
Принцип наименьшего действия в этом примере означает, что движение жидкости описывается геодезической метрики, заданной кинетической энергией (при желании можно считать этот принцип математическим определением идеальной жидкости). Легко проверить, что указанная метрика (право) инвариантна. Конечно, распространять результаты, полученные для конечно- мерных групп Ли, на бесконечномерный случай следует с осторожностью. Например, в трехмерной гидродинамике до сих пор нет теорем существования и единственности решений уравнений двиягения.
Тем не менее интересно посмотреть, к каким выводам приводит формальное перенесение свойств геодезических на конечномерных группах Ли на бесконечномерный случай. Эти выводы носят характер априорных предложений (тождеств, неравенств и т. и.), которые должны выполняться при всяком разумном понимании решений. В некоторых случаях получаемые здесь выводы удается аатем строго обосновать непосредственно, минуя бесконечномерный анализ. Например, уравнения Эйлера движения тверого тела имеют своим аналогом в гидродинамике уравнения Эйлера движения идеальной жидкости. Теореме Эйлера об устойчивости вращений вокруг болыпой и малой осей эллипсоида инерции отвечает в гидродинамике слегка обоб|ценная теорема Релея об устойчивости течений без точек перегиба профиля скоростей и т. д.
Из формул Эйлера легко извлечь также явное выражение для римановой кривизны группы с односторонне инвариантной метрикой. В применении к гидродинамическому случаю мы находим кривизну группы диффеоморфизмов, сохраняющих элемент объема. Интересно отметить, что для достаточно хороших двумерных направлений кривизна оказывается конечной, и во многих слуЧаях — отрицательной. ДОБАВЛЕНИЕ 2 Отрицательность кривизны вызывает экспоненциальную неустойчивость геодезических (см. добавление $). В рассматриваемом случае геодезические — это течения идеальной жидкости.
Поэтому из вычисления кривизны группы диффеоморфизмов можно извлекать некоторую информацию о неустойчивости течений идеальной жидкости. Именно, кривизна определяет характерный путь, на котором отклонения начальных условий вырастают в е раз. Отрицательность кривизны приводит к практической непредсказуемости течения: на пути, большем характерного всего в несколько раа, отклонения начальных условий от расчетных увеличатся в сотни раз. В этом добавлении кратко изложены результаты вычислений, связанных с геодезическими на группах с односторонне инвариант- ными метриками. Доказательства и дальнейшие подробности можно найти в следующих работах: А г и о 1 д У.
Зпг 1а Збошетпе д1Негбпт!е11е дез атопрез де йде де й)шепиоп шйше е1 зез аррИсайопз а ГЬудшдупашк(пе доз ПоЫез рагЫзз ЛЛппа1ез де Р1вз111пт Гоппег.— 1966.— Т. 16, № 1. — Р. 316 — 361. А р в о л ь д В. И. Об одной априорной оценке теории гидродинамической устойчивости ЛИзв. вузов. Математвка.— 1966.— № 5, вып. 54.— С. 3 — 5. Л р и о л ь д В. И. Замечания о поиедевии течений трехмервой идеальвой жидкости при малом возмущекии вачальиого поля скоростей //ПММ.— 1972.— Т. 36, № 2.— С. 255 — 262. А р в о л ь д В.
И. Гамильтововость ураввеиий Эйлера дввамики твердого тела и идеальной видкоств // УМН.— 1969.— Т. 24, № 3 (147).— С. 225 — 226. Д и к и й Л. А. Замечание о гамильтововых системах, связаивых с трусцой вращевий // Фувкц. аиализ и его приложевия.— 1972.— 'Г. 6, № 4. Е Ь(п В. О., М ага й е и 7. Сгопрз ар д(ИеошогрЬМшз апй 1Ье пю1юп о( ап 1псошргегл)Ые Во№ // Липа)з о(МатЬ.— 1970.— У. 92, № 1.— Р. 102— 163. Л ады же век а я О.
А. О раарешимости в малом вестациаварвых задач для несжимаемых идеальных и вязких жидкостей и исчезжсщей вязкости // Краевые задачи математической физики. Т. 5 (Записки научных семяваров ЛОМИ, т. 21).— М.; Лл Наука, 1971.— С. 65 — 78. М и щ е в к о А. С. Ивтегралы геодезических потоков ва группах Ли // Фувкц. авализ и его приложевия.— 1970.— Т. 4, № 3.— С.
73 — 78. О б у х о в Л. М. Об иитегральвых ипваризвтах в системах гидродивамического типа //ДАН СССР.— 1969.— Т. 134, № 2. Ф а д д е е в Л. Д. К теории устойчивости стационарных плоско-пааллелькых течений идеальной жидкости // Краевые задачи математической изики. Т. 5 (Записки ваучкых семинаров ЛОМИ, т. 21).— М.; Лл Наука, 1971.— С. 164 — 172. А, Обозначения. Присоединенное и коприсоединенное представления. Пусть б — вещественная группа Ли, 9 — ее алгебра Ли, т.
е. касательное пространство к группе в единице, снабженное операцией коммутирования Ц. Группа Лн действует на себе левьпии и правыми сдвигами: для каждого элемента я группы б определены диффеоморфиэмы гиодизичкскик лквоинвАРнантных мктгяк 285 группы в себя т ."С С, Ьэй=ал; В:С С, ВэЬ=Ьд. Индуцированные отображения касательных пространств будем обозначать через Ь~~: ТСь ТС Ы В: ТС ТСЬ для всякого А из С.
Диффеоморфиэм В~ Ез является внутренним автоморфизмом группы. Он оставляет единицу группы на месте. Его производная в единице есть линейное отображение алгебры (т. е. касательного пространства к группе в единице) в себя. Это отображение обоаначается через и называется присоединенным (ай)о)п$) представлением группы. Легко проверить, что Ад, является гомоморфизмом алгебры, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
