В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Ниже формулируется обобщение атой теоремы на случай твердого тела с любой группой Ли. Заметим, что стационарные вращения— это геодезические левоинвариантной метрики, являющиеся однопараметрическими подгруппами. Заметим также, что направления главных осей эллипсоида инерции можно определять, рассматривая стационарные точки кинетической энергии на сфере векторов момента фиксированной длины. Т е о р е и а 7. Кинетический момент (соответственно угловая скорость) стационарного вращения относительно тела является критической точкой энергии на орбите коприеоединенного представления (соответственно ка образе орбиты под действием оператора А ').
Обратно, всякая критическол точка энергии на орбите определяет спзационарное вращение. Доказательство — непосредственная выкладка пли ссылка на теорему 4. Заметим, что разбиение пространства моментов на орбиты коприсоединенного представления может в случае произвольной группы быть устроено не так просто, как в простейшем случае обычного твердого тела, когда это — разбиение трехмерного пространства на сферы с центром О и саму точку О. В частности, орбиты могут иметь разные размерности, и разбиение на орбиты может не быль в окрестности данной точки расслоениеъп такая особенность есть уже в трехмерном случае в точке О.
Мы назовем точку М пространства моментов регулярной точкой, если разбиение окрестности точки М на орбиты диффеоморфно разбиению евклидова'.пространства на параллельные плоскости (в частности, все орбиты, близкие к точке М, имеют одинаковые размерности). Например, для группы вращений трехмерного пространства регулярны все точки пространства моментов, кроме начала координат. Т е о р е м а' 8. Предположим, что регуллркая точка М пространства моментов является критической точкой энергии на орбите коприсоединенного представленил, и апо второй дифферекциал энергии <РН в этой точке — знакоопределеннал квадратичная форма.
Тогда М вЂ” устойчивое (по Ляпунову) положение равновесия уравнения Эйлера. Доказательство состоит в том, что вследствие регулярности на соседних орбитах рядом с точкой М есть условный максимум или минимум энергии. Т е о р е м а 9. Второй дифференциал кинетической энергии„ сужекной на образ орбиты коприсоедикенного представления в алгебре, дается в критической точке ю Е= й формулой 2еРН~„Я) = СВ(ю,Д, В(ю,®+ Я, ю), В(ю,~)), где $ — касательный векпюр к указанному образу, выражающийся Гяодеэические лезоннвлэилнтных метгик 295 через 1 по формуле $ = В (от, 1), ~ Е= 9. Е.
Рнмаиова кривизна группы с левоинвариантной метрикой. Пусть С вЂ” группа Ли, снабженная левоинварнантяой метрикой. Пусть (,) — скалярное произведение в алгебре, задающее эту метрику. Заметим, что риманова кривизна группы В в любой точке определяется кривизной в единице (так как левые сдвиги переводят группу в себя иэометрически). Поэтому кривизну достаточно вычислить для двумерных плоскостей, лехтащих в алгебре Ли. Т е о р е м а 10. Кривизна группы в направлении, определенном ортонормированной парой векторов $, т) из алгебры, дается формулой Кэ, „= (6, 6) + 2 (а, р) — 8(а, а) — 4 (ВЭ, В„), где 26 = В Я, т)) + В (т), э), 2() = В ($, т)) — В (ц, э), 2а = = (э, т)), 2Вэ = В (Э, $), 2В„= В (т), т)), и где  — операция, определенная в пункте Б (стр. 288).
Доказательство — утомительное, но прямое вычисление. Оно основано на легко проверяемой формуле для ковариавтной производной (Уэц), = —,((6, ц) — ВД, ц) — В(ц, Р, 1 где $ и т) слева — левоинвариантные векторные поля, а справа— их значения в единице. 3 а м е ч а н н е 1. В частном случае двусторонне инвариантной метрики формула для кривизны принимает особенно простой вид 4 3 а м е ч а н и е 2.
Формула для кривизны группы с правоинвариантной римановой метрикой совпадает с формулой для левоннвариантного случая. Действительно, правоинвариантная метрика на группе есть левоинвариантная метрика на группе с перевернутым законом умножения (дтгдз = узуд), Переход к перевернутой группе меняет анаки коммутатора и операции В в алгебре одновременно. Но в каждом слагаемом формулы для кривизны стоит произведение двух меняющих знак операций.
Следовательно, формула для кривизны сохраняет силу в правоинвариантном случае. В уравнении Эйлера прн переходе к правоинвариантному случаю меняется знак правой части. Ж. Приложения к группе диффеоморфиэмов. Пусть Ю— ограниченная область в римановом многообразии.
Рассмотрим группу диффеоморфизмов области Ю, сохраняющих элемент объема Мы будем обозначать эту группу через 30111Р. ДОВЛВЛЕННЕ 3 Алгебра Ли, соответствующая группе Я)1НР, состоит из всех векторных полей днвергенции О на Р, касающихся края (если ои ке пуст). Определим скалярное произведение двух элементов этой алгебры Ли (т. е. двух векторных полей) как (пы пз) = ~ (гх - пз) дх, и где (.) — скалярное произведение, задающее риманову метрику на Р, а сЬ вЂ” риманов элемент объема.
Рассмотрим теперь течение однородной идеальной (несжимаемой, невязкой) жидкости в области Р. Такое течение описывается кривой 1 е, на группе Я))Н Р. А именно, диффеоморфизм я, — зто отображение, которое переводит каждую частицужидкости из того места, где она была в момент времени О, в то место, где она окажется в момент 8. Оказывается, кинетическая энергия движущейся жкдкости— это правоинвариамгипоя римвнова метрика на группе диффеоморфизмов ВИН Р. П самом деле, пусть эа время 1 течение жидкости осуществило днффеоморфпзм йю а скорость в этот момент времеви задается векторным полем и.
Тогда дяффеоморфпэм, осуществляемый течевпем за время з + т (где т мало) будет е'тлз с точностью до малых по срввпенаю с т величин (здесь е" — это одпопараметрнческая группа с вектором скорости и, т. е. фазовьш поток заданного полем с дйфференцнзльного уравнения). Следовательно, поле скоростей и получается кз касательвого к группе в точке у вектора й правим сдвигом. Отсюда к следует правопнварпавтвость кинетической энергии, которая, по определенню, равна у = — <г,с> 2 (плотпость жпдкостн мы считаем равной 1).
Принцип наименьшего действия (который в математическом отношении есть определение идеальной ппщкости) утверждает, что течения идеальной жидкости являются геодезическими описанной правосторонне инвариантной метрики на группе диффеоморфизмов. Строго говоря, бесконечномерная группа днффеоморфпзмов не является многообразнем. Поэтому точная формулнровка предыдугцего определеппя требуетдополнктельпой работы: нужно выбрать подходящке фупкцкопзльные пространства, доказать теоремы существовапкя и единственности рещенпй п т. д.
До спх пор это удалось сделать только в случае, когда размерность обласгя теченяя Р равна 2. Мы, однако, будем действовать так, кзк если бы эткх трудностеп, связанных с бескоаечаомерностью, не существовало. Таким образом, дальпейюпе рассуждения аосят эвристический характер. Впрочем, мяогпе результаты можно обосновать строго, незэвпспмо от теории бесконечномерных многообраэкй. Теперь мы укажем, в каком виде записываются приведенные выше общие формулы в случае С = Бг))НР, где Р— связная об- Геодезические левоинвлгилнтных метгик 297 ласть конечного объема в трехмерном римановом„многообразии. Для етого прежде всего нужно записать явно билйнейную операцию В: 9 Х 9 - 9, определенную в пункте Б тождеством ((а, Ы, с) ел (В (с, а), Ь).
Легко провервть, что в трехмерном случае векторное поле .В (с, и) выражается через векторные поля а и с из нашей алгебры Лн по формуле В (с, а) = (гочс) /~ и + йгаба, где ~~ означает векторное произведение, а и — однозначную в Р функцию, которая однозначно (с точностью до слагаемого) определяется условием .В ~ й (т.е. условиями йч Ю = О и .В касательно к краю Р). Заметим, что операция В не зависит от выбора ориентации, так как векторное произведение и ротор оба меняют знак при изменении ориентации.
3. Стационарные течения. Уравнение Эйлера для «угловой скорости» в случае б = ЭИП Р имеет внд ф = —.В (и, и), так как метрика правоннвариантва. Оно принимает позтому в случае группы днффеоморфнзмов трехмерного пространства вид «уравнения движения в форме Бернулли» вЂ” в/,тейп+угада, йчп=О. Нв вг Уравнение Эйлера для момента записывается в виде «уравнения вихря» — = (кч го« ь1. его«о ег В частности, вихрь стационарного течения коммутирует с полем скоростей.
Это замечание позволяет немедленно топологически классифицировать стационарные течения идеальной жидкости в трехмерном пространстве. Т е о р е м а 11. Предположим, что область Р компактна и ограничена аналиглической поверхностью, а поле скоростей аналитична и не везде коллинеарно со своим ротором.
Тогда область течения разбивается аналитпическим подмножеством на конечное число ячеек, в каждой из которых течение устроено стандартным образом. А именно, ячейки бывают двух типов: расслоенные на инвариантные относительно течения торы и роса«сенные на инвариантные относительно течения поверхносгли, диффеоморфные кольцу г«Х о«. При етом на каждом из торов все линии тока замкнуты, либо все всюду плотны, а на каждом кольце все линии тока замкнуты. 298 ДОБАВЛЕНИЕ 3 Доказательство этой теоремы основано на рассмотрении «поверхностей Бернулли», т. е. поверхностей уровня функции а. Из условия стацнонарностн (и/~, го«н = — ягад х) следует, что как линии тока, так и линии ротора лежат на поверхностях Бернулли.
Поскольку поля скорости и ротора коммутируют, на замкнутой поверхности Бернулли действует группа К», и она обязана быть тором (ср. с доказательством теоремы Лиувилля в $ 49). Аналогичные соображения, с учетом граничного условия на краю Р, показывают, что незамкнутые поверхности Бернулли состоят из колец с замкнутыми линиями тока. 3 а м е ч а н и е. Аналитичность поля скоростей не очень существенна, но важно, чтобы поля скорости и ротора не были коллвнеарны ни в какой области. Машинные эксперименты, проведенные М. Э но, показывают более сложное, чем описано в теореме, поведение линий тока для стационарного течения на трехмерном торе, заданного формулами о„= А зш г+ С соз у, о„= В згп х+ А соз з, о, = С зш у,+В соз х.
Формулы подобраны так, что векторы о и гоФ околлинеарны. Судя по результатам счета, некоторые линия тока плотно заполняют трехмерные области. И. Изозавихренные полн. Двумерная гндродинамнка резко отличается от трехмерной. Сущность этого различия заключается в различии геометрии орбит коприсоединенного представления в двумерном и трехмерном случае. Именно, в двумерном случае орбиты в некотором смысле замкнуты и ведут себя, примерно, как семейство множеств уровня функции (точнее, нескольких функций: в действительности даже бесконечного числа функций). Б трехмерном же случае орбиты устроены сложнее, в частности неограничены (а быть может я плотны). Орбиты колрисоединенного представления группы диффеоморфизмов трехмерного рима- нова многообразия можно описать следующим образом. Пусть е«и е« вЂ” два векторных поля скоростей несжимаемой жидкости в области Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
