В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Польауясь првведеняым в вадаче 2 выражением тенвора крнвнэны через связность,мы получаем явную формулу н для тенвора крнвнпаы. Числа Вци = <Й (е;, еу) ет, е<> нааываются компонентамв теввора крпвнаны. 3. Уравнение Якоби. Кривизна риманова многообразия тесно связана с поведением его геодезических. В частности, рассмотрим геодезическую, выходящую ив какой-либо точки по какому-либо направлению, и немного ивменим начальные условия, т. е. началь- ную точку и начальную скорость. Новые начальные условия оп- ределят новую геодезическую. Эта геодезическая вначале мало отличается от исходной.
Для исследования отклонения полезно линеаризовать вблизи исходной геодезической дифференциальное уравнение геодезических. Получающееся при этом линейное дифференциальное уравне- ние второго порядка (еуравнение в вариациях» для уравнения геодезических) навывается ураемеыиелс Якоби, и его удобно запи- сать через ковариантные производные и тензор кривизны. Обозначим через х (г) точку, двип<ущуюся по геодезической многообразны М с постоянной по величине скоростью и (г) <Б <— = тм„<Ч. Если начальное условие гладко зависит от параметра а, то геодевическая тон<е гладко зависит от параметра. Рассмотрим движение, соответствующее значению параметра а. Положение в момент Ф точки на соответствующей геодезической обозначим через х (г,а) ~ М. Мы будем считать, что начальная геодезиче- ская соответствует нулевому значению параметра, так что х (Ф, О) = х (С). РИМАНОНА КРИВИЗНА Векторным полем вариации геодезической называется проиаводная функцни х (г, а) по параметру а при и = О; значение этого поля в точке х (г) равно В ~~ Х(С,а) = $(т) б=ТМаа).
а 1 Чтобы записать уравнение в вариациях, определим еще ковариантную проигводную по г векторного поля ь (г), заданного на геодезической х (г). Определение состоит в том, что мы должны взять вектор ь (г + Ь), параллельно перенести его из точки х(г' + Ь) в точку х (8) вдоль геодеаической и затем продифференцировать получнвнгяйся вектор в касательном пространстве ТМ„е) по Ь при Ь = О. В ревультате получается вектор касательного пространства ТЛХ„К), который называется ковариантной производной поля ь (г) по г' и обозначается через Рй(Рь Т е о р е м а. Векторное поле вариации геодезической удовлетеорлет линейному ди(д(йеренциальному уравнению отарово порядка — = — ь)(и, й) и, ))~ (4) где ь) — тенгор кривизны, а и = и (() — век«пор скорости движения по исходной геодезической.
Обратно, всякое решение ди(()(реренциального уравнения (4) является полем вариации исходной геодезической. Уравнение (4) называется уравнением Якоби. 3 а д а ч а. Докажите сформулированную теорему. 3 а д а ч а. Пусть М вЂ” нозархность, в (г) — а«личина составляющей вектора 5(г) нс нормали к рассматриваемой геодезической, и пусть длина вектора и (с) равна г. Дскююпе, что В удовлетворяет днффервнциальному уравнению у = — КВ, (б) где К = К(г) — римаисва крианана поверхности в точке е(г).
3 а д а ч а. Пользуясь уравнением (5), сравните наведение геодезических, близких к данной, на сфере (К = + й-з) и на плоскости Лобачевского (К = — В. И. Исследование уравнения Якоби. При исследовании уравнений в вариациях полезно исключить тривиальные вариации, своднщиеся к изменению начала отсчета времени и величины на. чальной скорости движения.
С атой целью разложим вектор вариации ф на параллельную и перпендикулярную вектору скорости Р состанляющие. Тогда (ввиду ьг (и, и) = О и ввиду кососимметричности оператора ьз (е, й)) длн нормальной составляюп(ей мы получим снова уравнение Якоби, а для параллельной — уравнение Рзй/Р(з = О. Заметим теперь, что уравнение Якоби для нормальной составляющей маятно переписать в виде «уравнения Ньютоназ —, = — йтай Р, 276 довлвлвнив г где квадратичная форма У от вектора й выражается через тензор кривианы и пропорциональна кривизне К в направлении плоскости (б, х): ПВ) = 2 (П(п,В)х,В) =-2-К(й,$)(ю,п).
Таким образом, поведение нормальной состааеяющей вектора вариации геодезической, проходимой со скоростью т, описывается уравнением (неавтономного) линейнозо осциллятора, потенциаль- ная энергия которого равна К>д я<0 половине произведения кривиана в направлении плоскости векторов скорости и вариации на квадрат длины нормальной составляющей вариации. В частности, рассмотрим случай, когда кривизна по Ркс.
234. вкквкке геодезичеккне ка ккогоос- Всем двумерным направлениэккккк кккк'ккчккы,'ке" ' " '"' "э" "э",содержащи вектор ско- рости геодезической, отри- цательна (рвс. 234). Тогда отклонение близких геодезических от данной по нормали описывается уравнением осциллятора с отрицательно определенной (и зависящей от времени) потенциальной энергией. Следовательно, нормальная составляющая отклонения близких геодезических ведет себя как отклонение от вершины горы шарика, находящегося вблизи этой вершины. Положение равновесия шарика на вершине неустойчиво. Это значит, что близкие к данной геодезические будут гкспоненциально уходить от нее.
Если бы потенциальная энергия получающегося уравнения Ньютона пе эаэясэяа от времени, взш вывод был бы вполне строгим. Более того, предположим, что при этом пряэиэвы по резвым направлениям, содержащим к, заключены в пределах — ак(Кч — Ьэ, где 0(Ь(а. Тогда решения уравнения Якоби дяя пормзльпых отплспевяй будут линейными комбяввцяямв эяспспепт с показателями ~ Х~, где положвтэльпые числа Л; заключены между а и Ь. Слеясвательпо, каждое решэпве уравнения Якоби растет ве медленнее еь~ц либо прп г - + кч, либо пря г - — оо; при атом большинство резпепвй растет ещэ быстрее, се скоростью е~р( Неустойчивость положения равновесия при отрицательно определенной потенциальной энергии в неавтономном случае интуитивно достаточно ясна. Ее можно доказать сравнением с подходящей автономной системой.
В результате такого сравнения мы убеждаемся, что все решения уравнения Якоби для нормальных отклонений на многообразии отрицательной кривизны растут при движении вдоль геодезической не медленнее экспоненты прой- 277 РНМЛНОВЛ КРИВИЗНА денного пути, покозалгель которой равен корню квадратному из модуля кривизны по тому двумерному направлению, для которого этот модуль наименьший.
В действительности большинство решений растет еще быстрее, но мы не можем теперь утверждать, что показатель роста большинства решений определяется направлением самой большой по модулю отрицательной кривизны. Резюмируя, мы можем сказать, что поведение геодезических на многообразии отрицательной кривизны характеризуется зкспонепциальной неустойчивостью. Для количественной оценки этой неустойчивости полезно ввести характерный путь з как средний путь, при прохождении которого увеличиваются в е раз малые ошибки в начальных условиях. Точнее, характерный путь е можно определить как обратную величину показателя Л, характеризующего рост решений уравнения Якобы для нормальных отклонений от геодезической, проходимой со скоростью '1: Л = й1ш — В1ах п1ах 1п ~ 5 (1)~, з = 1/Л.
1 ~~ <т й<овс т Вообще говоря, показатель Л и путь з зависят от начальной геодезической. Если кривизны нашего многообразия по всем двумерным направлениям отграничены от нуля числом — Оз, то характерный путь не прееосходшп Ь г. Таким образом, чем более отрицательна кривизна многообразия, тем меныпе характерный путь з, на котором неустойчивость геодезических приводит к е-кратному нарастанию опшбок.
Ввиду экспоненциального характера нарастания ошибок ход геодезической на многообразии отрицательной кривизны практически невозможно прогнозировать. Предположим, например, что кривизна отрицательна и отграничена от нуля величиной — 4 м г. Характерный путь не больше полуметра, т. е. на пятиметровом отрезке геодезической ошибка возрастет примерно в е~е 10А раз. Следовательно, ошибка в десятую долю миллиметра в начальном условии скажется в виде метрового отклонения конца геодезической.
К. Геодезические потоки на компактных многообразиях отрицательной кривизны. Пусть М вЂ” компактное риманово многообразие, кривиана которого в каждой точке по каждому двумерному направлению отрицательна (такие многообразия существуют). Рассмотрим движение материальной точки массы 1 по многообразию М по инерции, вне поля действия всевозможных внешних сил. Функция Лагранжа этой системы равна кинетической знерРии, равна полной энергии и является первым интегралом уравнений движения. 278 довавлвник ю Если многообразие М имеет размерность п, то многообразие уровня знергяи 2п — 1-мерно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
