В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 58
Текст из файла (страница 58)
е. что Адз [$, т)1 = 1Ад 5, Абд1, $, Л (== б. Ясно также, что Адз„= Ад,Ад„. Далее, рассмотрим Ад как отображение группы в пространство линейных операторов на алгебре: Ад (д) = Адз. Отображение Ад дифференцируемо. Рассмотрим его производнуш в единице группы. Эта производная есть линейное отображение иа алгебры в пространство линейных операторов на ней.
Построенное отображение обозначается через ад, а его обраа при действии на элемент $ из алгебры через абаз. Таким образом, адэ есть эндоморфизм алгебры, мы имеем аб = А4,,:э- Епйа, ай~ = — ~ Ай,~э, д ~ э где ец — однопараметрическая группа с касательным вектором $. Из написанной формулы легко вывести выражение для ай в терминах одной лишь алгебры: адэт) = 1ь, ц1. Рассмотрим дуальное к алгебре Ли а линейное пространство бэ. Это — пространство вещественных линейных функций на алгебре Ли. Иными словами, аэ есть кокасательное пространство к группе в единице, бэ = Т*С,.
Значение элемента $ кокасательного пространства к группе в какой-либо точке д на элементе т) касательного пространства в той же точке мы будем обозначать круглыми скобками: <В, т)) ~Е, В~ Т'С т) ~ ТС. довавлвнии з Левый и правый сдвиги индушгруют в кокасательных пространствах операторы, дуальные к Ьз и Лз .
Мы обозначим их через Ьт: Т*С„~ТеСа, Л~~: т С, т г'ь для всякого Ь иа С. Эти операторы определяются тождествами (~а$. т)) = — ($. ~мец) (ЛФ Ч) — = ($* Л Ч). Оператор, дуальный оператору Абю отображает кокасательное пространство к группе в единице в себя. Он обозначается через А4: е*- в' и определяется тождеством (А4В, ц) = — (В, Аа,ц). Операторы Айг, где я пробегает группу Ли С, образуют пред- ставление этой группы, т. е. выполняется соотношение А4, = АбеьАб,*,.
Это представление называется коприсоедияенным представм- нием группы и играет важную роль во всех вопросах, связанных с (лево) инвариантнымн метриками на группе. Рассмотрим производную оператора Аб' по я в единице группы. Эта производная есть линейное отображейие из алгебры в прост- ранство линейных операторов на дуальном к алгебре простран- стве.
Указанное линейное отображение обозначается чарва абе, а его образ при действии на элемент 5 из алгебры обозначается через ад~. Таким образом, ай~ есть,' линейный оператор на дуаль- ном пространстве к алгебре, або: Е' В*. Легко видеть, что оператор абз сопряжен с абз,' (абгпз ь) ив (т), абзь) для всех ч еБ ее, ь 6Б е. Иногда удобно обозначать действие айе фигурными скобками: абгт) = ($, ц), где 5 ЕЕЕ, ц 6= в*. Таким образом, фигурная скобка означает билинейную функцию из В Х Ее в Е», связанную с коммутатором в алгебре тождествен- ным соотношением ((И, ц), С) =(ц, (В, Ц). Рассмотрим орбиты коприсоединенного представления группы в дуальном пространстве алгебры. На каждой такой орбите име- ется естественная симплектическая структура (называемая фор- Геодезичкскив ливоинВАРИАптных мктвик 287 мой Кириллова, так как А.
А. Кириллов первым использовал ее в своем исследовании представлений нильпотентных групп Ли). Таким образом, орбиты коприсоединенного представления всегда четномерны. Заметим также, что мы получаем серию примеров симплектических мнотообраэий, рассматривая различные труппы Ли и всевозможные орбиты. Симплектическая структура на орбитах коприсоединенного представления определяется следующей конструкцией. Пусть х— точка из дуального пространства к алгебре, $ — вектор, касательный в этой точке к ее орбите. Поскольку йэ — линейное пространство, мы можем считать вектор $, принадлежащий, честно говоря, касательному пространству к й* в точке х, лежащим в й*.
Вектор $ можно (многими способами) представить в виде вектора скорости движения точки л в коприсоединенном представлении однопараметрической группы е ' с вектором скорости а ~ й. Иными словами, каждый касательный к орбите точки х в коприсоединенном представлении группы вектор з выражается через подходящий вектор а иэ алгебры по формуле $ = (а, х), а Е= й, л Е— : й~. Теперь мы готовы определить значение симплектической 2-формы И на паре векторов $м $м касательных к орбите точки х. Именно, мы выражаем $, и $, через какие-нибудь элементы алгебры а, и а, по предыдущей формуле, а затем составляем из двух элементов алгебры и одного элемента дуального к ней пространства скаляр й Яы $э) = (х, [ам а,)), х е= й*, а; Е— : б.
Летке проверить, что: 1) билинейная форма й определена корректно, т. е. ее значение не зависит от произвола в выборе аб 2) форма й кососимметрична и, следовательно, задает дифференциальную 2-форму й на орбите; 3) форма ь) невырождена и замкнута (доказательства имеются, например, в добавлении 5). Итак, форма й является симплектической структурой на орбите коприсоединенного представления. Б. Левоинвариаитиые метрики. Риманова метрика на группе Ли б называется левоинвариантной, если она сохраняется при всех левых сдвигах' Аю т.
е. если производная левого сдвига переводит кан~цый вектор в вектор такой же длины. Левоинвариантную риманову метрику достаточно задать в одной точке группы, например в единице: тогда в остальные точки метрику можно принести левыми сдвитами. Таким образом, левоинвариантных римановых метрик на группе столько х~е, сколько евклидовых структур на алгебре. Евклидова структура на алгебре определяется симметрическим положительно определенным оператором, действующим из алгебры в дуальное к ней пространство. Итак, пусть А: й -~- йе— довавлкнив з симметрический положительный линейный оператор: (А$,т)) = (Аг), $) для всех $, г) из 9. (Положительность А не очень существенна, но в механических прилоя.-ениях квадратичная форма (А5, $) положительно определена.) Определим симметрический оператор Аг.
'Тбг-~- Т~Сл левым сдвигом: Ать- = г'г гАЕг-м$. Ыы получаем, таким образом, следующую коммутативную диаграмму линейных операторов Аа 9 9 А ~ ~ —— — тол — )- ь„г-~ вч,-1 9в — т*ов — ~- 9в л а Ф Абг Определенное оператором Аг скалярное произведение будем обозначать угловымв скобками: Я ч> =( Я. ч) = ( 4 ч $) = <ч 5>к Это скалярное произведение задает на группе С риманову метрику, инвариантную относительно левых сдвигов.
Скалярное произведение в алгебре будем обозначать просто (,>. Определим операцию В: 9 х 9-~ 9 тождеством ((а, Ь), с> = (В (с, а), Ь> для всех Ь из 9. Ясно, что операция В билинейна и при фиксированном первом аргументе кососимметрична по второму: (В (с, а), Ь> + гВ (с, Ь), а> = О. В. Пример. Пусть С = БО(3) — группа вращений трехмерного евклидова пространства, т.
е. конфигурационное пространство твердого тела, закрепленного в точке. Движение тела описывается тогда кривой 9 = 9 (Ф) на группе. Алгебра Ли группы б— зто трехмерное пространство угловых скоростей всевозможных вращений. Коммутатор в этой алгебре — обычное векторное произведение. Скорость вращения тела л есть касательный вектор к группе в точке д. Чтобы получить угловую скорость, нужно перенести этот вектор в касательное пространство к группе в единице, т. е. в алгебру. Но это можно сделать двумя способами: левым и правым сдвигом. В результате получаются два разных вектора в геодезические левоинвАРИАнтных метрик 289 алгебре: вс = л"»-г44'г== 9 вг =.пф '»9~ 9 Эти два вектора ке что иное, как «угловая скорость в теле» (согрз) н «угловая скорость в пространстве» (зрасе).
Действительно, злеыевту у группы б отвечает такое положение тела, которое получается из некоторого иачальвого состояния (соответствующего единице группы и выбираемого произзольио) двюпеияем». Пусть в— элемент алгебры. Одпопараметричесиую группу вращений с угловой скоростью в мы обозизчим через содс в — это касательная и указапиой одвопарзмвтричеспой группе з едииице. Теперь рассмотрим перемещеиие свс», где»= — »(г) гы ро в ге В, т(~1, полученное из перемещения» поворотоы с угловой скоростью в за малое время т. Если зевтор» созцадает с вектором ! ) с г», йт Ь=о то в вэзыззется угловой скоростью относительно сространстга и обо»в«чае»си в,. Слвдовательио, в, получается пз» ярасяя сдвигом. Аналогично дояазывззтся, что угловая скорость в теле есть левый сдвиг вектора Р е алгебру.
Дуальное к алгебре пространство 9е в нашем примере — это пространство кинетических моментов. Кинетическая энергия тела определяется вектором угловой скорости в толе н не зависит от располоягения тела в пространстве. Следовательно, кинетическая энергия задает лееоинеариантную риманову метрику на группе. Задающий зту метрику симметрический положительно определенный оператор А»: Тб»вЂ” -+. Тз1'» называется оператором (илп тензором) инерции; он свяаан с кинетической энергией формулой 1 .. 1 1 1 = — (Юг А')» = 2 0%~ вс) =- 2 (Аюсгвс) = 2 (А»9',9), где А: 9-+-9и есть значение А» при 9 = е. Образ вектора 9 под действием оператора инорции А» называется кинегпичееяим зголгеншолг и обозначается через М = А»9 ° Вектор М леконт в кокасательном пространстве к группе в точке д, и его можно перенести в кокасательное пространство к группе в единице как левыми, так и правыми сдвигами.
Получаются два вектора М, = Х»М б= 9*, М, = лте»М й= 9*. Эти векторы из дуального к алгебре пространства — не что иное, как кинетический момент относительного тела (М,) и кинетический момент относительно пространства (М,). Последнее ДОБАВЛЕНИЕ 2 легко вытекает из выражения кинетической энергии через момент и угловую скорость: ( а1 «)» ( ',К) $ 1 Согласно принципу наименьшего действия, движение твердого тела по инерции (в отсутствие внешних сил) есть геодезическая на группе вращений с указанной выше левоинвариантной метрикой. Мы будем теперь рассматривать геодезические произвольной левоинвариантной римановой метрики на произвольной группе Ли как движения «обобщенного твердого тела» с конфигурационным пространством 6. Такое «твердое тело с группой 6» определяется своей кинетической энергией, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
