В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 53
Текст из файла (страница 53)
В результате такого перенесения всех векторов, касательных к поверхности в начальной точке геодеаичесной, в конечную точку возникает отображение касательной плоскости в начальной точке в касательную плоскость в конечной точке. Это отобран<ение линейно и изометрично. Теперь мы определим параллельное перенесение вектора на поверхности вдоль ломаной, составленной из нескольких дуг геоде- уас.
220. Параллельное зических (рис. 230). Чтобы перенести век- лереиесеаае елозь гестор вдоль ломаной, мы переносим его из первой вершины во вторую вдоль первой дуги геодезической, полученный вектор переносим вдоль второй дуги в следующую вершину и т. д. 3 а д а ч а. Перенесите вектор, касательный к сфере в одной из вершвн сферического треугольника с тремя прямыми углами, обратно в зту вершвну вдоль треугольника. Ол>>еж.
В результате такого перенесения касательная плоскость к сфере в начальной вершине повернется на прямой угол. Наконец, параллельное перенесение вектора вдоль любой сводкой кривой на поверхностпи определяется с помон(ыо предельного перехода, в котором кривая аппроксимируется ломаными, составленными из дуг геодезических. 3 а д а ч а. Перегесите вектор, направленный к Северному полюсу и приложенный в Ленинграде (на п>кроте Х = 60') вдоль параллели 60" с. ю. обратно в Ленивград, двигаясь ка восток. Оа>ееа>.
Вектор повернется на угол 2п (1 — зш й), т. е. примерно на 50' к западу. Таким образом, величина угла поворота пропорциональна площади, ограниченной навей параллелью, а направление вращения совпадает с направлением обхода Северного полюса при перенесении вектора. У к а а а н и е. Достаточно перевести вектор вдоль той >ке окружности по конусу, образованному касательными северного направления к Земле, проведенными во всех точках параллели (рис. 26ыь Конус >ке этот >южно раавернуть на плоскость, после чего параллельное перенесение на его поверхности становится обычным параллельным перенесением на плоскости.
П р и м е р. Рассмотрим верхнюю пслуплоскость у ) 0 плоскости комплексного переменного х = х+ >у с метрикой >(гз ( Вуз уз Легко сосчитать, что геодезические этого двумерного римююва многообразия— ато окружности и прямые, перпенанкулярные оси *. Дробно-линейные преобразования с вещественными козффицвентами ах+ Ь с- +в донлэлннин с являются неомкгрвческимн преобрааоианнямн вашего ююгообрааня, которое наиынается плоскостью Лсблчееексео. 3 а д а ч а. Перенести вектор напранлення мнимой ося нн точки л = с в точку л С+ С идель горизонтальной прямой (бр = О) (рнс.
232). Рис„231. пернллельнсе перенесение не о$ере Рис. 232. Параллельное перенесение на плоскости Лсбечеи- сного Олмеш. Прн сдннге на с вектор поверннгся на с радиан н направлении от орта осн у к орту оси и. Б. Форма кривизны. Теперь мы можем определить риманову кривизну двуьсерного риманова многообразия (т. е. поверхности) в каждой точке. С этой целью выберем в окрестности рассматриваемой точки ориентацию нашей поверхности и рассмотрим параллельное перенесение векторов вдоль границы малой области В на нашей поверхности.
Легко сообразить, что результат такого перенесения — поворот на малый угол. Обозначим этот угол через ср (В) (направление отсчета угла фиксируется выбором ориентации поверхности). Если разбить область В на две части Вс и Ве, то результат параллельного перенесения по границе В можно получить, обойдя сперва одну часть, а потом другую. Следовательно, гр (В) = ср (Вс) + йе (Вс)и т.
е. угол ф является аддитивной функцией области. При изменении направления обхода границы угол ф танисе меняет знак. Естественно поэтому представитыр (В)как интеграл по В от подходящей 2-формы. Такая 2-форма действительно существует; она называется формой кривизны, и мы обозначим ее череа И. Таким образом, мы определяем форму кривианы И соотношением ср (В) ) И. и Значение формы кривизны И на паре касательных векторов $, т) из ТМ можно определить следующим образом.
Отождествим окрестность точки О касательного пространства к М в точке л с окрестностью точки я на М (например, с помощью каких-либо локальных координат). Мы можем тогда построить на М парал- РИМАНОВА КРИВИЗНА лелограмм Пз, натянутый на векторы ей, ет), ~о меньшей мере при достаточно малых е. Теперь значение формы кривизны на наших векторах определяется формулой И з у(п,) ез (2) Иными словами, значение формы кривизны на паре бесконечно мвогмх касательных векторов равно углу поворота при переносе вдоль построенного по гпиьм векторам бесконечно малого паралле- лограмма. 3 а д а ч а. Найти форму крвввзвы ка плоскости, ва сфере радиуса В к ва плоскости Лобачевского. Ошьеьь () = О, () = Н-звв, П =- — Вс, где 2-форыа в8 — злемскт плов(адв ва нашей оркевтврсваввой повсрхвостк, 3 а д а ч а.
Доказать, по опрсдзлсвзая формулой (2) функция является дсйстввгвльво двффеускцвальвсй 2-формой, ве ззввсшцой ст участвовавшего в построении провзвола, в что поворот вектора при переносе вдоль границы ориевтвроваввой конечной области Р выражается через зту форму по„формуле (1). 3 а д а ч а. Доказать, что интеграл формы крввизвы по любой выпуклой поверхности в трехкерлоы езвляцовом пространстве равен 4я. В. Риманова кривизна поверхности. Заметим теперь, что всякая дифференциальная 2-форма на двумерном ориентированном рнмановом многообразии М может быть записана в виде рб8, где г(Я вЂ” элемент ориентированной площади, а р — числовая функция, однозначно определенная выбором метрики и ориентации.
В частности, форму кривизны можно записать в виде где К: М -ь  — гладкая функция на многообразии М, а пав элемент площади. Значение функции К в точке х называется риманоеой кривизной поверхности в точке х. 3 а д а ч а. Вычислить рвмавову крнзвзну езклвдовой плоскости, сферы радвуса В и плоскости Лобачевского. Ошвгаь К=О, К=-Лч, К= — 1.
3 а д а ч а. Доказать, что рвмавова крввкзка зависит ие ст орвевтацвк ывогообрззпя, во лишь ст его метрики. У к а з а в в е. Прк взкевсквв ориентации 2-формы () в з8 ысвюст знак одновременно. 3 а д а ч а. Доказать, что для поверхностей в обычном трехыеркоы евклидовоы пространстве рвмавоза крвввзва в каждой точке равна провзведепзгс обратных величин глзввых радиусов крвввзвы (со знаком минус, если центры крвввзяы ложат по равные стороны от поверхности).
Заметим, что знак кривизны многообразия в точке не зависит от ориентации многообразия; этот знак можно определить, вовсе не используя ориентации. 270 дОВАвление 1 А именно, на многообразии положив<елькой кривизны при параллельном переносе вдоль границы малой области вектор поворачивается вокруг своего начала в ту же с<ворону, в какую точка на границе обходит область; на многообразии отрицательной кривизны направление вращения обратвае. Далее заметим, что значение кривианы в точке определяется одной лишь метрикой в окрестности этой точки, и поэтому сохраняется при изгибании: у изометрических поверхностей в соответственных точках кривизны совпадают.
Поэтому риманову кривизну называют такн<е внутренней кривизной. Формулы для вычисления кривизны через компоненты метрики в какой-либо системе координат включают вторые производные метрики и достаточно сложны; см. ния<е задачи пункта Ж (стр. 274). Г. Многомерное параллельное перенесение. Конструкция параллельного перенесении на римановых многообразиях раамерности выше 2 несколько слой, я<нее, чем приведенная выше двумер- ная конструкции. Дело в том, что наг ази епв ' „ жер ная с тре ерного случая условие неизменности угла с геодезической не определяет еще направления перенесенною вектора. А именно, этот вектор можно еще вращать вокруг направления геодезической, сохраняя угол с ней. Усовершенствование, которое следует внести в конструкцию параллельного переноса вдоль геодезической, — зто выбор двумерной плоскости, проходящий через касательную к геодезической, в которой доля<он лежать переносимый вектор.
Выбор этот производится следухяцим (к сожалению, довольно сложным) образом. В начальной точке геодезической нуя<ная плоскость есть: зто плоскость, натянутая на переносимый вектор и вектор направления геодезической. Рассмотрим все геодезические, выходящие из начальной точки по направлениям, лежащим в атой плоскости. Все такие геодезические образуют гладкую (вблизи начальной точки) поверхность, содержащую ту геодезическую, вдоль которой мы намерены переносить вектор (рис. 233). Рассмотрим новую точку на этой геодезической на малом расстоянии Л от начальной точки, Касательная плоскость к описанной только что поверхности в новой точке содержит направление геодезической в этой новой точке.
Примем зту новую точку за начальную н испольауем имеющуюся в ней касательную плоскость для построения новой поверхности (образованной пучком геодезических, выходящих из новой точки). Эта поверхность содеря<ит исходную геодезическую. Сдвинемся по исходной геодезической еще на Л и повторим все построение сначала. РИМАНОВА КРИВИЗНА 271 Эа конечное число шатов мы доберемся до любой точки исход- ной геодезической.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
