В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 49
Текст из файла (страница 49)
$ ! Пример т. Гармонический осциллятор Н = — рв+ — дэ, или 2 2 общее Н = — аврэ+ — Ьтдэ. 2 2 П р и м е р 2. Математический маятник Н= — р — соз((. в 2 В обоих случаях имеются компактные замкнутые кривые М» (ХХ = — Ь), и мы находимся в условии теоремы 2 49 при п = $. Чтобы построить переменные действие — угол, будем искать каноническое преобразование (р, (() -+- (1, 1р), удовлетворяющее двум условиям: 2) ~ г(гр = 2И. 3 а д а ч а.
Найти переменные действие — угол в случае простейшего 1 ! гармонического осциллатора Н = 2 Рв+ 2 рт. Решение. Если г, 1р — нолкрные координаты, то др/~до= гэ Р +р 2 = гдг/) дгр р-И вЂ” /) дгр. Поэтому 1 = Н = 2 Чтобы построить каноническое преобразование р, д 1, гр в общем случае, будем искать его производящую функцию Н (1, д): дд(1, о) дд(1, д) /дд(1,д) ~ 4 Предположим сперва, что функция Ь (1) известна и обратима, так что каждая криван М» определяется значением 1 (М» = 247 5 50, пеекмвнные действия — уГОл = Мьы1).
'Гогда при фиксированном значении 1 имеем из (4) оо !г совы = Р Ф. Это соотношение определяет на кривой Мми вполне определенную дифференциальную (-форму ИЯ. Интегрируя вдоль кривой Ммы зту 1-форму, мы получим (в окрестности точки д«) функцию ~(1, Ч) = )МЧ. Эта функция и будет производя|цей функцией преобразования (4) в окрестности точки (Х, р»).
Первое из условий (3) выполнено автоматически. "1 =- 1 (Ь). Чтобы удовлетворить второму условию, рассмотрим поведение Я (Х, д) «в целомм При обходе замкнутой кривой Мни интеграл р Й1 получает приращение равное площади П, ограниченной кривой Маыг Позтому функция о' — «многозначная функция» на кривой М»<и'. она определена с точностью до прибавления целого кратного П. На произдз(Х, е) водную ' зто слагаемое не влияет; но оно приводит к неду однозначности «у — дЯд1.
Эта производная оказывается опредее ленной лишь с точностью до слагаемого, кратного — Ь8(1). Точнее говоря, формулы (4) определяют $-форму й» на кривой Мми, и интеграл атой формы по Мыи равен — ЛЯ(1). Чтобы выполнялось второе нз наших условий, ~ йр = 2п, и„ нужно, чтобы Х ЬЯ(1) — 2п, ая и 1= — =— 2л 2в где П = ~ род — площадь, ограниченная фазовой кривой Н = Ь. ь О п р е д е л е ни е. Переменной действия в одномерной аадаче с функцией Гамильтона Н (р, д) называется величина Х (Ь) = —,'„П (Ь). Окончательно мы приходим к следующему выводу. Пусть дПЯЬ чь О. 'Гогда определена обратная 1 (Ь) функция Ь (Х).
248 ГЛ. 1З. ВВЕДЕНИЕ В 'ХЕОРИЮ ВОЗМУЩЕНИЙ Т е о р е м а. Положим Я(1, (г) = )рг)д'(я ь(г). Тогда фор- с мулы (ф) задают каноническое преобразование р, у ь 1, гр, удовлетворяющее условиязл (3). Итак, переменные действие — угол в одномерном случае построены. 3 а д а ч а. Найти Я н 1 для гармонического осцкллягора. ( ( Ответ. Если )1 = — а'р'+ — Ьгза (рвс. 2(7), то ЬХь — эллипс, огра- 2 2 )' 2й У2й р вкчиаающкй ллощадь П (й) = и а 2яй упй — — Итак, для гариаггичвсвога осоил- аЬ ю автора пврвивниая двзствия вать стнотвнив онер- П(й гии к чавгпотв. Угловая переменная гр — это, ко- не~ко, фаза колебаний.
й'=Ь 3 а д а ч а. Докааать, что лвриад Т движения пс ваканутсй кривой Н = й на Згавсвай пвюскссти р, Рвс. ВГН Пграмсяяая Ч Рашн првигвсднвй плсщади, сграничвннсй втойкрилвасгаяя кля гармони- вой, пс й: чссксгв ссцяллягсра бп(й) у = —. бй Р е ш е н н е. В переменных действие — угол уравнения даюкевия (2) В. Построение переменных действие — угол в Км'. Перейдем теперь к системе с и степенями свободы, заданной в Кэ" = ((эз, а)) функцией Гамильтона Н (тз, (1) и имеющей п первых интегралов в инволюцин Рг = Н, Рэ,..., Рп. Не будем повторять рассуждений, которые привели нас к выбору 2п1 = ~ р г)д в одномерном случае, и сразу определим и переменнъ|х действия Х.
Пусть у„..., у„— бааисные одномерные циклы тора М/ (приращение координаты гуг на цикле уг равно 2п, если ( = /, и О, Уг ~~ если г чь 1). Положим 1,(/)= — ' ~рдд. (5) т; Ряи МВ. Нс аквамссть ларвмаэяса лва- 3 а д а ч а. Дскэктте, что атслг интеграл нв стла сг аыссоа ЯРиаса зависит вт вмбсра кривсй уи првдставляюи)вй бааис- У к а э а н н е. В 9 49 ноюаано, что на многосбраави Му 2-форма та = = абра /~ бог равна нулю. По формула Стокса ~ — ~ р ба = Ц) бр /г, бч = О, ч а где до = у — у'.
О предел он и е. и величин 1~ (1), ваданных формулами (5), называются переменными дейстпзия. $ ю. пвгвмшшыв дкяствнв — тгол Предположим теперь, что при заданных значениях Ха и интег- дХ ~ ралов Р, и величин Х, независимы: беФ вЂ” ~ ~0. Тогда в окрестдт ~Г ности тора Мг можно принять переменные Х, <р за координаты. Т е о р е и а. Преобразование у, 9 Х, ~р — каноническое, т. е. 2сХРа Л сиХа = Х оХа Л ~'Ра. Намечу доказательство этой теоремы. Рассмотрим на Мг дифференциальную 1-форму у Ид.
Поскольку многообразие Мг— нулевое ($49), эта 1-форма на Мт аамкнута: ее внешняя производная юа = с(у /~, с(д на многообразии Мг тождественно равна О. Поэтому (рис. 219) х Я(х) = ~убудем х, РЛс не меняется при деформации пути интегрирования (формула Стокса). Итак, о' (х) есть «многозначнаяфункция»на Мг,' ее периоды равны Ха;Я = ~ с(Я = 2яХе и« Гис. М».
Нсаааисииссть «с~- тат»ааа ив« иа мт ст птти Пусть теперь хс — такая точка на Мг, в окрестности которой н переменных д служат координатами на ЛХг, так что подмногообразне Мг С Кт" задается 0 уравнениями вида у = у (Х, и)„ н(хс) — — с»с. В односвязной окрестности точки д определена однозначная функция Я(Х, Х) = С)у(Х, н)бд, ч, и мы можем принять ее за производящую функцию канонического преобразования у, д Х, се: дд дд д ' Р д до' да Нетрудно проверить, что эти формулы в действительности задают каноническое преобразование не только в окрестности рассматриваемой точки, но и «в целом» в окрестности Мг. При атом координаты «р будут многозначными с периодами дд д д п««Ь = и« = — ЬФ = — 2яХ, = 2пб,, дЕ дХ.
дг 3 д что и требовалось. 250 гл. 10. ВВедение В теорию ВОзмущений Заметим теперь, что все наши построения содержат лишь «алгебраические» операции (обращение функций) и «квадратуру»вЂ” вычисление интеграла известной функции. 'Хаким образом, задача интегрирования канонической системы 2п уравнений, у которых известяы и первых интегралов в инволюции, решается в квадратурах, что и доказывает последнее утверждение теоремы Лиувилля (5 49). Замечание 1.
Ужев одномер- ном случае переменные действие — угол С С определены не однозначно усло- виями (3). А именно, за переменную Рве. 220. Переменные леаствве— умы вв'с ы еь чеевеы ыве- двнотзня МОН1НО бЫЛО бЫ ПрниятЬ Г =- = 1 + сопИ, а за угловую перемен- ную 1р' = тр + с (Х).
3 а м е ч а н и е 2. Мы построили переменные действие— угол для системы с фазовым пространством К»в. Можно было бы ввести переменные действие — угол и для системы на произвольном симплектическом многообразии. Ограничусь здесь одним простым примером (рис. 220). 1 Фазовым пространством маятника (Н = — р» — созд) естест- 2 венно считать не плоскость ((р, д)), а поверхность цилиндра Кт Х Вт, получающуюся нри отождествлении углов о, отличающихся целым кратным 2П.
Критические линии уровня Н =- -1-1 разбивают цилиндр на три части А, В, С, каждая из которых диффеоморфна прямому произведению 2»1 Х Я1. В каждой части мопаю ввести переменные действие — угол. В ограниченной части (В) замкнутые траектории изображают качание маятника„в неограниченных частях — вращения. 3 а м е ч а н и е 3. Как и в разобранном приыере, в общем случае уравнения В1 =- ~1 при некоторых значениях у1 перестают быть независимыми, и М1 перестает быть многообразием. Хаким критическим значениям /' соответствуют сепаратрисы, разделяющие фазовое пространство интегрируемой задачи иа части, подобные частям А, В, С выше.
В некоторых из зтих частей многообразия Мг могут быть неограниченными (части А и С на плоскости ((р, д))); другие же расслаиваются на п-мерные инвариантные торы Мг, в окрестности такого тора можно ввести переменные действие — угол. б 51. Усреднение В етом параграфе дока»ываотсв совпедепие временных и простраиствеиных средних в системах, совершающих условно-периодическое движение. 5 бь гсвнднкнне А. Условно-периодические движения. В предыдущих параграфах нам часто встречалось условно-периодическое движение: фигуры Лиссажу, процессия, нутация, вращение волчка и т. п.
Определение. Пусть Т" — пмерный тор, ф.=(фы ..., ф„) глоИ 2я — угловые координаты. Тогда условно-периодическим движением называется однопараметрическая группа диффеоморфизмов Т" -э Т", заданная дифференциальными уравнениями (рис. 22Ц р ф=ю ю=(юм ..., ю„)=вопло. Эти дифференциальные уравнения немедленно интегрируются: ф(с) =ф(О)+м. в Таким образом,'на карте (ф) траектории — прямые линии. Траектория на торе называется об- ворвол чссвоо маткой тора. П р и и о р. Пусть в = 2. Если ю lы = )ьйо, то траокторвл оаиввуты; если ю1/ю лрраллонольвс, тс траектории ва торе всюду плотвы (си.
т $6). Величины юы..., ю называются частотами условно-вериодического движения. Частоты называются независим ми, когда они линейно независимы над полем рациональных чисел: если гс е= Х ' о) и (гс, ю) = О, то й = О. Б. Пространственное и временное средние. Пусть ~ (ф) — интегрируемая функция на торе Т". О п р е д е л е н и е. Пространственным средним функции )' на торе Т" называется число К=(2п) ~ - ° ~~(ф)дф'" ~ф ° о о Рассмотрим значение функции ) (ф) на траектории ф (~) = = фо + ю~.
Это — функция времени ) (фо + юО. Рассмотрим ее среднее. О и р е д е л е н и е. Временным средним функции ~ на торе Т" называется функцпя У'(ф,) Пв — ' ~ У(ф, + юг) дг о (определенная там, где предел существует), Теорема об усреднении. Временноеереднвевеюду существует и совпадает е пространственным, если функция ~ непрерывна, а частоты юо независимы. Лели функции )' на торе и *) и = (ао ° ° ов) с цолыил уи 252 Гл. 10. ВВВдвнии В теогию ВОзмущений 1 (1рв + ю1) на оси 1 итезрируемы по Риману, то временнбе сред нее тпакже суи1есговует и совпадает с пространственным. 3 з д а ч а.
Понажнте, ччо если частоты завнснни, то временное среднее может не всюду совпадать с пространственным. С л е д с т в и е 1. Если частоты независимы, то каждаятраектория (1р($)) всюду плотна на торе Т". Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим противное. Тогда в окрестности Р некоторой точки тора нет точек траектории 1р(1). Легко достроить непрерывную функцию ~, равную нулю вне Р и с пространственным средним ~ = 1. Временное среднее ~в (1рв) на траектории 1р(1) равно О ~ 1. Противоречие с утверждением теоремы доказывает следствие 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
