В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 44
Текст из файла (страница 44)
». каноничкскнй Формализм Неиспользованными остались оптическая длина пути 8, (д) и принцип Гюйгенса. Их механические аналоги — функция действия я уравнение Гамилыпона — Якоби, к которым мы теперь и перейдем. В. Дейвгвие как функция координат и времени. О и р е дел ение. Функцией действия Ю (д, 1) называется интеграл Я« „(д,1) =~Х,д1 т вдоль экстремали у, соединяю«цей точки (д„с,) и (д, 1). Чтобы зто определение было корректным, нужно принять некоторые предосторожности: нужно потребовать, чтобы экстремали, выходящие из точки (д„1«), более не пересекались, а образовывали так называемое «центральное поле экстремалей» (рис. 198). Точнее, сопоставим каждой паре (де, 1) точку (д, 1) — конец экстре- мали с начальными условиями д (О) = де, д (О) = фе. Говорят, что экстремаль у вклкиена в центральное поле, если отображение (д„с) (д,1) невырождено (в точке, соответствующей рассматриваемой экстремали у и, следовательно, в некоторой ее окрестности).
1а,ув г Можно доказать, что при достаточно малом ~ 1 — 1« ~ экстремаль у включается в центральное поле *). Раа. Г»з. ц вралькье аела ь р шаа Рассмотрим теперь достаточно малую окрест- ность конечной точки (д, 1) нашей экстремали. Каждая точка атой окрестности соединена с (де, 1«) единственной акстремалью рассматриваемого центрального поля. Эта экстремаль дифференцируемо зависит от конечной точки (д,1), Поэтому в указанной окрестности корректно определена функция действия Б«„ь, (д, 1) = ~ Х д1. В геометрической оптике мы рассматривали дифференциал оптической длины пути. Естественно и здесь рассмотреть дифференциал функции действия.
Т е о р е м а. ХХифференциал функции действия (при фиксированаюй начальной точке) равен сЖ =- ус)д — Ней, где та —.— дХ(дд иН =- т»д — Х, определяются по конечной скорости д траектории у. *) 3 а д а ч а. 11окажите, что при больших с — са это уже ке так.
У к а е а к и е. « = — Ч (рис. 199). 9 4«. ПРИНЦИП ГЮЙГЕНСА До к а з атель ст во. Поднимем каждую экстремэль из (д, 8)-пространства в расширенное фаэовое пространство ((у, д, 8)), полагая у = д«иди, т. е. ааменяя экстремальфазовой траекторией. Мы получим тогда в расширенном фазовом пространстве и + 1-мерное многообрааие, составленное из фазовых траекторий, т.е.лнний ротора формы у «»д — Нй. Дадим теперь конечной точке (д, г) приращение (Лд, Л8) и рассмотрим семейство экстремалей, соединяющих (д, 89) с точками отрезка д + ОЛд, й + ОЛС, 0 ~ О ~~ 1 (рис.
200). В фазовом пространстве мы получим составленный иэ линий ротора формы у с(д — Н й четырехугольник о, граница которого Рве. 199. Зкстрекаль с Еокалькоа тоекоа. каторги» вельви включить вцентралькое лоле дп = уа ув + р 0 =ЪЛ(удд — Нй) = 1 удд— с сс — Нй = ~ — ~+~ — ~удд — Нй. т, т» а а НО На ОтрЕЗКЕ а ИМЕЕМ дд = О, Рис. 999. Вктислеиие Лиаеерек. й = О.
На фазовых траекториях у, и ув у Ыд — Н й =- ь й (з 45, В). Итак, разность \ — ~ у «(д — Н й Ъ тк равна приращению функции действия, и мы находим ~ус(д — Нй = д(д+ Лд, г+ Л~) — 8(д, Г). р Если теперь Лд — »- О, Лг-ь О, то 1 у Ид — Н Й = улд — НМ + 0 (Лц Лд), э что и доказывает теорему. Мы видим, что форма удд — Н й, прежде введенная нами искусственно, сама собой воаннкает при проведении оптико-механической аналогии из рассмотрения функции действия, соответствующей оптической длине пути. Г.
Уравнение Гамильтона — Якоби. Вспомним, что «вектор нормальной медлительности у» не может быть совсем произвольным: он подчиняется одному условию уд = 1, вытекающему из состоит иэ двух фазовых траекторий у и уе, отрезка кривой ««, лежащей в пространстве (д = дс, Ф =- г ), и отрезка кривой (), проектирующегося в отрезок (Лд, Ле). Так как о состоит из линий ротора формы ус(д — Нй, имеем ГЛ.
О. КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ хсринципа Гюйгенса (стр. 219). Аналогичное условие накладывается и на градиент функции действия Ю. Т е о р е м а. Функцию действия удовлетворяет уравнению —;; +Н( —",,й, )=-О. (1) Это нелинейное уравнение первого порядка в частных производных называется уравнением Гамильтона — Якоби. Для доказательства теоремы достаточно заметить, что по предыдущей теореме дд дь" — = — Н (уо. а т).
х = = до до Установленную связь между траекториями механической системы (олучамно) и уравнением в частных производных (оволновы- ми фронтамио) можно использовать в двух у направлениях. Во-первых, некоторые решения уравнения (1) можно использовать для интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений динамики. В этом состоит метод Якоби интегрировании канонических уравнений Гамильтона, изложенный в следующем параграфе. Во-вторых, связь лучевой и волновой ю о ото оооо Гооилото- ТОЧЕК ЗРЕНИЯ ПОаВОЛЯЕт СВЕСТИ ИптЕГРИ- на — язова рование уравнения в частных производных (1) к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений Гамильтона.
Остановимся на этом несколько подробнее. Поставим для уравнения Гамильтона — Якоби (Ц задачу Коши Я(у,со) =уоя. — +Н( —,д, в) =О. (2) Чтобы построить рещение этой задачи, рассмотрим систему канонических уравнений Гамильтона дН - дН 1о = — д ю др Рассмотрим начальные условия (рис. 201): ддо ) 9(со) = но~ уо(со) = ду 1о. Соответствующее этим начальным условиям решение изображается в (д, 1)-пространстве кривой д = д (о) — экстремалью принципа 6) Ь сй =- О (где лаграюкиан Ь (у, о, т) есть преобразование Ряс. 202. Тнквчноя особенность Решоння уровнвння Гамильтона — якоби Рно. 202.
Юункцкя я«Ест»як кок Решение уровнення Гамильтона — якоба По лемме Стокса ) — )+ ~ — ) рда — НА»=О. По пе а Ас=О, 2» = т, у» б а = дЯ«(дб, поэтому ~ 2»да — НА1= ~ РА«у= ~АЯ« = Яо(а«+Ад) — я (а ). Далее, у т — фаоовые траекторвп, повтому 2»да — Нде= ( ад«. тпв 21 2 Итак ")раб — ндт=~з,(б.+ь|)+~ ьа ~~-~з,(и)+ ~хд»1= а т» т, = Я(А+ ЛА) — Я(А). ПРК ат — О, ПОЛУЧаЕМ дЯ!дт = — Н, дЯ!дб =- 2», Чте К дОКаеынаст тсарспу. 3 а д в ч а.
Доказать единственность решения вадачп (2). У к а н а п и е. Продкфферевцкровать Я вдоль характеристик. 3 а д а ч а. Решать оадачу Кошм (2) прк Н = ро/2, Яо — — Ро!2. 3 а д а ч а. Парксовать графики мвогоавачных «фуккцкй» Я (б) и Р (б) прв 2 = 1« (ркс. 2О(). Ото«»и. См. Рис. 203. Дежаццра по р от функции Гамильтона ХХ (у, а, 2)]. Эта зкстремаль называетсЯ хаРактаеРиствиной задачи (2), выходЯщей иа точки «Уо. Если значение 21 достаточно близко к („то характеристики, выходящие из бливких точек «у, не пересекаются при 2 ( 2 ( 2„ ( «у — ((о ! с.
Хт. Более того, значения ((о и 2 можно принять за координаты точки А в области )»у — оо ) с. Хт, йе ( 2 ~( 11 (рис. 201). Построим теперь «функцию действия с начальным условием поп Я(А) = Я~(д~)+ ~ Х,(д, ф, г)с(2 (з) «„, 1, (интегрирование вдоль характеристики, ведущей в А). Т е о р е и а. Франт)ия (3) еапь решение нашей задачи (2).
Действительно, начальное условие, очевидно, выполнено. Выполнение уравнения Гамильтона — Нкоби проверяется, как в теореме о дифференциале функции действия (рис. 202). 226 гл. э. клноничвскии еормллиам Точке самопересечевия графика 8 соответствует на графике р правах Максвелла: ааштрихованные плопюди равны.
График 8 (о, в) нмеет особенность, вааываемую ласточхазе.о хвостом в точке (д =- О, ) ). $ 47. Метод Якоби — Гамильтона интегрирования канонических уравнений Гамильтона В этом параграфе определяется производящая фуняцпя свободного канонического преобрааовавия. Идея метода Якоби — Гамильтона состоит в следующем. При канонической замене координат сохраняется канонический вид уравнений движения, а также функция Гамильтона (у 45, А). Следовательно, если нам удастся найти каноническое преобрааование, принодящее функцию Гамильтона к такому виду, что канонические уравнения удастся проинтегрировать, то тем самым мы сумеем проинтегрировать в исходные канонические уравнения.
Оказывается, задача построения такого кановпческого преобрааования сводится к отысканию достаточно болыпого числа решений уравнения Гамильтона — Якоби в частных производных. Этому уравнению доля.на удовлетворять производящая функция искомого канонического преобразования. Переходя к аппарату производящих функций, замечу, что ов удручающе неннварпантеи и существенно использует координатную структуру в фазовом пространстве ((р,д)).
В соответствии с этим приходится пользоваться аппаратом частных производных, а это такой объект, в самом обозначении которого уже кроется двусмысленность е). А. Производящая фунтщия. Пусть 2п функций р ( в, ()), д (р, д) от 2п переменных р, вг задают каноническое преобразование у: Кэ"-+. Кз". Тогда 1-форма рв(д — лес((д есть полный дифференциал (у 45, А): тэ йд — хт Ы(д = сИ ()о, ет). (() 3 а д а ч а. Докажите, что и обратно, если эта форма — полный дифференциал, то преобрааоваапе — каноническое.
Предположим теперь, что в окрестности некоторой точки (тэо, де) за независимые координаты можно принять ((д, д). Иньвии словами, предположим, что отличен от нуля якобиан в (ро, с)э) беС д® " = беС вЂ "' ~О. д(р, о) др в) Следует ясно понять, что величина ди/дх на плоскости х, у зависит не только от того, какая функция принята за х, но и от того, какая функция принята эа у: в новых переменных (х, в) аначенве ди/дх будет ул1е другим. Следовало бы писать дв ( до 5»7. МЕТОД ЯКОБИ вЂ” ГАМИЛЬТОНА О и р е д е л е ни е. Функция Я, ®, д) называется производящей функцией нашего канонического преобразования д. Подчеркнем, что Я, не есть функция ва фазовом пространстве К"': эта функция задана в области прямого произведения Ъ" х х КО некоторых двух и-мерных координатных пространств, точки которых обозначаются через О и (В. Из (1) следует, что ечаетвые проиаводвые» Я, суть дд~((),о) дч УФ дд1 Ю, о) дЯ (2) Оказывается, н обратно, всякая функция 8» задаст некоторое каноническое преобразование д по формулам (2).
Т е о р е и а. Пусть Я, (9, д) — функция, заданная в окрестности неконюрой точки ((з», д») прямого произведения двух п-мерных координатных евклидовмх пространств. Если то функция Я, являепся производящей функцией некоторозо свободного канонического преобразования. Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим уравнение относительно координат 9 дит((Е, о) = 'р. По теореме о неявной функции это уравнение разрешимо и определяет в окрестности точки ~д„р» — — ()' ~ ) функцию 9 (у, О) дд1 ((), у) (причем (е (рр, д») = Щ. Действвтельво, нужный определи- а'~.(Ю, о) ~ тель здесь как раз де( ' ~, а он по условию отличен от О.
Рассмотрим теперь функцию Р (О, ц) = — д д,((в, ((), и положим Х'(р, ц) = ~'т (О (р. й) ((). Тогда локальное отображение у: К»" — ~- К»", переводящее точку (р, д) в точку .Р (р, д), 9 (р, (т), будет каноническим с Такие канонические преобразования нааывают свободными. Тогдаз в частности, функцию 8 можно локально выразить через эти координаты: 8(р,й) = О (О,й). гл. е. каноничнскнн формализм проиаводящей функцией Н„ ибо по построению Й лег Й(гг ддг (() г) Й + ддг (() Ф) (г дв д(1 Оно свободно, так ьак Йе( — =Йе(( ' ' ) ) ч60.
Теорема д» ) д9дгг ) доказана. Преобразование йч Ке" -~ Кг" задается вообще 2п функциями от 2п переменных. Мы видим, что каноническое преобразование задается всего одной функцией 2п переменных — своей производящей функцией. Легко сообразить, какую выгоду дает применение производящих функций во всех вычислениях, свячанных с каноническими преобразованиями. Эта выгода тем больше, чем больше число переменных 2п. Б. Уравнение Гамильтона — Якоби для производящей функции. Заметим, что канонические уравнения, в которых функции Гамильтона Н зависит от одних лишь переменных (в, легко интегрируются. Действительно, если Н = К ((1), то канонические уравнения имеют вид о=О, 1'=— дК вЂ” д(в откуда непосредственно (З) г) я-варамстричесяое семейство решений ураеиеияя (4) иааыяаегся яслями интегралом уравнения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
