В.И. Арнольд - Математические методы классической механики (1161219), страница 42
Текст из файла (страница 42)
т 1 Форма у ад называется относипгельным интегральным инвариантом Пуанкаре. Он имеет простой геометрический смысл. Пусть о — двумерная ориентированная цель, у = до. Тогда находим по формуле Стокса ~удд=ЦдуЛд т в Итак, доказано важное С л е д с т в и е 2. Фазовый поток сохраняет сумму ориентированн х площадей проекций поверхности на и координагпных плоскостей (рн Яг)- то ь Иными словами, 2-форма гог = ду /, дд является абсолютным интегральным инвариантом фазового потока. П р и м е р. При и = 1сог есть площадь, и мы получаем теорему Лиувилля: фазовый поток сохраняет площадь. Д. Канонические отображения.
Пусть д — дифференцируемое. отображение фавового пространства Кз" = ((у, д)) в Кгв. 21О гл. 9. нлнонический Фогмллизм О п р е д е л е н и е. Отображение я называется каноническим, если я сохраняет 2-форму ыз = Хдр, Д Щ. Из предыдущих рассуждений видно, что зто определение можно записать в любом нз трех эквивалентных видов: 1) леве = ые (д сохраняет 2-форму Хдр~ /~, бд~); 2) Ц ые = Ц ыеУо (я сохраняет сумму площадей проекций люо во бой поверхности); 3) ~ рс)а = ~ взад(форма ззда — относительный интегральный инвариант я). Э а д а ч а. Покажите, что опредеяеиия $), 2) екеивеяеитин 3), если речь идет об отображении одиосвявиой области в фазовом пространстве Ие"; в общем случае 2 =.~ 2 сэ $.
Предыдущие следствия теперь можно сформулировать так: Т е о р е м а. Преобразование фазового пространства, осуи)гствлявмог фиговым потоком, каноническое. Пусть я: Ви' -э- Ви' — каноническое преобразование: я сохраняет форму ые. Тогда д сохраняет также и внешний квадрат ые: йи(ю'Л ю') = ы'Л ' б*(ы')'= ( ')'. Внешние степени формы Харе /~ с)вз пропорциональны формам ы'- ХбреГ,йр)Р,йЧ,~,бди Х Ф;Л...Р бр~Г бе,Г -ЛФ-,.
й<... <'г Итак, докааана Т е о р е м а. Канонические преобразования сохранлют интегральные инварианты оФ,..., ыее. Геометрически интеграл формы созе означает сумму ориентированных объемов проекций на коордипатпью плоскости (рь,... ° ° - Рс„1 й~ ° - йе)- В частности, форма ые" пропорциональна злементу объема, и мы получаем С л е д с т в и е. Ка оничвсков преобразование сохраняет злвмент объема в фазовом пространстве: объем дР = объем Р для любой области Р. В частности, в применении к фазовому потоку получаем С л е д с т в и е.
Фазовый поток (1) имеет интегральными инвариантами формы ые, ые,..., ые". Последний из инварнантов есть фазовый объем, так что мы вновь доказали теорему Лиувилля. $ вб. следстВиЯ из 'ХВОРВмы ОВ ингегРАльном инВАРМАнтн 211 й 45. Следствия ВВ теоремы об интегральном ннварнавте Пуанкаре — Картана В етом параграфе доказало, что канонические прсобразоязяяя сохраняют знд ураензвяй Гзыяльтона, что один первый янтегрял урзяяеяяй Гамяльтона позволяет повязвть порядок системы сразу на дзе вдяяяцы в что дзяжсввз з лаграювзяой яатуральяой системе происходит по геодезической конфигурацяоввого пространства, снабженного некоторой рвмзнояой метрикой.
А. Замены переменных в канонических уравнениях. Из инвариантности связи формы 2з с)д — НФ с ее линиями ротора вытекает способ писать уравнения движения в любой системе 2п + 1 координат в расширенном фазовом пространстве ((Р,а, 1)). Пусть (х„ ..., хз и) — координатные функции в некоторой карте р'т' — хь-' за+1 расширенного фазового пространства (рассматриваемого как многооб- ~~ /( Н ~ разие Мы+г, рис. 184). Координаты (р, д, 8) можно рассматривать как заДаюЩие ДРУгУю каРтУ М. ФВРМУ тз,~„зя „г~ „", ",'~яз"~ ссг = тз с(д — ХЬЮ можно рассматривать как дифференциальную 1-форму на М.
С этой формой инвариантным (не аависящвм от карт) обрааом связано семейство линий на М вЂ” линий ротора. На карте (тз, д, 8) эти линии иаображаются траекториями фавового потока дзз дН до дН дг да ' дс др (1) с функцией Гамильтона Н (Р, и, 1). Пусть форма ю' в координатах (х,..., хз„+з) записывается в виде РбН вЂ” На = Х, 1*, +... + Х,,б Т е о р е и а. На карте (хД траектории (1) изображаются линиями ротора формы ХХ1с)х,. Д о к а а а т е л ь с т в о. Линии ротора форм ХХВ)х~ и р бд— — Н бдсуть иаображения на двух разных картах линий ротора одной н той же формы на М.
Но интегральные кривью (1) суть линии ротора уба — Нш. Значит, их обраэы на карте (х~) суть линии ротора формы ХХВ)хн что и требовалось доказать. Следствие. Нусть (Рм...,Р„; Дм...,()„; Т) — локавьнал система координат в расширенном фазовом пространстве (р, а, 1) и Х (Р, 9, Т), Б (Р, (д, Т) — такие функции, что р бд — На = Р а(д — Х бТ + НХ (левал и птравал части суть формы на расширенном фазовом прост- ранстве). 212 гл. е. клноничкскин формализм Тогда траектории «бааовоао потока (1) иаобрагко«оо«ся на карте (Р, 9, Т) интегральными кривыми канонических уравнений ««а» дК ««(а дК дТ дЯ ' йТ дР (2) Д о к а з а т е л ь с т в о. По предыдущей теореме траектории 11) иаображаются линиями ротора формы Р«(() — КаТ + аЯ.
По «Б на линии ротора не влияет (так как «(аЯ = 0). Поэтому иаображения траекторий (1) суть линии ротора формы Р«((в — К«(Т. Согласно $ 44, В, линии ротора такой формы суть интегральные кривые канонических уравнений (2), что и требовалось доказать. В частности, пусть у: Ва" -ь В'" — каноническое преобразование фааового пространства, переводящее точку с координатами (р,«() в точку с координатами (Р,(д). Функции Р (а», 9), (» в(у», ««) можно рассматривать как новые координаты в фазовом пространстве. Т е о р е м а.
В новых координатах (Р, (а) канонические уравнения (1) имеют канонический вид *) йу» дК Щ дК о«ад д«И (3) со старой крунк«(игй Гамильтона: К (.Р, 9, «) = Н (у, д, «). До к а а а те л ьс та о. Рассмотрим форму РМ вЂ” Р«((в'в В"'. Для любой замкнутой кривой у имеем (рис. 185) «ь ш гпс. «аь.
з сг- ввиду каноннчности у. Поэтому ) т» «(д— 'исеть Есомы э ч у вс — Рао †.Р«((д = Ю не зависит от пути интегрирования, но зависит лишь от конечной точки (у„«(») (при фиксированной начальной точке (рс, да)). Итак, «Б = = 1о «(«у — Р««(,). Следовательно, в расширенном фааовом пространстве 1» «(«у — На« = Р٠— Н«««+ «(Ю, и применима предыдущая теорема. При этом (2) превращается в (3), что и требовалось доказать. 3 а д а ч а. Пусть а («): Кы» К»о — кавоввчсское преобрааовавве фазового пространства, заввсящсе от параметра «, а(«) (Р, 9) =(«»(Р Ч.
«)* (а (р, а, «)). Докажите, по кавовкчсскес уравнения (1) в переменных Л», (), «) В некоторых учсбввках свойство сохранять кановвчссвий ввд уравпепвй гаываьтсва принято еа опредсясвее канонических преобразований. В дсйсгввтельпсств зто определение ве эпеввалсвтпо общепринятому к прввсдсввому выше. Например, ве каноническое в нашем смысле пресбрааоеаппе р = 2р, Ч = д сохраняет геывльтонов ввд уравпеавй движения. и еь слкдствия из тяоРемы Ов инткгРАльном инВАРЯАнтн 213 Е нимат канонический мщ с новой фунннлей Гамильтона К(Р, 9, С), где К (Р, дд(др, е) = ад(ас+ ы (дд(ач, е, е), р=дИдд, Ч=дд!дР, 8=8(Р, Ч, с). Б. Поншкенве порядка с помощью интеграла энергии.
Пусть теперь Функция Гамильтона Н (р, о) не зависит от времени. Тогда канонические уравнения (1) имеют первый интеграл: Н ((т (8), и (г)) = сопз(. Оказывается, с помощью этого интеграла можно понизить размерность пространства (2п + 1) на две единицы, сведя задачу к интегрированию некоторой системы канонических уравнений в 2п — 1-мерном пространстве. Предположим, что (в некоторой области) уравнение Ь = = Н (рм..., р„; дм..., уи) можно разрешить относительно рг: р, = К (Л, (), Т; й), где Лл = (р„..., р„); (а = (де,..., уи); Т = — дм Тогда находим Л и(( — Нд( = ЛЧд — Кдт д (Н() + (дН. Пусть теперь у — интегральная кривая канонических уравнений (1), лежащая на 2п-мерной поверхности Н (р, д) = й в К'"ы. Тогда у есть линия ротора формы Лв в(у — НЖ (рис. 186). Спроектируем расширенное фазанов пространство Кв"ы = ((Лт, д, Г)) на фазовое пространство т Нее в К'" = ((р, (()).
Поверхность Н = й спроектируется в 2п — 1-мерное подмногообразие Л(лл г: Н (ув, д) = Ь в Кл", а кривая у — в Н=-и кривую у, лежащую на этом подмногообра- р зии. Величины Х', (а, Т образуют локальныв координаты в Л(тл-'. Рис. Еас. Псилжеиие ис- рлклв еаиильтонсвса си- 3 и Л а ч а. Докажите, что лриелл т леелеиел севин линией рсжсрл форин Р де = ев٠— К аТ на А(в" в. у и а с а н н е. а (Ые) нс илилст на линни роторе, а аы на И есть нуль. Но линии ротора формы .Ри(в — КйТ удовлетворяют уравнениям Гамильтона (2). Итак, доказана Т е о р е м а.
Фаловие траектории уравнений (1) на поверхности Луис в, Н = Ь, удовлетворяют каноническим уравнениям ар; ад д. а д чв ев еде функция К (р,..., р„; д„..., у„; Т, Ь) определяется из уравнения Н(К, р„..., р„; — Т, а„..., Ь) = й. В. Принцип наименьшего действия в фазовом пространстве. рассмотрим в расширенном фазовом пространстве ((у, д, ()) интегральную кривую у канонических уравнений (1), соединяющую товкн (Рс* 1(с~ (с) и (Рм 1(в (вУ. 8 88. следстйия из теоРемы ов интегРАльном инВАРиАнге 215 В доказанной теореме к сравнению с у допускается значительно более широкий класс кривых у', чем в принпапе Гамильтона: на связь у с д не накладывается никаких ограничений.
Может покаааться удивительным, что оба принципа, тем не менее, эквивалентны: иэ экстремальности в более узком классе вариаций (у = = д//дд) следует экстремальность при любых вариациях. Объяснение состоит в том, что при фиксированном д величина у = дА/од экстремиэирует уд — Н (см. определение преобразования Лежандра, хи 14, стр.
61). Г. Принцип наименьшего действия в форме Мопертюи— Эйлера — Лагранжа — Якоби. Пусть теперь функция Гамильтона Н (у, д) не зависит от времени. Тогда Н (у, д) есть первый интеграл уравнений Гамильтона (1). Спроектируем поверхность Н (у, д) =- Ь иэ расширенного фазового пространства ((у, д, 3)) в пространство ((у, д)). Получится 2п — 1-мерная поверхность Н (у, д) = Ь в В~"', которую мы уэке рассматривали в пункте Б и которую мы обозначили Мз Фазовые траектории канонических уравнений (1), начинающиеся на поверхности Мз"-1, целиком лежат на поверхности Ми' ц Они являются линиями ротора формы у ад = л-٠— К аТ (в обозначениях пункта Б) на М'" Ц Согласно теореме пункта В, кривые (1) на М'" 8 — экстремали вариационного принципа, соответствующего этой форме.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
